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2012年高考数学试题分类汇编三角函数 (2013.6.1)

时间:2015-01-15


三角函数和解三角形复习专题(2013.6.1)
一、选择题 1 . (2012 年高考(天津理))在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B ,

则 cos C ?





7 A. 25

7 B. ? 25

7 C. ? 25

24 D. 25

2 .(2012 年高考(新课标理))已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取 4 2
( )

?

值范围是 A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]
2

1 2

D. (0, 2]

3 . ( 2012 年高考(重庆理)) 设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, 则 tan(? ? ? ) 的值为

( A. ? 3 A.锐角三角形. 的最小值为 A. B. ? 1 B.直角三角形. C.1
2 2

) )

D.3
2

4 .(2012 年高考(上海理))在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是 (

C.钝角三角形.

D.不能确定.
2 2 2

5 . (2012 年高考(陕西理))在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C

( B.



3 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2


3 7 ?? ? ? ,则 sin ? ? ( , ? , sin 2? = 8 ?4 2? 3 4 3 7 A. B. C. D. 5 5 4 4 7 .(2012 年高考(辽宁理))已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? = ( 2 2 A. ? 1 B. ? C. D.1 2 2 1 8.(2012 年高考(江西理))若 tan ? + =4,则 sin2 ? = ( tan ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 ? 9.(2012 年高考(湖南理))函数 f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为 ( 6 3 3 A.[ -2 ,2] B.[- 3 , 3 ] C.[-1,1 ] D.[, ] 2 2 3 10.(2012 年高考(大纲理))已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 3 5 5 5 5 A. ? B. ? C. D. 3 9 9 3
6 .(2012 年高考(山东理))若 ? ? ?











二、填空题 11 . ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13
12.(2012 年高考(上海春))函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
4

) 的最小正周期为_______.

? ?? 4 ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12 ? 14 . ( 2012 年 高 考 ( 湖 北 理 ) ) 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________.
13.( 2012 年高考(江苏))设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? 15 . ( 2012 年 高 考 ( 大 纲 理 ) ) 当 函 数

y ? s i nx ?

得最 3 co x s ?( x 0? ? 取2 ) 大值

时, x ? _______________.
16.(2012 年高考(北京理))在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? 三、解答题 17. (2012 年高考(浙江理))在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA=

1 ,则 b ? ___________. 4
2 ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

18.(2012 年高考(重庆理))(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分)

设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

19 . ( 2012 年 高 考 ( 江 西 理 ) ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已

知, A ?

?

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

?

?

(1)求证: B ? C ?

?

2

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.

20.(2012 年高考(江苏))在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC .

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

2012 年高考真题理科数学解析汇编:三角函数参考答案 一、选择题 1.

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算 等能力. B = 5 sC i n , 又 ∵ C =2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B , 所 以 【 解 析 】 ∵ 8b =5c , 由 正 弦 定 理 得 8 s i n

8 sin B = 1 0 sB in
2.

cB o ,s 易知 sin B ? 0 ,∴ cos B =

4 7 2 , cos C = cos 2 B=2cos B ? 1 = . 5 25

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【 解 析 】 ∵ ? =0 ? f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为 偶 函 数 , 反 之 不 成 立 ,∴“ ? =0 ” 是 “ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函数”的充分而不必要条件. 【解析】选 A

3.

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)

? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C )
? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

4

4

4

?

4

4

4

【答案】A 【解析】 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1, 向左平移 1 个单位长度得 :y2=cos(x+1)+1, 再向下平移 1 个单位长度得 :y3=cos(x+1). 令 x=0, ? 得:y3>0;x= ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案. 2 5. 【答案】A
4.

【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2 ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 3 ? ? ?3 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2
a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.
6.

[解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得 cosC ?
2 2 2

? 0,

所以 C 是钝角,选 C.
7.

解析:由余弦定理得, cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 1 ? ? 当且仅当 a = b 时取“=”,选 C. 2ab 4ab 2

8.

【解析】因为 ? ? [

? 1 , ] , 所以 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? 0 ,所以 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , 又 4 2 2 8 1 9 3 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ,所以 sin 2 ? ? , sin ? ? ,选 D. 8 16 4
? ?

9.

【答案】A

sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 3? ? ? (0,? ),?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4 【解析二】 sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
【解析一】

?

?

? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求 解能力,难度适中. 10. D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? 4 ,所以. sin 2? ? . 1 2 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2 sin ? 【 点 评 】 本 题 需 求 解 正 弦 值 , 显 然 必 须 切 化 弦 , 因 此 需 利 用 公 式 tan ? ? 转化;另 cos ? 2 2 外, sin ? ? cos ? 在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次
因为 tan ? ? 分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函 数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 11. 【答案】B 【 解 析 】

? ? 3 1 ? ) ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , sin( x ? ) ? ? ?1,1? , 6 6 2 2 6 ? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. ? x ? ? ) 的形式 , 利用 sin( 【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin( ? x ? ? )??? 1,1 ? , 求得 f ( x) 的值域.
f(x)=sinx-cos(x+
12. 答案 A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角 公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角 的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题. 【 解 析 】

?
2?

s ? i ?n

3 , 两 边 平 方 可 得 ? ?c o s 3

1 ? sin 2? ?

1 2 ? sin 2? ? ? 3 3 ? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
2

所以 cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 1 ?

2 15 ?? 3 3
5 法二 : 单位圆中函数线 + 估算 , 因 3

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
为 ? 是第二象限的角,又 sin? ? cos? ? 1 ? 1

3 2

所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故 cos2? 的“余弦线”应选 A .
二、填空题 13. 【答案】 c ?

14 5 3 5 4 12 a b , cos B ? ? sin A ? ,sin B ? ? ,由正弦定理 得 5 13 5 13 sin A sin B

【 解 析 】 由 cos A ?

4 b sin A 5 ? 13 ,由余弦定理 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ? 14 a? ? 12 5 sin B 5 13 【考点定位】 利用同角三角函数间的基本关系求出 sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建 3?

立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.
14.

?
17 2. 50
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.

15. 【答案】

2? . 2 6 6 2 6 3 ?? 4 ?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ? = . ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? .∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 6? 5 6? 5 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? . 3 ? 25 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ∴ sin(2a ? )=sin(2a ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 12 3 4 3? 4 3? 4 ? ?
【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? < ,∴

?

?

<? ?

?

<

?

?

?

=

=

24 2 7 2 17 ? = 2. 25 2 25 2 50

16. 【答案】(1)3;(2)

? 4

【解析】(1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 )时 2

3 3 ,?? ? 3 ; 6 2 2? 1 ? T ? (2)由图知 AC ? ? ? ? , S ABC ? AC ? ? ? ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 2 2 ? 设 曲 线 段 ABC 与 x 轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为

? cos

?

?

S



S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

b a

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,由几何概型知该点在△ABC 内的概率

为P?

S

ABC

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 17.考点分析:考察余弦定理的运用. 解析:由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ? a2 ? b2 ? c2 ? ?ab 根据余弦定理可得 cos C ?
18. 【答案】 ?

S

? ? 2 ? . 2 4

?

a 2 ? b2 ? c 2 1 2? ?? ?C ? 2ab 2 3

2 4

【解析】设最小边为 a ,则其他两边分别为 2a, 2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为

cos ? ?

a 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 2 ?? 4 2a ? ( 2a)

【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、 运算求解能力.
19.答案:

5? 6

【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然

后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?
3

3 ? 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值. 3 2 6 3 2 6 20. 【答案】 4 a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) 4 ? 7(c ? b) ?? ? ? 【解析】 在 ?ABC 中,得用余弦定理 cos B ? , 2ac 4 4c 4c 化简得 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 a ? 2, b ? 4, c ? 3 ,答案为 4 .
【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解. 21. 【解析】正确的是①②③

? x?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 2 2 2 2 2 a ?b ?c 4(a ? b ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? ② a ? b ? 2c ? cos C ? 2ab 8ab 2 3 ? 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 ③当 C ? 时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾 2 ? ④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ? 2 ? ⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ? 3
① ab ? c ? cos C ?
2

三、解答题 22. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等

知识.

? ? ? ? ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? ?? . 所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? ? (2) 因 为 f ( x ) 在 区 间 [ ? , ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ , ] 上 是 减 函 数 , 又 4 8 8 4 ? ? ? ? ? f (? ) ? ?1 , f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 , 故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 , 最小值为 8 4 4 4 4
f (x)= sin 2 x cos
?1 . 【点评】 该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x +? ) 的数学模型,再根据此三角模型
的图像与性质进行解题即可. 23. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识 点. 2 5 (Ⅰ) ∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3 又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA 2 5 = cosC+ sinC. 3 3 整理得:tanC= 5 .

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or ∴ ? ABC 的面积为:S= 【答案】(Ⅰ)
5 . 2
a c , ? sin A sin C

5 . 6

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3 3 b= (舍去). 3

5 . 2 24. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学
5 ;(Ⅱ)

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? ? 生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列 ? ,从而解得 ? 的取值 ? ? ? ? ? ? 2 4?
范围,即可得 ? 的最在值. 解:(1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 ? 2 cos ? x ? 2 sin ? x ? ? sin ? x ? cos 2? x ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1 因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ? ? ? ? ?? ? (2) 因 y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , k? 2 ? ? ?k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ? ? k? ? k? ? ? , ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ? ? ? k ? Z ? 上为增函数. ? ? 4? ? 4? ? ? ? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 依题意知 ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4? 2 ?x ? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 25. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos 2 ? =3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ? ) 3 又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 2? ? ? 8,得 ? ? 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 ? 4 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3]
(Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 4 3 5 ?x 10 2 ? ? ? 由 x0 ? ( ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2 ?x ? 4 2 3 所以, 即cos( 0 ? ) ? 1 ? ( ) ? 4 3 5 5 ?x ? ? ?x ? ? 故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin ( 0 ? ? ) ? 2 3sin[( 0 ? ) ? ] 4 4 3 4 3 4 ?x ? ?x ? ? ? ? 2 3[sin( 0 ? ) cos ? cos( 0 ? ) sin 4 3 4 4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2 7 6 ? 5
f ( x0 ) ? 2 3sin ( ?

?x0

?

)?

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公 式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
26. [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t

,代入抛物线方程 y ? 12 ?7 x2 2 49

中,得 P 的纵坐标 yP=3 由|AP|=
949 2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 27.解析:(1)∵函数 f ( x ) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2

? ,∴最小正周期为 T ? ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x ) 的解析式为 y ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 2 6 ? 1 即 sin(? ? ) ? 6 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? 2 6 6 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,故 ? ? 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
28.

解析:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ? 则 A ? 6;

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 1 ? 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? ) . 2 3 5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 当 x ? [0, 24 3 3 6 3 2 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故函数 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 另解:由 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? 则 4x ?

?

? 5? ] ,则 x ? , 24 3 2 24 ? ? ? 5? 7? ? ?3 , 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3 , g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin 3 24 2 24 6 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g ( x) 在 [0, 24
? k? ? (k ? Z ) ,而 x ? [0,
29. 【答案及解析】

?

?

3

) 可得 g ?( x) ? 24 cos( 4 x ?

?

3

) ,令 g ?( x) ? 0 ,

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B = = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = 3 4
解法二: b =ac ,
2

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义, 考查转化思想和运算求解能力 ,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的 关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 30. 【解析】 解:(1)证明:由 b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B) ? a 及正弦定理得:

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4 2 2 2 2 2 即 sin B( sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?

?

?
2

3? 4

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8 1 5? ? ? ? 2 ? 1 sin ? 2 sin cos ? sin ? 所以三角形 ABC 的面积 ? bc sin A ? 2 sin 2 8 8 8 8 2 4 2
(2) 由(1)及 B ? C ? 【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高 考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面

积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换, 求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 31. 【答案】解:(1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3BC cos B .

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3 cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? .∴ tan C ? 2 . ? ? ? 5 5 ? 5 ? tan A ? tan B ∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ 1 ? tan A tan B ? ?2 . 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? . 2 3 1 ? 3tan A
∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

2

?

4

.

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. 【解析】(1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两角和的正切 5 公式和(1)的结论即可求得 A 的值. 32.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ? π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6 π π k 1 所以 2? π ? ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3 5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2 6π 所以 f ( x) 的最小正周期是 . 5 π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6 3π π 5 π 5π 由 0 ? x ? ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6 1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6 3π 故函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5 1 2? 33.解析:(Ⅰ) T ? ? 10? ,所以 ? ? . 5 ? ?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? ? (Ⅱ) , 所 以 f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 5 3 6 2 5 ? ? ? ? ? ? ? ?
(2)由 cos C ?

sin ? ?

?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 3 8 ? . f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,所以 cos .因为 ? 、 ?? 6 ? 6 ? 6? 17 5 17 ? ?5 ? 4 15 ? ?? ? ? ?0, ? , 所 以 c ? , 所 以 o? s ? 2 ? 1 ? s , i sin n? ? 1 ? cos2 ? ? 5 17 ? 2? 4 8 3 1 5 1 3 c ?o ??s?? ? c ? o ? s ? c ? o ? s ? ?s i .?n ?s i ?n ? 5 1 7 5 1 7 8 5

34. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能

力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 解:(1)选择(2)式计算如下 sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ?
2

1 3 sin 30? ? 2 4

(2)证明: sin 2 ? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2 3 2 3 3 ? sin ? ? cos 2 ? ? 4 4 4
35. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而

求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C 2 故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1 ? 1 ? 而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故 0 ? C ? ,所以 sin C ? ,故 C ? . 2 2 6
【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和 定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题 .试题整体上比较稳定,思路也比 较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结合 a ? 2c ,得到两角的二元一次方 程组,自然很容易得到角 C 的值. 36. 【考点定位】 本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手. 解 :

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x sin 2 x ? 1 ? cos 2 x f ( x) ?

=

(sin x ? cos x)2sin x cos x sin x

= 2(sin x ? cos x) cos x =

= 2 sin(2 x ?

?

(1) 原函数的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ; (2)原函数的单调递增区间为 [?
37. 【解析】

4

) ? 1 , {x | x ? k? , k ? Z }

?
8

? k? , k? ) k ? Z , ( k ? ,

3? ? k? ]k ? Z . 8

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2 2? ?? (I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2

f ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2 ? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? ? 2 2 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 1 ? sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? ? 2 2
当 x ? [?

?


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