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高三数学理科立体几何练习(体积表面积)

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高三数学理科立几练习(表面积+体积)
班级 姓名 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 座号 体积

S 侧=2πrh S 侧=πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch S 侧= Ch′ S 侧= (C+C′)h′ S 球面=4πR2
1 2 1 3 1 2 1 3 1 3

V=Sh=πr2h V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2
2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 1+r2+r1r2)h

1 3

1 3

1 3

V=Sh V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h V= πR3
4 3 1 3

提示: (1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形. 二、多面体的表面积的求法: (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形, 棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元 素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. (2)旋转体的表面积的求法: 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算, 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物, 画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其 体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几 何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解. 练习: 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( ). A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 3 D. 2倍

2. 如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图, 则该多面体 的体积为( A. 142 3 ) 284 B. 3 280 C. 3 140 D. 3

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3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则其侧面积与全面积的比为 此圆锥体积为



4.点 P 在正方体 ABCD? A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A? D1PC 的体积不变;②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1;④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________.

5.

棱长为 2 的正四面体的表面积是 球体积为 。

,体积是

,其外接

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6.如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发, 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________c m.

7.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2,

AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

8.

一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四边形,左视图是一

个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成 的矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

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9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

10.已知圆锥的母线长为 20cm,则当其体积最大时,其侧面积为( A. cm
2

) cm
2

B.

cm C.

2

cm D.

2

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高三(上)数学立几练习(体积表面积)
班级 姓名 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 座号 体积

S 侧=2πrh S 侧=πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch S 侧= Ch′ S 侧= (C+C′)h′ S 球面=4πR2
1 2 1 3 1 2 1 3 1 3

V=Sh=πr2h V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2
2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 1+r2+r1r2)h

1 3

1 3

1 3

V=Sh V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h V= πR3
4 3 1 3

提示: (1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形. 二、多面体的表面积的求法: (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形, 棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元 素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. (2)旋转体的表面积的求法: 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算, 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物, 画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其 体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几 何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解.
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练习: 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍

).答案 B 3 D. 2倍

2.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多 面体的体积为( ).答案 B

A.

142 3

284 B. 3 140 D. 3

280 C. 3

解析 根据三视图的知识及特点,可画出多面体 的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截 去一个正三棱锥而得 到的,所以所求多面体的体积

? ? V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ×2×2?×2=
1 1 3 ?2

?

284 . 3
,2:3

3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则其侧面积与全面积的比为
此圆锥体积为

V?

3 ? 3

R ? 2r , R ? 2 , r ? 1
4.点 P 在正方体 ABCD? A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A? D1PC 的体积不变;②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1;④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________. 解析:连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥BC1.

∴BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变, ∴三棱锥 P? AD1C 的体积不变. 又 VP? AD1C=VA? D1PC,∴①正确. ∵平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P? 平面 A1C1B,
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∴A1P∥平面 ACD1,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1,显然③不正确; 由于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面 AD1C.DB1? 平面 PDB1, ∴平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④

5.棱长为 2 的正四面体的表面积是 接球体积为 。 36?

4 3,体积是

,其外

1 3 解析:每个面的面积为: ×2×2× = 3.∴表 面积为 4 3,体积是 2 2

V?

2 4 1 2 6 2 2 3 外接球直径 2 R ? 3 ? ( 2) , 半径 R ? 3 , 体积 V ? ? R = 36? ? 3 ? ? 3 3 3 3

(将四面体补成正方体) 6.如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则 一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短 路线的长为________c m. 答案 13

解析 根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两 个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最 短路线的长为 5 +12 =13 (cm).
2 2

7. (2014·浙江杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC =135°,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所 成几何体的表面积及体积. 解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5, S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2 2=(60+4 2)π, 1 1 148 V=V 圆台-V 圆锥= (π·22+π·52+ 22·52π2)×4- π×22×2= π. 3 3 3 8.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四 边形,左视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成 的矩形.
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(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知, 该几何体是一个平行六面体(如图), 其底面是边长为 1 的正方形, 高为 3,所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中, A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3.

9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是 一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边 长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

解析 由题设可知, 几何体是一个高为 4 的四棱锥, 其底面是长、 宽分别为 8 和 6 的矩形, 正侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、 右侧面均为底边长为 6,高为 h2 的等腰三角形,如右图所示. 1 1 (1)几何体的体积为:V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64. 3 3 (2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1= 4 +3 =5.左、右侧面的底边上的高为:h2= 1 ?1 ? 2 2 4 +4 =4 2.故几何体的侧面 面积为:S=2×? ×8×5+ ×6×4 2?=40+24 2. 2 ?2 ?
2 2

10.(2015 秋? 吉安期末)已知圆锥的母线长为 20cm,则当其体积最大时,其 侧面积为( A. ) cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2

【分析】设底面半径为 r,用 r 表示出圆锥的体积,利用函数思想求出体积的 极大值点,代入侧面积公式即可. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 h= V= πr2h=
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,∴圆锥的体积



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令 f(r)=400r4﹣r6,∴f′(r)=1600r3﹣6r5,令 f′(r)=0,解得 r= 当 0<r< ∴当 r= 时,f′(r)>0,当 <r<20 时,f′(r)<0.



时,f(r)取得最大值,即圆锥的体积取得最大值. ×20= .

此时,圆锥的侧面积 S=πrl=π× 故选:B.

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9.【2016 全国大联考 1(课标 I 卷)】直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是正三角形,三 棱柱的高为 3 ,若 P 是 ?A1 B1C1 中心,且三棱柱的体积为 角大小是( A. ) B.

9 ,则 PA 与平面 ABC 所成的 4

?
6

?
4

C.

?
3

D.

2? 3

【答案】C 【解析】 由题意可设底面三角形的边长为 a , 过点 P 作平面 ABC 的 垂线, 垂足为 O , 则点 O 为底面 ABC 的中心, 故 ?PAO 即为 PA
C1 P A1 B1

2 3 3 与平面 ABC 所成的角,由于 OA ? ? a? a ,而 3 2 3
9 OP ? 3 ,又因为三棱柱的体积为 ,由棱柱体积公式得 4

C O A B

3 V? ? 4

?

9 ,解得 a ? 3 ,所以 3a ? 3 ? 4
2

?

tan ?PAO ?

PO ? AO

? 3 ? 3 ,得,故 PA 与平面 ABC 所成的角大小是 ,故正确 3 3 a 3

答案为 C.

(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α, H 为垂足,α截球 O 所得截面的面积为π,则球 O 的表面积为________. 解析:如图,设球 O 的半径为 R, 1 2 R 则由 AH∶HB=1∶2 得 HA= ·2R= R,∴OH= . 3 3 3 ∵截面面积为π=π·(HM) ,∴HM=1. 2 2 2 在 Rt△HMO 中,OM =OH +HM , 1 2 1 2 3 2 2 2 ∴R = R +HM = R +1,∴R= . 9 9 4 3 2 2 9 2 ∴S 球=4πR =4π·( ) = π. 4 2 5.(2012·高考山东卷)如图,正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 1,E, F 分别为线段 AA1 , B1C 上的点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为
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2

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__________.[答案]

1 6

[解析] 三棱锥 D1? EDF 的体积即为三棱锥 F? DD1E 的体积.因为 E,F 分别为 AA1, 1 B1C 上的点,所以在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中△EDD1 的面积为定值 ,F 到平面 AA1D1D 的距离 2 1 1 1 为定值 1,所以 VF? DD1E= × ×1= . 3 2 6

二、滚动练习 1.设 i 是虚数单位,则 (1 ? i ) ? A.0 B. 4

2 等于 i

D C. 2 D. 2

2. (2011· 辽宁高考理科· T10) 若 a ,b ,c 均为单位向量, 且a?b ? 0 , (a -c ) · (b -c ) ≤0,则| a + b - c |的最大值为 A. 2 - 1 B.1 B C. 2 D.2
2

【精讲精析】由( a - c )·( b - c )≤0,得 a ? b ? a ? c ? b ? c ? c ? 0 ,又 a ? b ? 0 且 a , b , c 均为单位向量,得 ? a ? c ? b ? c ? ?1,| a + b - c | =( a + b - c ) =
2 2

a ? b ? c ? 2(a ? b ? a ? c ? b ? c) = 3 ? 2(?a ? c ? b ? c) ? 3 ? 2 ? 1 ,故| a + b - c |的最
大值为 1.

2

2

2

? 3x ?1 , x ? 0 ? 3.已知函数 f(x)= ?log x, x ? 0 1 ? ? 2
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, 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取

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值范围是________.答案:-1<x< 解析:当 x≤0 时,3
x+1

1 2 1 1 ,∴ 0 ? x ? . 2 2 1 . 2

>1? x+1> 0,∴-1<x≤0; 综上所述:-1<x<

当 x>0 时, log 1 x >1? x ?
2

4. 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系。 曲线 C1 的极坐标方程是 ? cos(? ? 参数, ?

?

? ? x ? 2 cos ? ) ? 2 2 ,曲线 C2 的参数方程是 ? (? 为 4 ? ? y ? 2 3 sin ?

?
2

? ? ? 0 ),求曲线 C2 上的点到直线 C1 的距离的取值范围。

4. 解:曲线 C2 是椭圆,其参数方程是 ?

? ? ? x ? 4 cos ? ( ? 为参数, ? ? ? ? 0 ), 2 ? ? y ? 2 3 sin ?

d?

2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 2

?

4 1 3 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2 2 sin( ? ? ) ? 1 2 6 2 2

? 2 2 sin(? ? ) ? 1 6
2 ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? 2 3 6 6 ? 1 ??1 ? sin(? ? ) ? ? ?0 ? d ? 2 6 2 ?
5. 某地区共有 100 万人,现从中随机抽查 800 人, 发现有 700 人不吸烟,100 人吸烟.这 100 位吸 烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图 如图.将频率视为概率,回答下列问题: (Ⅰ)在该地区随机抽取 3 个人,求其中至少 1 人吸烟的概率; (Ⅱ)据统计,烟草消费税大约为烟草消费支出的 40%,该地区为居民支付因吸烟导 致的疾病治疗等各种费用年均约为 18800 万元.问:当地烟草消费税是否足以支付当 地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用?说明理由. 解:(Ⅰ)依题意可知,该地区吸烟者人数占总人数的
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?

?

1 . 所以抽取的 3 个人中至少 8

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1 人吸烟的概率为 p ? 1 ? C3 ( ) ( ) ?
0 0 3

1 8

7 8

169 . 512

169 1 1 7 2 2 1 2 7 1 1 1 3 7 0 另解: P ? C3 ( )( ) +C3 ( ) ( ) +C3 ( )( ) ? 8 8 8 8 8 8 512
(Ⅱ)由频率分布直方图可知,吸烟者烟草消费支出的平均数为

0.15 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.45 ? 0.1 ? 0.55 ? 0.1 ? 0.65 ? 0.1 ? 0.36 (万元)
又该地区吸烟者人数为

1 ? 100 万 , 8

所以该地区年均烟草消费税为

1 ?100 ?104 ? 0.4 ? 0.36 ? 18000 (万元). 8
又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为 18800 万元,它超过了当地烟草消 费税,所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.

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