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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 大题冲关集训(三)理

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大题冲关集训(三)
1.(2014 哈尔滨一模)数列{an}满足 an+1-an=2,a1=2,等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)an+1-an=2,a1=2, 所以数列{an}为等差数列, 则 an=2+(n-1)×2=2n, b1=a1=2,b4=a8=16, 所以 q = =8,q=2, 则 bn=2 . (2)cn=anbn=n·2 , 则 Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n·2 , 2Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n·2 , 两式相减得-Tn=1×2 +2 +2 +…+2 -n·2 , 整理得 Tn=(n-1)2 +4. 2.(2013 高考福建卷)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 解:(1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列, 所以 =1×(a1+2), 即 -a1-2=0, 解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10> +8a1, 即 +3a1-10<0, 解得-5<a1<2.
n+2 2 3 4 n+1 n+2 3 4 5 n+2 2 3 4 n+1 n+1 n 3

3.在正项数列{an}中,a1=2,点 An(

,

)在双曲线 y -x =1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直

2

2

线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列. (1)解:由题 an+1-an=1, 即{an}是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列. an=2+n-1=n+1. (2)证明:由(bn,Tn)在 y=- x+1 上,

则 Tn=- bn+1,

Tn-1=- bn-1+1,n≥2,

bn=- bn+ bn-1,n≥2,

bn= bn-1,n≥2.

又 b1=- b1+1,

得 b1= ,

则{bn}是以 为首项,公比为 的等比数列. 4.(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λ Sn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ ; (2)是否存在λ ,使得{an}为等差数列?并说明理由. (1)证明:由题设,anan+1=λ Sn-1,an+1an+2=λ Sn+1-1.

两式相减得 an+1(an+2-an)=λ an+1. 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ . (2)解:存在满足题意的λ , 由题设,a1=1,a1a2=λ S1-1,可得 a2=λ -1. 由(1)知,a3=λ +1, 令 2a2=a1+a3,解得λ =4. 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ =4,使得数列{an}为等差数列. 5.(2014 洛阳模拟)已知函数 f(x)= R),an+1=f(an)(n∈N ). (1)若数列{an}是常数列,求 a 的值; (2)当 a1=4 时,记 bn= (n∈N ),证明数列{bn}是等比数列,并求出通项公式 an.
* *

(x≠-1,x∈R),数列{an}满足 a1=a(a≠-1,a∈

解:(1)因为 f(x)=
*

,

a1=a,an+1=f(an)(n∈N ), 数列{an}是常数列, 所以 an+1=an=a, 即 a= ,

解得 a=2 或 a=1. 所以所求实数 a 的值是 1 或 2. (2)因为 a1=4,bn= (n∈N ),
*

所以 b1= ,

bn+1=

=

=

,

即 bn+1= bn(n∈N ).

*

所以数列{bn}是以 b1= 为首项,q= 为公比的等比数列,

于是 bn= ( ) =( ) (n∈N ),

n-1

n

*

由 bn=

,



=( ) ,

n

解得 an=

(n∈N ),

*

所以所求的通项公式 an=

(n∈N ).

*

6.已知等差数列{an}的首项 a1=3,且公差 d≠0,其前 n 项和为 Sn,且 a1,a4,a13 分别是等比数列 {bn}的 b2,b3,b4. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)证明: ≤ + +…+ < . (1)解:设等比数列{bn}的公比为 q, ∵a1,a4,a13 分别是等比数列{bn}的 b2,b3,b4, ∴(a1+3d) =a1(a1+12d). 又 a1=3, ∴d -2d=0, ∴d=2 或 d=0(舍去). ∴an=3+2(n-1)=2n+1.
2 2

等比数列{bn}的公比为 q= = =3,b1= =1. ∴bn=3 . (2)证明:由(1)知 Sn=n +2n, ∴ = = ( ),
2 n-1

∴ + +…+

=

= (1+ -

-



= - (

+

)< .



+

≤ + = ,

∴ - (

+

)≥ ,

∴ ≤ + +…+ < . 7.(2015 上饶六校月考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=2,S5=15,数列{bn}满足 b1= ,bn+1= bn.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,f(n)= 值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 ,试问 f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大

解得 a1=1,d=1, ∴an=n, 由题意知 = ,

∴ = ( ) ,

n-1

∴bn= .

(2)由(1),得 Tn= + + +…+ ,

Tn= + + +…+

,

所以 Tn=2-

,

又 Sn=

,

所以 f(n)=

=

,

f(n+1)-f(n)=
*

-

=

,

当 n≥3,n∈N 时,f(n+1)-f(n)<0, 当 n<3,n∈N 时,f(n+1)-f(n)≥0, 又 f(1)=1,f(2)= ,f(3)= ,
*

∴f(n)存在最大值,为 . 8.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红 500 万元.该企业 2010 年年底分红后的资金为 1000 万元. (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金; (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32500 万元.

解:设 an(单位:万元)为(2010+n)年年底分红后的资金,其中 n∈N , 则 a1=2×1000-500=1500, a2=2×1500-500=2500,…,an=2an-1-500(n≥2). ∴an-500=2(an-1-500)(n≥2), 即数列{an-500}是以 a1-500=1000 为首项, 公比为 2 的等比数列, ∴an-500=1000×2 , ∴an=1000×2 +500. (1)a4=1000×2 +500=8500, ∴该企业 2014 年年底分红后的资金为 8500 万元. (2)由 an>32500,即 2 >32,得 n>6, ∴该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32500 万元.
n-1 4-1 n-1 n-1

*


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