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新高考人教B版数学理大一轮复习训练8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离(含答案解析)

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8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、距离 一、选择题 1.如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 上的动点,则直线 NO、AM 的位置关系是( ). A.平行 C.异面垂直 解析 建立坐标系如图,设正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0),M(0,0,1), → B.相交 D.异面不垂直 O(1,1,0),N(2,t,2),NO=(-1,1-t,-2), → → → AM=(-2,0,1),NO·AM=0,则直线 NO、AM 的 位置关系是异面垂直. 答案 C → 1 2.正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为( A. 21 a 6 ). B. 6 a 6 C. 15 a 6 D. 15 a 3 → 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz,则 A(a,0,0),C1(0, a? ? a,a),N?a,a, ?. ? 2? 设 M(x,y,z), → 1 ∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z) 2 → 2 a a ∴x= a,y= ,z= . 3 3 3 ?2a a a? 得 M? , , ?, ? 3 3 3? → ∴|MN|= 答案 A → → 3.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈CM,D1N〉 的值为( 1 A. 9 ). B. 4 5 9 C. 2 5 9 D. 2 3 a? ?a a? 21 ? 2 ?2 ? ?a- a? +?a- ?2+? - ?2= a. 3? ?2 3? 6 ? 3 ? ? 解析 设正方体的棱长为 2,以 D 为坐标原点, DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角 → → → → 坐标系(如图),可知CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1), → → 1 4 5 cos〈CM,D1N〉=- ,sin〈CM,D1N〉= , 9 9 答案 B 4.两平行平面 α ,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个法 向量 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( ) 3 2 A. B. C. 3 D.3 2 2 2 ? 2 2? 解析 两平面的一个单位法向量 n0=?- ,0, ?,故两平面间的距离 d= 2 ? ? 2 |→ OA·n0|= 答案 B 5.已知直二面角 α ?l?β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( A.2 B. 3 ). D.1 2 . 2 C. 2 解析 如图,建立直角坐标系 D?xyz,由已 知条件 B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0), 由 AB=2 解得 t= 2. 答案 C 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 BB1 中点,G 是 DD1 中点,F 是 BC 上一点且 FB 1 = BC,则 GB 与 EF 所成的角为( 4 A.30° B.120° ). C.60° D.90° 解析 如图建立直角坐标系 D?xyz, 设 DA=1,由已知条件 G?0,0, ?,B(1,1,0), E?1,1, ?,F? ,1,0?, → → 1? 1? ? ?

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