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2012届高考数学知识点复习题32

时间:2016-09-13


第三十二讲

一元二次不等式及其解法

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 ( ) A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1) D.(-1,2)

解析:x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0?x2+x-2<0?-2<x<1.故选 B. 答案:B x+5 2.不等式 ≥2 的解集是( (x-1)2 1 1 -3, ? B.?- ,3? A.? 2? ? ? 2 ? 1 ? ? 1 ? C.? ?2,1?∪(1,3] D.?-2,1?∪(1,3] 1 2 ? ? ?-2≤x≤3, ?x+5≥2(x-1) x+5 解析: ≥2?? ?? (x-1)2 ?x-1≠0 ? ? ?x≠1. 1 ? ∴x∈? ?-2,1?∪(1,3].故选 D. 答案:D 3.设函数 f(x)= ? )

x>0 ? ?2, 若 f(-4)=f(0), ? x2 ? bx ? c, x≤0,
)

f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为( A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1] C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)

b 解析: 由 f(-4)=f(0), 得函数 f(x)=x2+bx+c(x≤0)的对称轴 x=-2=- , 所以 b=4.f(- 2 2)=0 得 c=4.
?x>0时-2≤1, ? 不等式 f(x)≤1 等价于? 2 ? ?x≤0时x +4x+4≤1,

解得 x>0 或-3≤x≤-1.故选 C. 答案:C 4 4.不等式 ≤x-1 的解集是( x-1 A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,1)∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-3)∪(1,+∞) x2-2x-3 解析:原不等式化为 ≥0,由数轴标根法解得-1≤x<1 或 x≥3. x-1 答案:B 1? 5.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈? ?0,2?成立,则 a 的取值范围是( A.a≥0 5 C.a≥- 2 B.a≥-2 D.a≥-3 ) )

1? a a 1 解析: 设 f(x)=x2+ax+1, 则对称轴为 x=- , 若- ≥ , 即 a≤-1 时, 则 f(x)在? ?0,2? 2 2 2 1? 5 上是减函数,应有 f? ?2?≥0?-2≤a≤-1 1 a 0, ?上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0 若- ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在? ? 2? 2 a a 2 a2 a 1 a2 - ?= - +1=1- ≥0 恒成立, 若 0≤- ≤ , 即-1≤a≤0, 则应有 f? 故-1≤a≤0. ? 2? 4 2 2 2 4 5 综上,有- ≤a. 2

答案:C 评析:考查一元二次不等式与函数相结合,利用函数的性质解不等式问题. 6.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1 +x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( A.-1<b<0 C.b<-1 或 b>2 B.b>2 D.不能确定 )

a 解析:由 f(1-x)=f(1+x),知 f(x)的对称轴为 x= =1,故 a=2. 2 又 f(x)开口向下,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b +1=b2-b-2, f(x)>0 恒成立,即 f(x)min=b2-b-2>0 恒成立, 解得 b<-1 或 b>2. 答案:C 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 解析: 根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的根, 即 a2+a-6=0, 解得 a=2 或 a=-3,当 a=2 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2),符合要求;当 a= -3 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故 m =2. 答案:2 8.(2009· 青岛市模拟)已知不等式 ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则 a2+b2-2b 的 取值范围是________. 解析:∵不等式 ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集, ∴a>0,b>0,且 Δ=b2-4a2≤0, ∴b2≤4a2. 4 b2 5 4 4 b- ?2- ≥- . ∴a2+b2-2b≥ +b2-2b= ? 4 4? 5? 5 5

4 ? ∴a2+b2-2b 的取值范围是? ?-5,+∞?. 4 ? 答案:? ?-5,+∞? 9. (2010· 西城模拟)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a, 且不等式 f(x)>0 的解集为(1,2), 若 f(x)的最大值小于 1,则 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 a<0,可设 f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a,又 a<0,∴f(x)max= 8a2-(-3a)2 -a2 -a = = <1,∴-4<a<0. 4a 4a 4 答案:(-4,0) x-1 10.(2009· 石家庄质检一)若不等式 +m<0 的解集为{x|x<3 或 x>4},则 m 的值为 x+m ________. x-1 (1+m)x+m2-1 解析:由 +m<0,得 <0,即当 1+m<0 时有(x+m-1)(x+m)>0,其 x+m x+m 大根为 1-m,小根为-m.
?1-m=4 ? 所以? ,推得 m=-3,故填:-3. ?-m=3 ?

答案:-3 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.已知函数 f(x)=ax2+x-a,a∈R. 17 (1)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值; 8 (2)解不等式 f(x)>1(a∈R). 1 1+4a2 x+ ?2- 解:(1)a≥0 时不合题意,f(x)=a? , ? 2a? 4a 1+4a2 17 当 a<0 时,f(x)有最大值,且- = , 4a 8 1 解得 a=-2 或 a=- . 8

(2)f(x)>1,即 ax2+x-a>1, (x-1)(ax+a+1)>0, ①当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 1? ②当 a>0 时,(x-1)? ?x+1+a?>0, 1 解集为{x|x>1 或 x<-1- }; a 1 ③当 a=- 时,(x-1)2<0,解集为?; 2 1 1 x+1+ ?<0, ④当- <a<0 时,(x-1)? a? ? 2 1 解集为{x|1<x<-1- }; a 1? 1 ⑤当 a<- 时,(x-1)? ?x+1+a?<0, 2 1 解集为{x|-1- <x<1}. a ax-1 12.解关于 x 的不等式: >0. x-a 1 解:当 a=0 时,不等式化为- >0,解得 x<0; x 1 x- ? a? ? a? x-a

若 a≠0,则原不等式可化为

>0.

1 1 当 0<a<1 时,a< ,解得 x<a 或 x> ; a a x-1 当 a=1 时,不等式化为 >0,解得 x∈R 且 x≠1; x-1 1 1 当 a>1 时,a> ,解得 x< 或 x>a; a a 1 x- a 若 a<0,则不等式可化为 <0. x-a 1 1 当 a<-1 时,a< ,解得 a<x< ; a a

当 a=-1 时,不等式可化为

x+1 <0,其解集为?; x+1

1 1 当-1<a<0 时,a> ,解得 <x<a. a a 1? ? 综上,当 a<-1 时,不等式解集为?x|a<x<a?;
? ?

当 a=-1 时,不等式解集为?;
? 1 ? 当-1<a<0 时,不等式解集为?x|a<x<a?; ? ?

当 a=0 时,不等式解集为{x|x<0}; 1? ? 当 0<a<1 时,不等式解集为?x|x<a或x>a?;
? ?

当 a=1 时,不等式解集为{x|x∈R 且 x≠1}; 1 ? ? 当 a>1 时,不等式解集为?x|x<a或x>a?.
? ? ?x2-x-2>0, ? 13.关于 x 的不等式组? 2 的整数解的集合为{-2},求实数 k 的 ? ?2x +(2k+5)x+5k<0,

取值范围. x>2或x<-1, ? ? 解:原不等式组等价于?? 5? ??x+2?(x+k)<0. ? x>2或x<-1, ? ? 5 由题意知-k>- ,即? 5 2 ? ?-2<x<-k. 又知解集内仅有一整数-2,所以-2<-k≤3, 即-3≤k<2.


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