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2018-2019学年高一数学人教版必修二课件:2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2_图文

时间:2018-11-28

新课标导学

数 学
必修② ·人教A版

第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

? 1.异面直线 任何一个 ? (1)概念:不同在____________ 平面内的两条直线叫做异面 直线. ? [归纳总结] 对定义可作如下理解:“不同在任何一个平 面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直 线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.“异面” 的含义就是“不能共面”的意思.定义中“任何”是不可 缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.

? (2)图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特 点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.

A

异面直线的判定:经过平面内一点和平面外 一点的直线与平面内不过该点的直线是异面 直线。

B

α

a

? ? ? ?

2.空间两条直线的位置关系 有且只有 (1)相交直线——同一平面内,____________ 一个公共点. (2)平行直线——同一平面内,________ 公共点. 没有 (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.

? 3.公理4
文字语言 图形 语言

平行 平行于同一条直线的两条直线互相________

a∥ c__ 符号语言 直线 a、b、c、a∥b、b∥c?______ __
作用 说明 证明两条直线平行

传递性 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的__________

4.等角定理

相等 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角________ 文字语言 互补 或________

图形语言

符号语言 作用

OA∥O′A′,OB∥O′B′?∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+ ∠A′O′B′=180° 证明两个角相等或互补

? 5.两条异面直线所成的角(夹角) ? (1)定义:已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直 锐角 线a′∥a、b′∥b,我们把a′与b′所成的________( 或直角 ________)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
0°<α≤90 ° ? (2)异面直线所成的角α的范围:_______ __ ________. ? (3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是 直角 ________ ,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直 ⊥ 的异面直线a、b,记作a______ b.

1.在三棱锥 S-ABC 中,与 SA 是异面直线的是 A.SB C.BC B.SC D.AB

( C )

? [解析] 如图所示,SB、SC、AB、 ? AC与SA均是相交直线,BC与SA既 ? 不相交,又不平行,是异面直线.

2.已知空间两个角 α,β,且 α 与 β 的两边对应平行,α=60° ,则 β 为 ( D ) A.60° B.120° C.30° D.60° 或 120°

? [解析] ∵α与β的两边对应平行,∴α与β相等或互补,故 β为60°或120°.

3.若 a、b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 A.相交 C.平行 B.异面 D.异面或相交

( D )

4.如图,AA′是长方体 ABCD-A′B′C′D′的一条

3 条. 棱,那么长方体中与 AA′平行的棱共有_____

互动探究学案

命题方向1 ?空间两条直线位置关系的判定
典例 1 已知 a、b、c 是空间三条直线,下面给出四个命题: ①如果 a⊥b,b⊥c,那么 a∥c;②如果 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,
那么 a、c 也是异面直线;③如果 a、b 是相交直线,b、c 是相交直线,那么 a、c 也是相交直线;④如果 a、b 共面,b、c 共面,那么 a、c 也共面. 在上述命题中,正确命题的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( A )

? ? ? ? ?

[解析] ①a与c可能相交,也可能异面; ②a与c可能相交,也可能平行; ③a与c可能异面,也可能平行; ④a与c可能不在一个平面内. 故①②③④均不正确.

? 『规律方法』 判断空间中两条直线位置关系的诀窍: ? (1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三 种位置关系.特别关注异面直线. ? (2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条 直线的位置关系.

〔跟踪练习 1〕 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行 C.一定异面 B.一定相交 D.相交或异面 ( D )

? [解析] 画出图形,得到结论. ? 如图①,分别与异面直线a、b 平行的两条直线c、d是相交关系; ? 如图②,分别与异面直线a、b 平行的两条直线c、d是异面关 系. ? 综上可知,应选D.

命题方向2 ?平行线的传递性
典例 2 如图,E、F 分别是长方体 A1B1C1D1-ABCD 的棱 A1A、C1C 的中
点.

求证:四边形 B1EDF 是平行四边形.

? [思路分析] 平行四边形是平面图形,若能证得四边形的 一组对边平行且相等,那么这个四边形就是平行四边形.

[ 解析]

设 Q 是 DD1 的中点,连接 EQ、QC1

∵E 是 AA1 的中点,∴EQ 綊 A1D1 又在矩形 A1B1C1D1 中 A1D1 綊 B1C1 ∴EQ 綊 B1C1(平行公理) ∴四边形 EQC1B1 为平行四边形 ∴B1E 綊 C1Q

又∵Q、F 是矩形 DD1C1C 的两边中点 ∴QD 綊 C1F ∴四边形 DQC1F 为平行四边形 ∴C1Q 綊 DF 又∵B1E 綊 C1Q,∴B1E 綊 DF ∴四边形 B1EDF 为平行四边形.

〔跟踪练习 2〕 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,M、N 分别为 CD、AD 的中点.求证: 四边形 MNA′C′是梯形.

[解析] 如图,连接 AC ∵M、N 为 CD、AD 的中点 1 ∴MN=2AC. 由正方体性质可知 AC∥A′C′ 1 ∴MN=2A′C′MN∥A′C′ ∴四边形 MNA′C′是梯形.

命题方向3 ?等角定理的应用
典例 3 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F、
E1、F1 分别是棱 AB、AD、B1C1、C1D1 的中点.求证: (1)EF 綊 E1F1; (2)∠EA1F=∠E1CF1.

[ 思路分析]

1 1 (1) EF綊2BD,E1F1綊2B1D1 → BD綊B1D1 → EF綊E1F1

(2) CF1∥A1E,A1F∥CE1 → ∠EA1F=∠E1CF1

(1)如图,连接 BD、B1D1,在△ABD 中,因为 E、F 分别为 AB、AD 1 的中点,所以 EF 綊2BD. 1 同理,E1F1 綊2B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 綊 DD1 所以四边形 BB1D1D 为平行四边形,所以 BD 綊 B1D1 1 1 又 EF 綊2BD,E1F1 綊2B1D1 所以 EF 綊 E1F1.

[ 解析]

(2)取 A1B1 的中点 M,连接 F1M、BM,则 MF1 綊 B1C1. 又 B1C1 綊 BC,所以 MF1 綊 BC 所以四边形 BMF1C 为平行四边形 所以 BM∥CF1. 1 1 因为 A1M=2A1B1,BE=2AB,且 A1B1 綊 AB

所以 A1M 綊 BE 所以四边形 BMA1E 为平行四边形 所以 BM∥A1E,所以 CF1∥A1E. 同理可证 A1F∥CE1. 因为∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F= ∠E1CF1.

? 『规律方法』 求证两直线平行,目前有两种途径:一是 应用公理4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之 平行,要充分用好平面几何知识,如有中点时用好中位线 性质等;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点.

? 求证角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相 似.

〔跟踪练习 3〕 OA OB OC 如图, 已知线段 AA1、 BB1、 CC1 交于 O 点, 且 = = , 求证: △ABC OA1 OB1 OC1 ∽△A1B1C1.

[ 解析]

∵AA1 与 BB1 交于点 O

OA OB 且OA =OB 1 1 ∴A1B1∥AB 同理 A1C1∥AC,B1C1∥BC 又∵A1B1 和 AB,A1C1 和 AC 方向相反 ∴∠BAC=∠B1A1C1 同理∠ABC=∠A1B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1.

对异面直线所成的角概念不清致误
典例 4
已知 AB⊥BC,BC⊥CD,DE⊥AE,DE∥BC,且 AB=BC=CD,

异面直线 AB 与 CD 成 60° 角,求异面直线 AD 与 BC 所成的角.

? ? ? ?

[错解] 连接AE,BE(如图①所示). ∵DE∥BC,BC=CD,BC⊥CD ∴四边形BCDE为正方形. ∵AB⊥BC,AB=BC,异面直线AB与CD成60°角

? ? ? ? ? ? ? ?

∴∠ABE=60° ∴△ABE是正三角形. ∴AE=AB=BC=DE 又DE⊥AE ∴△ADE是等腰直角三角形 ∴∠ADE=45° ∴异面直线AD与BC所成角的度数为45°. [错因分析] 对异面直线所成角的概念理解不准确,忽视 了.如图②所示的情况,导致错误.

[ 正解]

①同错解.

②连接 AE,BE(如图②所示). ∵DE∥BC,BC=CD,BC⊥CD ∴四边形 BCDE 是正方形. 又 AB⊥BC,AB=BC,异面直线 AB 与 CD 成 60° 角 ∴AB=BE,∠ABE=120° .设 AB=1,则 AE= 3 ∵DE⊥AE ∴在 Rt△ADE 中,∠ADE=60° ,即异面直线 AD 与 BC 所成的角的度数为 60° . 综上所述,异面直线 AD 与 BC 所成的角的度数为 60° 或 45° .

? [警示] 异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对 顶角中较小的那一对对顶角.当由已知两条直线所成的角 去推断两条相交直线所成的角时,依据等角定理两者可能 相等或互补,所以我们应当考虑两种情况.

转化与化归思想的应用

? 求异面直线所成的角,关键是通过平移直线,将异面直线 所成角的问题化归为一个解三角形求内角的问题,通过解 三角形求得结果.

典例 5 如图,P 是平面 ABC 外一点,PA=4,BC=
2 5,D、E 分别为 PC 和 AB 的中点,且 DE=3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小.

? [思路分析] 1.PA、BC移至同一个三角形中. ? 2.找出PA和BC所成的角.

[ 解析]

如图,取 AC 中点 F,连接 DF、EF,在△PAC 中

∵D 是 PC 中点,F 是 AC 中点 ∴DF∥PA,同理可得 EF∥BC ∴∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角). 在△DEF 中,DE=3 1 1 又 DF=2PA=2,EF=2BC= 5 ∴DE2=DF2+EF2. ∴∠DFE=90° ,即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90° .

? 『规律方法』 求异面直线所成的角的一般步骤为: ? (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中 点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线 对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使 异面直线转化为相交直线. ? (2)证明——证明所作出的角等于要求的角. ? (3)计算——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形, 求出所找的角. ? (4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°, 则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.

〔跟踪练习 4〕 四面体 A-BCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30° 角,E、F 分别是 BC、AD 的 中点,求 EF 和 AB 所成的角.

[ 解析]

如图,取 BD 的中点 G,连接 EG、FG.

∵E、F、G 分别是 BC、AD、BD 的中点 1 1 ∴EG 綊2CD,GF 綊2AB

? ? ? ? ? ?

∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角 即∠EGF=30°或150°. ∵AB=CD,∴EG=GF 故由等腰△EGF知∠GFE=75°或15°. 而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角. 从而EF和AB所成的角为75°或15°.

1.如果两条直线 a 和 b 没有公共点,那么 a 和 b A.共面 C.异面 B.平行 D.平行或异面

( D )

? [解析] 直线a、b没有公共点时,a、b可能平行,也可能 异面.

2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BD 和 CD 的中点,长方体的 各棱中与 EF 平行的有 A.1 条 C.3 条 ( )

D

B.2 条 D.4 条

? ? ? ?

[解析] 如图所示 ∵E、F分别为BD、CD的中点 ∴EF∥BC,又∵BC∥B1C1 ∴EF∥B1C1,同理,EF∥A1D1,EF∥AD.

3.空间四边形 ABCD 中,给出下列说法: ①直线 AB 与 CD 异面; ②对角线 AC 与 BD 相交; ③四条边不能都相等; ④四条边的中点组成一个平行四边形. 其中正确说法的个数是 A.1 个 C.3 个 ( )

B

B.2 个 D.4 个

? [解析] 由定义知①正确;②错误,否则A、B、C、D四点 共面;③不正确,可将一个菱形沿一条对角线折起一个角 度,就成为四边相等的空间四边形;④正确,由平行四边 形的判定定理可证.

1 < 4.空间四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则 MN______ (AC 2 +BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“=”符号)

[ 解析]

取 BC 的中点 E,连接 EM、EN,则 1 ,相加 EM+EN=2(AC+BD)

1 ? ?EM=2AC ? ?EN=1BD 2 ?

1 又 EM+EN>MN,∴MN<2(AC+BD).


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