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2013-2014学年高中数学 第二章 2.5习题课 数列求和

时间:2013-08-16


习题课
一、基础过关 1 1 1 1.数列 , , ,…, 2·5 5·8 8·11 ? ( A. 3n+2 ) B.

数列求和

1 3n-1? ·?

3n+2?

,…的前 n 项和为

n

n 6n+4

C.

3n 6n+4

D.

n+1 n+2

2.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 和是 A.n(n+2) 1 B. n(n+4) 2

a1+a2+a3+…+an 所确定的数列{bn}的前 n 项之 n
( 1 C. n(n+5) 2
n-1

)

1 D. n(n+7) 2 (4n-3),则 S15+S22 ( )

3.已知数列{an}前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1) -S31 的值是 A.13 B.-76 C.46

D.76

4.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那么

an 等于
A.2 -1
n

( B.2
n-1

)

-1

C.2 +1

n

D.4 -1

n

5.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第 5 项是________. 2an 6.在数列{an}中,an+1= 对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 2+an 7.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1

a2-1 n

(n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn. 二、能力提升 9.如果一个数列{an}满足 an+an+1=H (H 为常数,n∈N ),则称数列{an}为等和数列,H 为 公和,Sn 是其前 n 项的和,已知等和数列{an}中,a1=1,H=-3,则 S2 011 等于( A.-3 016 013 B.-3 015 C.-3 014 )
*

D.-3

1

? 1? 10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ?,则 an 等于 ?
n?
A.2+ln n C.2+nln n B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n

(

)

1 11.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 三、探究与拓展 13.等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.
2n-1

.

第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; 3 6 9

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1) ln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

n

2

答案 2 1.B 2.C 3.B 4.A 5.-6 6.

n

7.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 因为 a3=7,a5+a7=26,所以?
?a1+2d=7, ? ? ?2a1+10d=26,

解得?

?a1=3, ? ? ?d=2.

所以 an=3+2(n-1)=2n+1,

n? n-1? 2 Sn=3n+ ×2=n +2n.
2 所以,an=2n+1,Sn=n +2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 所以 bn= 1
2

a2-1 ? 2n+1? n



1

2

1 = · -1 4 n?

1

n+1?

1 ? 1 ?1 = ·? - ?, 4 ?n n+1?

1 1 1 1 1 1 所以 Tn= ·(1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = ·(1- )= , 4 n+1 4? n+1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn=

n . 4? n+1?

8.(1)证明 数列{an}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+1=2. (2)解 由(1)知{an+1}为等比数列, ∴an+1=(a1+1)·2 ∴an=2 -1. ∴Sn=a1+a2+…+an =(2 -1)+(2 -1)+(2 -1)+…+(2 -1)=(2 +2 +…+2 )-n 2? = 1-2 ? n+1 -n=2 -n-2. 1-2
n
1 2 3

n-1

=2 ,

n

n

n

1

2

n

n=1 ?1, ? 9.C 10.A 11.?1 ?4?n-2 ?3·?3? , n≥2 ? ? ?
12. 解 (1)由已知, n≥1 时,n+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(2 当 a
-1 2n

+2

2n-3

+…+2)+2=2

2(n+1)-1

.而 a1=2,符合上式,
2n-1

所以数列{an}的通项公式为 an=2 (2)由 bn=nan=n·2
3 2n-1

.



Sn=1·2+2·2 +3·2 +…+n·22n-1,
5


3

从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 ② ①-②得(1-2 )Sn=2+2 +2 +…+2 1 2n+1 即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9 13.解 (1)an=2·3
n-1
2 3 5 2n-1

2

3

5

7

2n+1

.

-n·2

2n+1



.
n

(2)因为 bn=an+(-1) ln an =2·3 =2·3 =2·3
n-1

+(-1) ln(2·3
n

n

n-1

)

n-1

+(-1) [ln 2+(n-1)ln 3] +(-1) (ln 2-ln 3)+(-1) nln 3,
n-1 n n

n-1

所以 Sn=2(1+3+…+3 +(-1) n]ln 3 所以当 n 为偶数时,
n

)+[-1+1-1+…+(-1) ](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…

n

Sn=2×

1-3 n n n + ln 3=3 + ln 3-1; 1-3 2 2

n

当 n 为奇数时,

Sn=2×

1-3 n-1 n-1 n -(ln 2-ln 3)+( -n)ln 3=3 - ln 3-ln 2-1. 1-3 2 2

n

综上所述,Sn=

?3 +nln 3-1,n为偶数, ? 2 ? n-1 ? ?3 - 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数.
n n

4


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