nbhkdz.com冰点文库

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:10.3 二项式定理(共34张PPT)

时间:2013-11-29


§10.3

二项式定理

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.二项式定理 (a+b)n=
C0 an+C1 an 1b1+?+Cr an rbr+?+Cnbn(n∈N*) n n n n ________________________________________________. 二项展开式 右边的多项式叫做(a+b)n 的___________,其中各项的系数
二项式系数 Cr (r=0,1,…,n)叫做______________,式中的第 r+1 项 n
- r n- r r Tr+1=Cr an rbr n Cna b 叫做二项展开式的通项,记作_________________. - -

目录

2.二项式系数的性质 等距离 (1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“_______”的两个 - - 二项式系数相等,即 C0 =Cn,C1 =Cn 1,C2 =Cn 2,?, n n n n n n - Cr =Cn r. n n n+1 k (2)增减性与最大值:二项式系数 Cn,当 k< 时,二项式系 2 n+1 数是递增的;当 k> 时,二项式系数是递减的. n 2 C n2 当 n 是偶数时,中间一项_______取得最大值.
n-1

当 n 是奇数时,中间两项________和______相等,且同时取得 最大值.

Cn

2

n?1

Cn2

目录

(3)各二项式系数的和 (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即 C0 +C1 + n n
2 r n 2n Cn+…+Cn+…+Cn=_____.

(4)二项展开式中, 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项 式系数之和,即

2n-1 1 3 5 0 2 Cn+C n+Cn+…=Cn+Cn+…=______.

目录

思考探究 (a+b)n的展开式中与(b+a)n的展开式中第r+1项一定相同吗?
提示:不一定.(a+b)n 的第 r+1 项为 Cr an rbr,而(b+a)n 的 n 第 r+1 项为 Cr bn rar.要注意二者之间的前后对应关系. n
- -

目录

课前热身
1 6 1.(教材改编)(2 x- ) 的展开式倒数第三项为( x A.-160 C.240x 60 B. x 160 D.- x )

答案:B

目录

x5 2.(1+ ) 的展开式中 x2 的系数为( 2 A.10 5 C. 2 B.5 D.1

)

答案:C

目录

3.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( n A.第 +1 项 2 C.第 n+1 项 B.第 n 项

)

D.第 n 项与第 n+1 项

答案:C

目录

4.(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8=

________.
答案:255
5.设 n∈N*,则 C0 2n-C1 2n 1+?+(-1)kCk 2n k+? n n n +(-1)nCn等于________. n
- -

答案:1

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 二项展开式中指定项的有关问题

求展开式中某特定项(如有理项、常数项)或某指定项(如第 r+1 项、 xr 项)以及某指定项的系数、 含 二项式系数等问题, 通常是抓住通项公式不放.

目录

例1

(2011· 高考重庆卷)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式
) B.7 D.9 本题考查二项展开式中特定项及系数的求法;

中x5与x6的系数相等,则n=( A.6 C.8 【思路分析】

主要利用系数概念求出n.

目录

【解析】

(1+3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5 (3x)5=C5 35x5, n n

展开式中含 x6 的项为 C6 36x6,由两项的系数相等得 C5 ·5 = n n3 C6 ·6,解得 n=7. n3

【答案】

B 弄清某指定项的系数与展开式的二项式系数

【解题感受】
的区别.

目录

考点2

二项展开式的系数和问题

这类问题,一般采取“赋值”法,令二项式中的字母取特殊

的数,构造出要求的和的形式.

目录

例2

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+?+a1x+a0,

求:(1)a7+a6+?+a1; (2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0.

【思路分析】

所求结果与各项系数有关,可以考虑用“特

殊值”法,即“赋值法”整体解决.

目录

【解】 (1)令 x=0,则 a0=-1; 令 x=1,则 a7+a6+?+a1+a0=27=128, ① ∴a7+a6+?+a1=129. (2)令 x=-1, 则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,② ①-② 由 得: 2 1 a7+a5+a3+a1= [128-(-4)7]=8 256. 2 ①+② (3)由 得 2 1 a6+a4+a2+a0= [128+(-4)7]=-8 128. 2
目录

【思维总结】

求所有项的系数和,令变量取“1”,构造a0+

a1+a2+?+an的形式.

目录

跟踪训练 1.在本例中,求|a1|+|a2|+…+|a7|.
解:∵(3x-1)7 展开式中,a7、a5、a3、a1 均大于零,而 a6、a4、 a2、a0 均小于零, ∴|a7|+|a6|+?+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0 =8 256-(-8 128)-1=16 383.

目录

考点 3

求二项展开式中系数最大(小)项

如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用 待定系数法,设展开式各项系数分别为 A0,A1,A2,?,An,
?Ar≥Ar- 1 ? 且第 r+1 项系数最大,应用? 解出 r 来,即得系数 ? ?Ar≥Ar+ 1

最大项.

目录

例3

2 n 已知( x- 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x

项的系数的比是 10∶1. 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

【思路分析】 的取值.

首先求出n值,再确定当系数绝对值最大时r

目录

【解】 由题意知,第五项系数为 C4 · (-2)4, n 第三项的系数为 C2 · (-2)2, n 4 C4 · 10 n ?-2? 则有 2 = ,化简得 n2-5n-24=0, C n· ?-2?2 1 解得 n=8 或 n=-3(舍去). 设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分 - - + + 别为 Cr 1·r 1,Cr ·r,C r 1·r 1, 2 2 2 8 8 8 若第 r+1 项的系数绝对值最大, r- 1 r- 1 r r ?C8 · ≤C 8· , 2 2 ? 则? r+ 1 r+ 1 解得 5≤r≤6. r r ?C8 · ≤C8· , 2 2 ? 又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792x 11. - 由 n=8 知第 5 项二项式系数最大,此时 T5=1 120x 6.


【思维总结】 性的关系.

注意本题中的项的系数有正有负,与r奇、偶
目录

跟踪训练 2.在本例展开式中系数最小的项是第________项,其系数为 ________.
解析:由上述解答可知,T6 的系数为负,且绝对值最大, 则 T6 的系数为最小. 其值为-C5·5=-1792. 82

答案:6 -1792

目录

考点4

用二项式定理证明整除或近似计算

对于整除问题的关键在于将被除式进行恰当的变形,使其能
写成二项式的形式,展开后的每一项中都含有除式这个因式,

就可证得整除;而对于近似计算,借助于二项展开式,省略
后面的一些,作一些近似计算.

目录

例4

(1)求证:1+2+2 +?+2

2

5n- 1

(n∈N*)能被 31 整除;

27 (2)求 S=C1 +C2 +?+C27除以 9 的余数. 27 27

【思路分析】

将已知表达式整理化简,转化为二项式定理

问题.再根据题意把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与 某个数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只需考虑

最后面(或最前面)的一、二项即可求解.

目录

25n-1 - 【解】 (1)证明:∵1+2+22+?+25n 1= 2-1 =25n-1=32n-1=(31+1)n-1 - - =C0 ×31n+C1 ×31n 1+?+Cn 1×31+Cn-1 n n n n -1 -2 -1 =31(C0 ×31n +C1 ×31n +?+Cn ), n n n 显然上式括号内为整数.∴原式能被 31 整除. (2)S=C1 +C2 +?+C27=227-1 27 27 27 =89-1=(9-1)9-1 =C0×99-C1×98+?+C8×9-C9-1 9 9 9 9 =9(C0×98-C1×97+?+C8)-2 9 9 9 =9(C0×98-C1×97+?+C8-1)+7, 9 9 9 显然上式括号内的数是正整数, ∴S 除以 9 的余数为 7.
目录

【误区警示】

解答(1)时误认为项数为5n-1项而出错.解答

(2)时误认为余数为-2出错.

目录

方法感悟
方法技巧

1.利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性
的项是一类典型的问题,如通常的解法就是确定通项公式中r 的值或取值范围.

2.解决二项式指数是未知数的问题可以分两步完成:第一步
是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指 数(求解时要注意二项式系数中的n和r的隐含条件,即n,r均

为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所求
解的项.

目录

3.赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容,二项式 定理实质是关于a、b、n的恒等式.除了正用、逆用这个恒等 式,还可以根据系数和的特征,让a,b取相应的特殊值,从

而得到要求(或证)的式子.至于特殊值a,b如何选取,视具体
问题而定. 例如:若(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 则设f(x)=(ax+b)n. 有:(1)常数项为a0=f(0);

(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+an=f(1);
(3)a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=f(-1);
目录

(4)奇数项系数之和为 f?1?+f?-1? a0+a2+a4+a6+?= ; 2 (5)偶数项系数之和为 f?1?-f?-1? a1+a3+a5+a7+?= . 2 4. 应用二项式定理证明整除性问题时, 关键是要巧妙地构造二 项式,其基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项都能被另一个式 子整除即可. 因此一般要把被除式化为含有相关除式的二项式, 然后再展开.此时可采用“配凑法”、“消去法”结合整除的 有关知识来求解.
目录

失误防范 1.要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式

系数”等概念的异同.
2.“赋值法”是求二项展开式系数问题常用方法.注意取值有 利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组

值.解题易出现漏项等情况,应引起注意.切不可盲目代入x
=1或x=-1. 3.利用二项式定理求余数问题时,要注意被除式f(x)与除式 g(x)(g(x)≠0),商式q(x)与余式r(x)的关系;f(x)=q(x)· g(x)+r(x), 特别要注意余式r(x)的范围.余数不可为负数. 4.二项展开式中,系数的最大与最小要注意n的奇偶性与函 数的正负变化之间的关系.
目录

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近两年的高考试题来看,二项式定理是必考内容之一,考查

的形式主要为选择题或填空题,也可能与数列问题融合在某一
问题中出现.内容主要表现在:求展开式中的特定项、展开 式系数和以及二项式定理的应用,均属基础题或中档题.

在2012年的高考中,重点考查展开式中特定项的系数,系数
的和差及利用系数间关系求值,在命题形势上看逐年升温. 预测2014年高考在本节会出一道选择题或填空题,较大可能是

考查二项式的通项公式Tr+1和特定项系数之间的关系求值.
目录

典例透析

?x+a ??2x-1 ? 5 的展开式中各项 例 (2011· 高考课标全国卷) x? ? x ??
系数的和为 2,则该展开式中常数项为( A.-40 B.-20 )

C.20

D.40

目录

【解析】 令 x=1 得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以 a=1. ?x+1 ??2x-1 ?5 展开式中的常数项即为?2x-1 ?5 展开式中1 因此? x ?? x? ? x? x ?2x-1 ?5 展开式的通项为 的系数与 x 的系数的和.? x? - - - - Tr+ 1=Cr (2x)5 r· (-1)r· r=Cr 25 r·5 2r· x x (-1)r. 5 5 ?2x-1 ?5 展开式中 x 的 令 5-2r=1,得 2r=4,即 r=2,因此? x? - 系数为 C225 2(-1)2=80. 5 ?2x-1 ?5 展开式中1的 令 5-2r=-1,得 2r=6,即 r=3,因此? x? x - 系数为 C325 3· (-1)3=-40. 5

?x+1 ??2x-1 ?5 展开式中的常数项为 80-40=40. 所以? x ?? x?
目录

【答案】

D

【名师点评】 本题主要考查了二项展开式的系数求法及对二 项展开式通项公式的理解与应用,考查逻辑思维能力、运算能 16 力及分类讨论思想, 对形如(x +1)(ax- ) 或(1+ax)n 展开式的 x
2

考查将逐年升温.

目录


...大纲版)一轮复习配套课件:10.3 二项式定理(共34张PP....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:10.3 二项式定理(共34张PPT)_数学_高中教育_教育专区。§10.3 二项式定理 本节目录 教材回顾夯实...

...(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.3 二项式定理_图....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.3 二项式定理_数学_高中教育_教育专区。§10.3 二项式定理 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲...

...大纲版)一轮复习配套课件:12.2 统计(共45张PPT)_图....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:12.2 统计(共45张PPT) - §12.2 统 计 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲...

...届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.2 排....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.2 排列、

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:3.5 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:3.5 数列的综合应用(共29张PPT) - §3.5 数列的综合应用 本节目录 教材回顾夯实双基 考点...

...大纲版)一轮复习配套课件:6.3 不等式的证明(共32张P....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:6.3 不等式的证明(共32张PPT) - §6.3 不等式的证明 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:5.3 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:5.3 线段的定比分点和平移(共36张PPT) - §5.3 线段的定比分点和平移 本节目录 教材回顾夯实...

...一轮复习配套课件:2.8 函数的图象及变换(共33张PPT)....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:...3 解析: A.由余弦定理知, ∠AOB= 选 cos =, ...【优化方案】2014届高考... 暂无评价 34页 ...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.7 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:...10 10 解析:选 C.∵-log30.3=log3 >1,且 <...暂无评价 34页 1下载券 【优化方案】2014...

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.3 函数的单调性及最值 - §2.3 函数的单调性及最值 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究 ...

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:9.1 空间直线与平面(A、B) - 第九章 直线、平面、简单几何 体(A、B) 2014高考导航 考纲解读 1....

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:8.1 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:8.1 椭圆(共37张PPT)_数学_高中教育_教育专区。第八章 圆锥曲线方程 2014高考导航考纲解读 1.掌握...

2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:10.1 分....ppt

2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:10....第十章 排列、组合和二项式定理 2014高考导航考纲...6+5+4+3+2+1+0=45(个). 【答案】 (1)A ...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.6 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.6 指数与指数函数(共32张PPT)_数学_高中教育_教育专区。§2.6 指数与指数函数 本节目录 教材...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:5.5 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:5.5 解斜三角形(...2 故△ABC 为直角三角形. 目录 考点3 用正、余弦定理解实际问题 在实际生活...

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:6.3 不等式的

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.1 映射、函数及反函数 - 第二章 函数 2014高考导航 考纲解读 1.了解映射的概念,理解函数的概念....

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.8 函数的图

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.1 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.1 直线的方程(共33张PPT) - 第七章 直线和圆的方程 2014高考导航 考纲解读 1.理解直线的倾斜...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.1 ....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.1 映射、函数及反函数(共36张PPT)_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 2014高考导航考纲解读 ...