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数列求和二轮复习课件

时间:2013-01-23


高三数学

刘世彬

高考动向
掌握等差,等比数列的前n项和公式,掌握非等比,等差数列求和 的常见的几种方法。2008年考察了裂项相消法,2009年考察了错位相 减法,2010年又考察了裂项相消法,那么今年考什么呢?

自测回扣
1.求S ? 1 ? a ? a ? a ? ? ? a(n ? N )
2 3 n *

2.求3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
1 3 5

2 n?3

的和
*

3.已知数列?an ? , bn ? 都是公差为1的等差数列, ? 其首项分别为a1,b1且a1 +b1 =5,an,bn ? N , 设cn =abn(n ? N * ),则数列?cn ?的前10项和为
4.数列( ? 1 n ?n?的前2011项的和为 ? )
5.(2009· 全国Ⅱ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9 a5=5a3,则 =________. S5

在 思 考 中 学 习 在 反 思 中 提 高

自测回扣
n 1.求S ? 1 ? a ? a 2 ? a3 ? ? ? a(n ? N * )

解:()a ? 0, 得S=1 1 (2)a ? 1, 得S ? n ? 1 1? a (3)a ? 0且a ? 1,得S ? 1? a
n ?1

自测回扣
2.求3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
1 3 5 2 n?3

的和

2(1-4 ) n?1 S=3 ? ? 2 ? (4 ? 1) 1-4

n-1

自测回扣

考题分析

本题主要考查了等比数列的定义、及等比

数列前 n 项和 Sn 的求法. 易错提醒 1.等比数列的前提条件 2.等比数列求和须看公比 3.注意求多少项的和

1.什么是数列求和?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?? an
n代表什么?

2. 数列求和先看什么?
看数列的通项公式

3. 数列求和的方法有哪些?

主干知识梳理
1.等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式: n(n-1) n(a1+an) Sn=na1+ · d= . 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式: ①q=1 时,Sn=na1; a1(1-qn) ②q≠1 时,Sn= . 1-q 2.数列求和的方法技巧 (1)分组求和法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若 将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比 数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.

(2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an·n}的前 n 项和,其中 b {an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也 就是将一个数列倒过来排列(反序), 当它与原数列相加 时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样 的数列可用倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过 相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.

3. 另外还有并项求和法,周期性求和

数列( ? 1 n ?n?的前2011项的和为 ? )
1 ? ?2an (0 ? an ? 2 ) 2 ? 数列?an ? 满足a n ?1 ? ? 若a1 ? , 则S2011 = 5 ?2a ? 1( 1 ? a ? 1) n ? n ? 2

要点热点探究
可转化为等差或等比数列的求和问题

要点热点探究
可转化为等差或等比数列的求和问题

要点热点探究
可转化为等差或等比数列的求和问题
【点评】 本题的重点是利用等差数列的定义准确求出 ?an ? 的通项公式, 利用等比数列的定义准确求出 ?bn ? an ? 的通项公式, 从而求出 ?bn ? 的通项公式。难点是利用分组求和法求 Tn ,转化 为等差或等比数列的求和问题

探究提高:如果一个数列的通项可分成两项 之和(或三项之和)则可用分组求和法:在 题目中我们主要遇到如下两种形式的数列. n 其一:通项公式为: n ? An ? Bq ? C a

a 其二:通项公式为: n ? Ap ? Bq ? C
n n

训练再提高
1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3 4 +…+anan+1 的值为 ( ) - - A.16(1-4 n) B.16(1-2 n) 32 32 -n - C. (1-4 ) D. (1-2 n) 3 3

要点热点探究
裂项相消法求和

感悟高考 明确考向
(2010· 山东·文)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26, {an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ?a1+2d=7, ? 因为 a3=7,a5+a7=26,所以? ?2a1+10d=26, ?
?a1=3, ? 解得? ?d=2. ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1,

n(n-1) Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2

要点热点探究
裂项相消法求和 (2)由(1)知 an=2n+1, 1 1 1 1 所以 bn= 2 = = · 2 an-1 (2n+1) -1 4 n(n+1) 1 ? 1 ?1 ? ? = ·- , 4 ?n n+1? ? ? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= · (1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = · (1- )= , 4 n+1 4(n+1) n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4(n+1)

要点热点探究
裂项相消法求和

【点评】 本题的难点是数列求和中的裂项相消法,即将

1 1 1 1 bn ? b ? ( ? ) 2 变形为 n 4n ? 4n 4 n n ?1 , 再 相 消 求
和.裂项相消法求和时应注意两个容易出错的地方:其一是分 拆时的系数容易错误或遗忘, ;其二是中间部分整体相消后应 保留的项数问题,

要点热点探究
裂项相消法求和

1? 1 1 1 1 1? ? 如 Tn = + + +…+ = ?1- ? + 3? 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 2 ? ?
?1 1 ? ? - ? ?2 4? ? ?



?1 1 ? ? - ? ?3 5? ? ?

+ … +

? 1 1 ? ? ? - ?n-1 n+1? ? ?



?1 1 ? ? ? - ?n n+2? ? ?

1 = 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 3 2 4 3 5 n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ,相消后前面的部分应保

1 1 1 留前两项 1 和 ,后面的部分应保留后两项 和 . 2 n+1 n+2

探究提高

(1)待定系数法是高中数学中的重要思想方

法,在数列中常常用该法求未知量. q (2)对于 Sn=a1+a2+a3+…+an,其中 an= (其 n(n+p) 中 p、q 为常数)的求和问题,往往用裂项相消法.

训练再提高
4n 2 ? 1 2.已知 bn ? 4n2 ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前

n 项和

要点热点探究
错位相减法求和

感悟高考
例2 -an=3·2n-1, 2

明确考向

(2010· 全国)设数列{an}满足 a1=2,an+1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解:由题意知: a2 ? a1 ? 3 ? 21 a3 ? a2 ? 3 ? 23 a4 ? a3 ? 3 ? 25 ?? an ? an ?1 ? 3 ? 22 n ?3
得:an ? a1 ? 3 ? (21 ? 23 ? ? ? 22 n ?3 ) 2 ? (1 ? 4n ?1 ) an ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 4n ?1 ? 22 n ?1 1? 4

要点热点探究
错位相减法求和
(2)由 bn=nan=n·2n-1 知 2 Sn=1· 2+2·3+3·5+4·7+…+(n-1)·2n-3+n·2n-1,① 2 2 2 2 2 从而 22·n=1·3+2·5+3·7+…+ S 2 2 2 1 即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9 ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·2n+1, 2

(n-1)·2n-1+n·2n+1.② 2 2

要点热点探究
裂项相消法求和

【点评】 本题的难点是求数列{an}的通项公式,解题 时首先采用累加的方法, 得到 an ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1 , 然后对 bn 求和, 是错位相减法的求和模型。 错位相减法求和的模式:
Sn=1· 2+2·3+3·5+4·7+…+(n-1)·2n-3+n·2n-1,① 2 2 2 2 2 从而 22·n=1·3+2·5+3·7+…+ S 2 2 2 1 即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9 (n-1)22n-1+n·2n+1.② · 2 ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·2n+1, 2

探究提高 错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要 方法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征.即 数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列 对应项相乘所得数列的求和问题.

训练再提高
3.已知 bn ?
n ?1 ?b ? 2n ?1 ,求数列 n 的前

n 项和

我的总结

常见求和方法
直接求和(公 式法)

适用范围及方法 等差、或等比数列用求和公式,常 数列直接运算。 把通项分解成几项,从而出现几 个等差数列或等比数列进行求和。
数列{ anbn}的求和,其中{an}是等差 数列,{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和,其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。 推导等差数列的求和方法

分组求和法
错位相减法

裂项相消法 倒序相加


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