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2.12数学归纳法及其应用举例_图文

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数学归纳法及其应用举例 第二章 极 限 一 数学归纳法 北京大峪中学高三数学组 数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 ( 2) 北京大峪中学高三数学组 数学归纳法及其应用举例 数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(k?N*,k?n0)时命题成立,再证明当n=k+1 时命题也成立, 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 北京大峪中学高三数学组 数学归纳法及其应用举例 例1.求证:x2n?y2n能被x+y整除 证明:(1)当n=1时,x2n?y2n=x2?y2=(x+y)(x?y) 所以(x+y)(x?y)能被x+y整除 (2)假设n=k时,x2k?y2k能被x+y整除 那么x2(k+1)?y2(k+1)=x2kx2?y2ky2 =x2(x2k?y2k)+x2y2k? y2ky2 = x2(x2k?y2k)+y2k(x2?y2) ∵x2k?y2k能被x+y整除,x2?y2能被x+y整除 ∴x2(x2k?y2k)+y2k(x2?y2)能被x+y整除 即x2(k+1)?y2(k+1)能被x+y整除 由(1)、(2)知x2n?y2n能被x+y整除 变形:n为什么自然数时x2n+y2n能被x+y整除? 北京大峪中学高三数学组 数学归纳法及其应用举例 例2.平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何三 条不过同一点,求证交点的个数为 f ( n) ? n( n ? 1) 2 假设n=k(k?2)时命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线 的交点个数 f ( k ) ? k ( k ? 1) 2 当平面内有k+1条直线时,任了其中的一条直线,记为l,由 k ( k ? 1) 归纳假设,除l外的其他k条直线的交点个数为 f ( k ) ? 2 ∵任何两条直线不平行, ∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点); ∴上面的k个交点两两不相同,且与平面内的其它 k ( k ? 1) 2 个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是 又∵已知任何三条直线不过同一点, k ( k ? 1) ( k ? 1)[( k ? 1) ? 1] ?k ? 2 2 北京大峪中学高三数学组 数学归纳法及其应用举例 例2.用数学归纳法证明:对任意自然数n,数11n+2+122n+1是133 的倍数 证明:(1)当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=23?133 ∴23?133能被133整除,即n=1时命题成立 (2)假设n=k时,11k+2+122k+1能被133整除 那么11(k+1)+2+122(k+1)+1=11?11k+2+122?122k+1 =11?(11k+2+122k+1)?11?122k+1+122?122k+1 =11?(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144?11) = 11?(11k+2+122k+1)+ 122k+1?133 由归纳假设知11k+2+122k+1及122k+1?133都能被133整除 ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立 由(1)、(2),可知命题对一切自然数n都成立 北京大峪中学高三数学组 课堂练习 数学归纳法及其应用举例 p67 北京大峪中学高三数学组

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人教课标版《数学归纳法及其应用》PPT_图文.ppt

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数学归纳法及应用列举 - 2.1 数学归纳法及其应用举例 2.1 数学归纳法及其应用举例 n ? 1 )时 先证明当n 取第一个值 n ( 0 如 0 命题成立,然后假 设...