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2013年北京市西城区高三二模文科数学试题及答案

时间:2014-04-12


北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(文科)2013.5
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.复数 i ? (1 ? i) ? (A) 1 ? i (B) ? 1 ? i (C) 1 ? i (D) ? 1 ? i

2.已知向量 a ? (? (A) ?1

3,1) , b ? ( 3, ?) .若 a 与 b 共线,则实数 ? ?
(B) 1 (C) ?3 (D) 3

3.给定函数:① y ? (A)①

x2 ;② y ? 2x ;③ y ? cos x ;④ y ? ?x3 ,其中奇函数是
(B)② (C)③ (D)④

4.若双曲线 x (A) 3

2

?

y2 ? 1的离心率是 2 ,则实数 k ? k
(B) ?3 (C)

1 3

(D) ?

1 3

5.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ”之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 10 (B) k ? 16 (C) k ? 22 (D) k ? 34

第 1 页共 11 页

6.对于直线 m , n 和平面 (A) m ? n , n ∥

? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是
(B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

?

(C) m ? ? , n ? ? , n ? ?

7.已知函数 范围是

f ( x) ? e|x| ? | x | .若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值

(A) (0,1)

(B) (1, ??)

(C) (?1, 0)

(D) (??, ?1)

8.已知集合 {1, 2,3, 4,5} 的非空子集 质 P 的集合 (A) 8

A 具有性质 P :当 a ? A 时,必有 6 ? a ? A .则具有性

A 的个数是
(B) 7 (C) 6 (D) 5

第 2 页共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知直线 l1 : x ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 .若 l1 ∥ l2 ,则实数 m ? ______.

10.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 , 则 x甲 ______ x乙 . (填入: “?” , “?” ,或“ ? ” )

11.在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ?

7 , B ? ? ,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______.
3

12.设 a , b 随机取自集合 {1, 2, 3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ______.

2

? y 2 ? 1有公共点的概率是

13 .已知命题

p : 函数 y ? ( c ? 1) x ? 1在 R 上单调递增;命题 q : 不等式 x2 ? x ? c ? 0 的解集是

? .若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是 ______.

??? ? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1, 14. 在直角坐标系 xOy 中, 已知两定点 A(1, 0) ,B(1,1) . 动点 P( x, y) 满足 ? 则点 P ??? ? ??? ? 0 ? OP ? OB ? 2. ? ?
构成的区域的面积是______;点 Q( x ? y, x ? y) 构成的区域的面积是______.

第 3 页共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, a2 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn

? 8 , a3 ? a4 ? 48 .

? log4 an .证明: {bn } 为等差数列,并求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角

? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点
3

A , 且 ? ? ? ? , ?) . 将 角 ? 的 终 边 按 逆 时 针 方 向 旋 转 ? , 交 单 位 圆 于 点 B . 记
6 2
A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .

(Ⅰ )若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ )分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1

? 2S2 ,求角 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA

? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱 PD 上

一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

第 4 页共 11 页

18. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? 0 . 3 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值.

19. (本小题满分 14 分)

y2 ? 1 (0 ? m ? 1) 的左顶点为 A ,M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点, 如图,椭圆 C : x ? m
2

点 P 与点

A 关于点 M 对称.
9 4 3 , ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅰ)若点 P 的坐标为 (

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn

? {( x1, x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数1, 2, 3,?, n 的一个排列 } (n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.

bi 对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn , 定义:

? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} ,

b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1, a2 ,?, an 的生成列.
(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4, 6, 2 的生成列;

?, a2 ? ,?, an ? 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,进行如下操作:将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满意 指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各项满意指 数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 .

第 5 页共 11 页

北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A;2.A; 3.D; 4.B;5.C; 6.C; 7.B; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?6 ;10. ? ;11. 3 , 12.

3 3 ; 2

5 ;13. (1, ??) ;14. 2 , 4 . 9 注:11、14 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意 q ? 0 .??????1 分 因为 a2

? 8 , a3 ? a4 ? 48 ,
2

两式相除得 q

? q ? 6 ? 0 ,??????3 分

解得 q ? 2 ,舍去 q ? ?3 .??????4 分 所以

a1 ?

a2 ? 4 .??????6 分 q

所以数列 {an } 的通项公式为 an

? a1 ? qn?1 ? 2n?1 .??????7 分
n ?1 .??????9 分 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn ? log 4 an ? 因为 bn ?1 ? bn ?

n ? 2 n ?1 1 ? ? , 2 2 2 1 的等差数列.??????11 分 2

所以数列 {bn } 是首项为 1 ,公差为 d ?

n(n ? 1) n2 ? 3n d? 所以 Sn ? nb1 ? .??????13 分 2 4

16. (本小题满分 13 分)
第 6 页共 11 页

(Ⅰ )解:由三角函数定义,得 x1 因为 ? ? ? 所以 sin ?

? cos ? , x2 ? cos(? ? ? ) .??????2 分
3

? ? 1 , ) , cos ? ? , 6 2 3

? 1 ? cos 2 ? ?

2 2 .??????3 分 3

所以 x2

? 1 3 1? 2 6 ? cos(? ? ) ? cos ? ? sin ? ? .??????5 分 3 2 2 6

(Ⅱ )解:依题意得 y1 所以 S1 ?

? sin ? , y2 ? sin(? ? ? ) .
3

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? ,??????7 分 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) .?????9 分 2 2 3 3 4 3 2? 依题意得 sin 2? ? ?2 sin(2? ? ), 3
整理得 cos 2? ? 0 .??????11 分

? ? ? ? ? ? ,所以 ? 2? ? ? , 6 2 3 ? ? 所以 2? ? ,即 ? ? .??????13 分 2 4
因为

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以△ BFC 的面积为 S ? 因为 PA

1 ? 1 ? 2 ? 1 .??????1 分 2

? 平面 ABCD ,??????2 分

所以四面体 PBFC 的体积为

VP ? BFC ?

1 S ?BFC ? PA ??????3 分 3 1 2 ? ? 1 ? 2 ? .??????4 分 3 3

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ .??????5 分 由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD .??????6 分 2

1 CD ,所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ .??????8 分
第 7 页共 11 页

因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以直线 AE ∥平面 PFC .??????9 分 (Ⅲ)证明:因为 PA

? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .

因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD .??????11 分 因为 AE

? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . ? 平面 PCD .??????12 分

因为 PA ? 所以 AE

因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD .??????13 分 因为 FQ ? 平面 PFC ,所以平面 PFC ? 平面 PCD .??????14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R ,且 当 a ? 2 时, f (1) ? ?

f ?( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a .??????2 分

1 , f ?(1) ? ?2 , 3 1 ? ?2( x ? 1) , 3

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6 x ? 3 y ? 5 ? 0 .??????4 分

(Ⅱ)解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 8a ? 0 ,??????5 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1

? 1?

2a 2a ,或 x2 ? 1 ? .??????6 分 2 2
( x2 , ? ?)
?

f ( x ) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x

(??, x1 )
?

x1

( x1 , x2 )

x2

f ?( x ) f ( x)

0

?

0







故 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为

(? ?, 1 ?

2a 2

) ,

(1 ?

2a , ?? ) ; 单 调 减 区 间 为 2

(1 ?

2a 2a ,1 ? ). 2 2
??????9 分
第 8 页共 11 页

① 当 0 ? a ? 2 时, x2

? 2 ,此时 f ( x) 在区间 (2, 3) 上单调递增,
7 ? 2a .??????10 分 3

所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 f (2) ? ② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 单调递增,

? 3 ,此时 f ( x) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上

所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 ③当 a ? 8 时, x1

5 a 2a f ( x2 ) ? ? a ? .??????12 分 3 3

? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x) 在区间 (2, 3) 上单调递减,
7 ? 2 a ;当 2 ? a ? 8 时, f ( x ) 在 3

所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a .??????13 分 综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是

区间 [2, 3] 上的最小值是

5 a 2a ?a? ;当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 7 ? 3a . 3 3

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A(?1, 0) , P(

9 4 3 , ), 5 5

所以点 M 的坐标为 (

2 2 3 , ) .??????2 分 5 5

由点 M 在椭圆 C 上,

4 12 ? ? 1 ,??????4 分 25 25m 4 解得 m ? .??????6 分 7
所以 (Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0
2

?

2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. m



??????7 分

因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P(2x0 ? 1,2 y0 ) .??????8 分 因为 OP ? OM , 所以 x0 (2x0 ? 1) ? 2 y0
2

? 0.

② ??????9 分
第 9 页共 11 页

由①,②消去 y0 ,整理得 m ?

2 2 x0 ? x0 .??????11 分 2 2 x0 ? 2

所以 m ? 1 ?

1 2( x0 ? 2) ? 6 ?8 x0 ? 2

?

1 3 ,??????13 分 ? 2 4

当且仅当 x0

? ?2 ? 3 时,上式等号成立.
1 3 ? ] .??????14 分 2 4

所以 m 的取值范围是 (0,

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4, 6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, 3 .??????3 分

?, a2 ? ,?, an ? 的生成列是与 b1?, b2 ? ,?, bn ?. (Ⅱ)证明:设 a1 , a2 ,?, an 的生成列是 b1 , b2 ,?, bn ; a1 ?, a2 ? ,?, an ? 第一个不同的项为 ak 与 ak ? ,即: an 从右往左数,设排列 a1 , a2 ,?, an 与 a1 ?, ? an

? ?1 , ?, ak ?1 ? ak ? ?1 , ak ? ak? . an?1 ? an
显然 bn

??1 , ? , bk ?1 ? bk??1 ,下面证明: bk ? bk? .??????5 分 ? , bn?1 ? bn ? bn

由满意指数的定义知,ai 的满意指数为排列 a1 , a2 ,?, an 中前 i ? 1 项中比 ai 小的项的个数减 去比 ai 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,?, an 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 ak 小,则有 k ? l ? 1 项比 ak 大, 从而 bk

? l ? (k ? l ?1) ? 2l ? k ? 1. ?, a2 ? ,?, an ? 中有 l ? 项比 ak ? 小,则有 k ? l ? ? 1 项比 ak ? 大,从而 bk? 同理,设排列 a1 ?, a2 ? ,?, ak ? 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak 因为 a1 , a2 ,?, ak 与 a1
所以 l ? l ? ,从而 bk

? 2l ? ? k ? 1 .

? ak? ,

? bk? .

?, a2 ? ,?, an ? 的生成列也不同.??????8 分 所以排列 a1 , a2 ,?, an 和 a1
(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn ,且 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右第一个 满意指数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2

? 0,?, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 .??????9 分
第 10 页共 11 页

依题意进行操作,排列 a1 , a2 ,?, an 变为排列 ak , a1 , a2 ,?ak ?1 , ak ?1 ,?, an ,设该排列的生成

?, b2 ? ,?, bn ? .??????10 分 列为 b1 ? ? b2 ? ? ?? bn ? ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) 所以 (b1 ? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ? ?? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )]
? ?2[ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )]

? ?2bk ? 2 .
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 . ??????13 分

第 11 页共 11 页


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