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上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断数学(理)试卷

时间:2016-03-12


2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学
一.

理科试卷

2016.1

填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. 设抛物线的顶点在原点, 准线方程为 x ? ?2 , 则抛物线的标准方程是________________.
2.方程 log 2 3 ? 5 ? 2 的解是________________.
x

?

?

3.设 a n ? 3 ? n (n ? N * ) ,则数列 {a n } 的各项和为________________. 4.函数 y ? cos 2 x ? 3 sin x cos x 的最小值为________________. 5.若函数 f ( x) 的图像与对数函数 y ? log 4 x 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称,则 f ( x) 的 解析式为 f ( x) ? ________________. 6.若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 4,则实数 a 的取值范围为________________. 7.若 x, y ? R ,且
?

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是________________. x y

8 .若 三条直 线 ax ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 相 交于一 点,则 行列 式

a 1 3 1 1 2 的值为________________. 2 ?1 1
9. x ? 2 x ? 1 3 x ? 4 展开后各项系数的和等于________________.
3 2

?

??

?

10.已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, AB ? 3 , CD ? 2 ,则 A 、 B 两点 在四面体 ABCD 的外接球上的球面距离是________________. 11 .已知函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 D ,值域为 ??1, 0,1,? ,则这样的集合 D 最多有
2

_______.个 12.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外 面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率为________________.

x12 13.设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,若 x1 是虚数, 是实数, x2
2

x ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? 则 S ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? =________________. x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ?
14. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外心, tan A ? 实数 m ? ________________.

2

4

8

16

32

? cos C ???? ???? 1 cos B ??? .若 ? AB ? ? AC ? 2m ? AO, 则 2 sin C sin B

1

二.

选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) ? ? ? ? 15. 已知向量 a 与 b 不平行, 且 a ? b ?0, 则下列结论中正确的是----------------------(
A. 向量 a ? b 与 a ? b 垂直 B. 向量 a ? b 与 a 垂直 C. 向量 a ? b 与 a 垂直



? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

D. 向量 a ? b 与 a ? b 平行

? ?

? ?

16. 设 a, b 为实数,则 “ 0 ? ab ? 1 ”是 “b ? A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

1 ”的----------------------------( a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



17.设 x 、 y 均是实数, i 是虚数单位,复数 ( x ? 2 y ) ? (5 ? 2 x ? y )i 的实部大于 0 ,虚部 不 小 于 0 , 则 复 数 z=x+yi 在 复 平 面 上 的 点 集 用 阴 影 表 示 为 下 图 中 的 ---------------------------------------( )

18.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 ? 2a 时,恒有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2b ,则称点 (a , b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心.研究函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4030 ? ? 4031 ? f? ?? f ? ?? f ? ? ?? ? f ? ?? f ? ? 的 值 为 --------------? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ?
( ) A. ?4031 B. 4031 C. ?8062 D. 8062

三.

解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分)
在 三 棱 锥 S ? ABC 中 , SA ? AB, SA ? AC , AC ? BC 且

19. (本题满分 12 分)

S

AC ? 2, BC ? 13, SB ? 29 .
A
2

B

C

求证 SC ? BC 并求三棱锥的体积 VS ? ABC . 20. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知实数 x 满足 ? ?

?1? ?3?

2 x?4

?1? ?1? ?? ? ?? ? ?3? ?3?

x

x?2

?

x 1 ? 0 且 f ( x) ? log 2 ? log 2 9

2

x 2

(1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f ? x ? 的最大值和最小值,并求此时 x 的值.

21. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A 、B 及 CD 的中点 P 处,AB ? 30 km, BC ? 15 km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界) ,且与 A 、 B 等 BO 、 PO .设 ?BAO ? x 距离的一点 O 处, 建造一个污水处理厂, 并铺设三条排污管道 AO 、 (弧度) ,排污管道的总长度为 y km. P 将 y 表示为 x 的函数; D (1) 试确定 O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短, 并求总长度的最短公里数(精确到 0.01 km) .

C

O
A B

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2)②小题 7 分) 给 定 数 列

?an ?

, 记 该 数 列 前 i 项 a1 , a2 ,? , ai 中 的 最 大 项 为 Ai , 即

Ai ? max ?a1 , a2 ,? , ai ? ;
该 数 列 后 n ? i 项 ai ?1 , ai ? 2 ,? , an 中 的 最 小 项 为 Bi , 即 Bi ? min ?ai ?1 , ai ? 2 ,? , an ? ;

di ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,? , n ? 1)
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的 d1 , d 2 , d 3 ; (2) 若 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 且对任意 n ? N , 有 (1 ? ? ) S n ? ?? an ?
?

2 1 n ? , 其中 ? 3 3

3

为实数, ? ? 0 且 ? ?

1 , ? ? 1. 3

①设 bn ? an ?

2 , 证明数列 ?bn ? 是等比数列; 3(? ? 1)

②若数列 ?an ? 对应的 d i 满足 di ?1 ? di 对任意的正整数 i ? 1, 2,3,? , n ? 2 恒成立,求实数

? 的取值范围.

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 已知直线 l1 、 l2 与曲线 W : mx ? ny ? 1? m ? 0, n ? 0 ? 分别相交于点 A 、 B 和 C 、 D ,
2 2

我们将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1) 若直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1 分成长度相等的四段
2 2

弧,求 a ? b 的值;
2 2

(2) 若直线 l1 : y ? 2 x ? 10, l2 : y ? 2 x ? 10 与圆 W : x ? y ? 4 分别交于点 A 、B 和
2 2

C 、 D ,求证:四边形 ABCD 为正方形;
(3) 求证:椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. 2

4

2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科(理科)参考答案及评分标准
2016.1 三. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. y 2 ? 8 x 2. x ? 2 3.

1 1 4. ? 2 2
11.9

5. y ? ?4

?x

? x ? R?
13. ?2

6. 0 ? a ? 4

7.16

8.0

9.28

10.

2? 3

12.

1 4

14.

5 5

二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.A 16.D 17.A 18.C 四. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解: 因为 SA ? AB, SA ? AC , AB ? AC ? A ,所以 SA ? 平面 ABC ,所以

S

SA ? BC .又 AC ? BC .所以 BC ? 平面 SAC .故 SC ? BC . --------6 分
在 ?ABC 中,?ACB ? 900 , AC ? 2, BC ? 13 ,所以 AB ? 17 .----8 分 又在 ?SAB 中,SA ? AB, AB ? 17, SB ? 又因为 SA ? 平面 ABC ,所以 VS ? ABC ?

A

B

C

29 ,所以 SA ? 2 3 .---10 分

1 ?1 2 39 ? . ----------12 分 ? ? ? 2 ? 13 ? ? 2 3 ? 3 ?2 3 ?

20. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

?1? 解: (1)设 ? ? ?3?

x?2

1 ? u ,则上式化为 9u 2 ? 10u ? 1 ? 0 , ? u ? 1 , 9

1 ?1? 即 ?? ? 9 ?3?

x?2

? 1 , 2 ? x ? 4 ---------------------------------------------------------------------6 分
x ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1?? log 2 x ? 2 ? 2
2

(2)因为 f ( x) ? log 2

2

3? 1 ? ? log x ? 3log 2 x ? 2 ? ? log 2 x ? ? ? ,---------------------------10 分 2? 4 ?
2 2

当 log 2 x ?

3 1 ,即 x ? 2 2 时, ymin ? ? --------------------------------------------------12 分 2 4

当 log 2 x ? 1 或 log 2 x ? 2 ,即 x ? 2 或 x ? 4 时, ymax ? 0 .---------------------------14 分

5

21. (本题满分 16 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解: (1)由已知得 y ? 2 ? 即 y ? 15 ? 15 ? (2)记 p ? 解得 p ?

2 ? sin x ? (其中 0 ? x ? )-----------------------------------------------6 分 cos x 4

15 ? 15 ? 15 tan x , cos x

2 2 ? sin x ,则 sin x ? p cos x ? 2 ,则有 ? 1, cos x 1 ? p2

3 或 p ? ? 3 ---------------------------------------------------------------------10 分

由于 y ? 0 ,所以,当 x ?

?
6

,即点 O 在 CD 中垂线上离点 P 距离为 ? 15 ?

? ? ?

15 3 ? ? km 处, 3 ? ?

.-------------------------------------------------14 分 y 取得最小值 15 ? 15 3 ? 40.98 (km) 22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2)②小题 7 分) 解: (1) d1 ? 2, d 2 ? 3, d 3 ? 6. ---------------------------------------------------------------3 分 (2)①当 n ? 1 时, (1 ? ? )a1 ? ?? a1 ? 1, 所以 a1 ? 1 ---------------------------------4 分 当 n ? 2 时, (1 ? ? ) S n ? ?? an ? 两式相减得 an ? ? an ?1 ?

2 1 2 1 n ? , (1 ? ? ) S n ?1 ? ?? an ?1 ? n ? , 3 3 3 3

2 2 2 2 ? ? an ?1 ? ? , 所以 bn ? an ? 3 3(? ? 1) 3 3(? ? 1)

? 2 ? 2 3? ? 1 ? ? ? an ?1 ? ? ?bn ?1 , 又 b1 ? a1 ? ? ?0 ? 3(? ? 1) ? 3(? ? 1) 3(? ? 1) ?
所以,数列 ?bn ? 是以

3? ? 1 为首项、 ? 为公比的等比数列.----------------- ---------9 分 3(? ? 1)

②由①知: an ?

3? ? 1 n ?1 2 ; ?? ? 3(? ? 1) 3(? ? 1)


又 di ? max ?a1 , a2 ,? , ai ? ? min ?ai ?1 , ai ? 2 ,? , an ?

di ?1 ? max ?a1 , a2 ,? , ai ?1? ? min ?ai ? 2 , ai ?3 ,? , an ?
由于 min ?ai ?1 , ai ? 2 ,? , an ? ? min ?ai ? 2 , ai ?3 ,? , an ? , 所以由 d i ?1 ? d i 推得 max ?a1 , a2 ,? , ai ? ? max ?a1 , a2 ,? , ai ?1? . 所以 max ?a1 , a2 ,? , ai ?1? ? ai ?1 对任意的正整数 i ? 1, 2,3,? , n ? 2 恒成立.-----------13 分

6

因为 di ? ai ? ai ?1 , di ?1 ? ai ?1 ? ai ? 2 , 所以

di ? di ?1 ? ai ? ai ? 2 ? 2ai ?1 ?

3? ? 1 i ?1 3? ? 1 i ?1 ?? (1 ? ? 2 ? 2? ) ? ?? (? ? 1) 2 . ------14 分 3(? ? 1) 3(? ? 1)

由 di ? di ?1 ? 0 ,得

3? ? 1 i ?1 ?? (? ? 1) 2 ? 0 , 3(? ? 1) 3? ? 1 1 1 ? 0 解得 ? ? ? 1 ,所以 ? ? ( ,1) --------------------16 分 3 3 3(? ? 1)

但 ? ? 0 且 ? ? 1 ,所以

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 解: (1) 由于直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1 分成长度相等的四段
2 2

弧,所以 AB ? CD ? 离为 d ?

2 ,在等腰直角 ?OAB 中,圆心 O ? 0, 0 ? 到直线 l1 : y ? x ? a 的距

a 2

?

2 ? a ? 1 ,同理 b ? 1 ,? a 2 ? b 2 ? 2 ------------------------------------4 分 2
2 2

( 2 )由题知,直线 l1 , l2 关于原点对称,因为圆 W : x ? y ? 4 的圆心为原点 O ,所以

??? ? ???? AB ? DC ,故四边形 ABCD 为平行四边形.易知, O 点在对角线 AC , BD 上.
2 2 ? 4 10 6 ?x ? y ? 4 2 联立 ? 解得 5 x ? 4 10 x ? 6 ? 0 ,由 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 得 5 5 ? ? y ? 2 x ? 10 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 x1 ? 10 2 x2 ? 10

?

??

?

? 5 x1 x2 ? 2 10 ? x1 ? x2 ? ? 10 ? 6 ? 2 10 ?

??? ? ??? ? 4 10 ? 10 ? 0 ,所以 OA ? OB , 5

于是 AC ? BD ,因为 AC ? BD ? 4 ,所以四边形 ABCD 为正方形.----------------9 分

????

??? ?

????

??? ?

(3) 证明:假设椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 存在内接正方形,其四个顶点为 A, B, C , D . 2

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 、 CD 的方程为 x ? m, x ? n ,因为 A, B, C , D 在 椭圆上,所以 A ? m, ? 1 ?

? ? ?

m2 2

? ? m2 , B m , 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , C n , ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , D n , ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ,由四 ? ? ?

边 形 ABCD 为 正 方 形 , 易 知 , m ?

6 6 , 直 线 AB 、 CD 的 方 程 为 ,n ? ? 3 3

7

x?

6 6 2 6 2 6 8 ,正方形 ABCD 的面积 S ? ,x ? ? ? ? .---------------------12 分 3 3 3 3 3

当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 、 CD 的 方 程 分 别 为

l AB : y ? kx ? m, lCD : y ? kx ? n ? k ? 0, m ? 0 ? ,
? x2 2 ? ? y ?1 显然 m ? n .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? ,联立 ? 2 得 ? ? y ? kx ? m

?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?
代人 AB ? 1 ? k
2

4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

2

2k 2 ? m 2 ? 1 2 2 2 ? ? AB ? 8 1 ? k ? ,得 ,同理可得 x ? x ? 4 x x ? ? ? ? ?? 1 2 2 1 2? 1 ? 2k 2

?

?

CD ? 8 ?1 ? k 2 ? ?
2

2k 2 ? n 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

,因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? CD 解得 m ? n
2

2

2

2

因为 m ? n ,所以 m ? ? n ,因此,直线 AB 与直线 CD 关于原点 O 对称,所以原点 O 为正 方形的中心(由 m ? ? n 知 AB ? DC ,四边形 ABCD 为平行四边形) 由 ABCD 为正方形知 OA ? OB , 即 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? k

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

2

?x x

1 2

? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? 0

2 ? k 2 ? 1? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 2 ? 0 ,解得 m ? 代人得 (注:此时四边形 ABCD 为菱形) 1 ? 2k 2 3
由 ABCD 为 正 方 形 知 AB ? AD , 因 为 直 线 AB 与 直 线 CD 的 距 离 为

AD ?

m?n 1? k
2

2

, m ? ?n ,故 AD ?

2

4m 2 ? 1? k 2

4?

2 ? k 2 ? 1? 3 1? k 2 ? 8 3

但 AB ? 8 1 ? k

?

2

??

2k 2 ? m 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

2 2 ?1 ? k 2 ??1 ? 4k 2 ? ? 1 得 8 ?1 ? k ??1 ? 4k ? ? ? ,由 2 2 3 ?1 ? 2k 2 ? ?1 ? 2k 2 ?
2 2

4k 4 ? 5k 2 ? 1 ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1? k 2 ? 0 即 k ? 0 ,与 k ? 0 矛盾 . 所以 AD ? AB ,这与

AD ? AB 矛盾.即当直线 AB 的斜率 k ? 0 存在时,椭圆内不存在正方形.
综上所述,椭圆 W :

x2 8 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,且其面积为 S ? .--18 分 2 3
8


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