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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.6微积分基本定理》课件3

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1.6微积分基本定理

(2)

微积分基本定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且F’(x)=f(x),

则,

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula).
b a

或记作

? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
b a

说明:
牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便

的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。

定积分公式 b 1) (cx ) = c ? ò cdx = cx | a b 1 n n n n b 2) x = nx ? ò x dx = x | a a n + 1 b b 3) (sin x ) = cos x ? ò cos xdx = sin x | a a b b 4) (cos x ) = - sin x ? ò sin xdx = - cos x | a a b 1 1 b 5) (ln x ) = ? ò dx = ln| x || a a x x b x x x 6) (e ) = e ? ò e dx = e | a x b a b x x x 7) (a ) = a ln a ? ò a dx = | a a ln a
'

b a

'

-1

+1

'

'

'

'

x

b a

'

问题:通过计算下列定积分,进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论?试利用曲边梯形的面积表示发现的结论.

??

2?

sin xdx

?

2?

0

sin xdx

我们发现:
(1)定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0; (2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值; (3)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值; (4)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0.

得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和。

例3:计算 解

?

2

0

?2 x , 0 ? x ? 1 f ( x)dx,其中 f ( x) ? ? ? 5, 1 ? x ? 2
1
2

?

2

0

f ( x )dx ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? x
0
1

21 0

? 5x 1 ? 6

2

Y=5

1

2

微积分与其他函数知识综合举例:

1、已知f ( x)是一次函数,其图象过点(3,4), 且

?

1

0

f ( x)dx ? 1, 求f ( x)的解析式

2、已知f (a) ? ? (2ax ? a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0

1

练一练:已知f(x)=ax? +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

?

1

0

f ( x)dx ? ?2, 求a, b, c的值


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