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数学选修2-2第一章《§4 数学归纳法》导学案

时间:2015-03-12


凤翔县紫荆中学 2014-2015 学年度第二学期高二数学选修 2-2 导学案

《§4 数学归纳法》导学案
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学习目标 1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.数学归纳法中递推思想的理解.


【复习引入】 复习 1:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?



过 程

an , (n ? N * ) ,先算出 a2,a3,a4 的值,再推测通项 an 的公式. 1 ? an

复习 2: f (n) ? n2 ? n ? 41 ,当 n∈N 时, f (n) 是否都为质数?

【新知探究】 探究任务:数学归纳法 问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

新知:数学归纳法两大步: (1)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2)归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这 两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,…,命题 都成立. 反思:数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键:从假设 n=k 成立,证得 n=k+1 成立. ※ 典型例题 例 1 用数学归纳法证明:首项是 a1 ,公差是 d 的等差数列的通项公式是 an ? a1 ? (n ? 1)d ,前 n 项和的 n(n ? 1) 公式是 Sn ? na1 ? d. 2

变式:用数学归纳法证明: 首项是 a1 ,公比是 q 的等差数列的通项公式是 an ? a1qn?1 ,前 n 项和的公式是 Sn ?
a1 (1 ? q n ) .( q ? 1 ) 1? q

小结:数学归纳法经常证明数列的相关问题. 例 2 用数学归纳法证明: (1 ? ? ) ? 1 ? n? (其中? ? ?1, n是正整数) .
n

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凤翔县紫荆中学 2014-2015 学年度第二学期高二数学选修 2-2 导学案

※ 动手试试 练 1. 用数学归纳法证明:当 n 为整数时, 1 ? 3 ? 5 ?

? (2n ? 1) ? n2

练 2. 求证:

1 1 1 5 + +…+ > ,(n≥2,n∈N*). n ?1 n ? 2 3n 6

【学习小结】 1. 数学归纳法的步骤 2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 【反馈检测】 1 ? an ? 2 1. 用数学归纳法证明: 1 ? a ? a2 ? ? an?1 ? 在验证 n ? 1 时, 左端计算所得项为 ( (a ? 1) , 1? a A.1 B. 1 ? a ? a 2 C. 1 ? a D. 1 ? a ? a 2 ? a3
n *



2. 用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 ? 1? 3 ? (2n ? 1)(n ? N ) 时, 从 n=k 到 n=k+1, 左端需要增加的代数式为( ) 2k ? 1 2k ? 3 2 ( 2 k ? 1 ) 2 k ? 1 k ? 1 A. B. C. D. k ? 1 1 1 1 3. 设 f (n) ? ) ? ? ? (n ? N * ) ,那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 ? ? A. 2n ? 1 B. 2 n ? 2 C. 2n ? 1 2n ? 2 D. 2n ? 1 2n ? 2

{an } 的前 n 项和 S n ? n 2 an (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,通过计算 a2 , a3 , a4 ,猜想 an ? 1 1 2 2 ? ? 5. 数列 {xn } 满足 x1 ? 1, x2 ? ,且 ( n ? 2) ,则 xn ? .
4. 已知数列

3

xn ?1

xn ?1

xn

【课后作业】 1. 用数学归纳法证明:
1 1 1 ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 1 n ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 n ? 1

2. 用数学归纳法证明:

1 1 1 13 + +…+ > (n≥2 且 n∈N*). n ?1 n ? 2 2 n 24

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