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2012高三数学不等式、推理与证明习题及答案解析(2)

时间:2014-01-07

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2013 届高三数学章末综合测试题(12)不等式、推理与证明
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.下列符合三段论推理形式的为( A.如果 p?q,p 真,则 q 真 B.如果 b?c,a?b,则 a?c C.如果 a∥b,b∥c,则 a∥c D.如果 a>b,c>0,则 ac>bc 解析:由三段论的推理规则可以得到 B 为三段论. 答案:B 2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列 性质,你认为比较恰当的是( ) )

①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各面都是面积相等 的三角形,同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等. A.① B.② C.①②③ D.③

解析:由类比原理和思想,①②③都是合理、恰当的. 答案:C 3.用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是( A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数 解析:假设结论的反面成立, 2+ 3不是无理数,则 2+ 3是有理数. 答案:D 4.已知 ai,bi∈R(i=1,2,3,?,n),a12+a22+?+an2=1,b12+b22+?+bn2=1,则 a1b1+a2b2+?+anbn 的最大值为( A.1 B.2 ) C.n 2 D.2 n )

a2+c2 b2+d2 解析:此结论为“a,b,c,d∈R,a2+b2=1,c3+d2=1,则 ac+bd≤ + = 2 2 a12+b12 a22+b22 an2+bn2 1”的推广,类比可得 a1b1+a2b2+?+anbn≤ + +?+ =1. 2 2 2 答案:A 5.在下列函数中,最小值是 2 的是( x 2 A.y= + 2 x )

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B.y=

x+2

(x>0) x+1 1 π ,x∈(0, ) sinx 2

C.y=sinx+ D.y=7x+7

-x

解析:A 中 x 的取值未限制,故无最小值. 1 - D 中,∵y=7x+7 x=7x+ x≥2,等号成立的条件是 x=0. 7 B、C 选项均找不到等号成立的条件. 答案:D 1 6.一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x< },则 ab 的值为( 3 A.-6 B.6 C.-5 D.5 )

1 解析:∵ax2+bx+1>0 的解集是{x|-1<x< }, 3 1 ∴-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3

?-1+3=-a ∴? 1 1 ?-1×3=a
1 b 答案:B

?b=-2, ? ?? ∴ab=-3×(-2)=6. X k b 1 . c o m ? ?a=-3,

]

1 1 7.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( a b A.2 B.2 2 C.4 1 +2 ab=2? ab ?

) D.5

1 1 解析: 因为 + +2 ab≥2 a b

1 1 1 ? 当且仅当 = , 且 + ab ≥4, a b ab ?

1 ab

= ab,即 a=b=1 时,取“=”. 答案:C

?y≥0, ? 8.在直角坐标系中,若不等式组?y≤2x, ?y≤k(x-1)-1, ?
的取值范围是( ) B.(-1,2)

表示一个三角形区域,则实数 k

A.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(2,+∞)

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? ?y≥0, 解析:先作出? 的平面区域如图: ?y≤2x, ?

若 k=0 时,显然不能与阴影部分构成三角形. 若 k>0,将阴影部分的点如(0,0)代入 y≤k(x-1)-1,有 0≤-k-1,显然不能与阴影部 分构成三角形,所以 k<0;又 y=k(x-1)-1 是过定点(1,-1)的直线,由图知,若与阴影 部分构成三角形,则有-k-1>0, 故 k<-1 时,原不等式组能构成三角形区域. 答案:A 9.如果 a>b,给出下列不等式,其中成立的是( 1 1 (1) < ; a b (2)a3>b3; )

(3)a2+1>b2+1; (4)2a>2b. A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)

解析:∵a、b 符号不定,故(1)不正确,(3)不正确. ∵y=x3 是增函数,∴a>b 时,a3>b3,故(2)正确. ∴y=2x 是增函数,∴a>b 时,2a>2b,故(4)正确. 答案:D
? (x>0), ?-3 10.设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 ? ?x +bx+c (x≤0),

f(x)≤1 的解集为(

) B.[-3,-1] D.[-3,+∞)

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

b 解析:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c 且 f(-4)=f(0),故对称轴为 x=- =-2,∴b=4. 2 又 f(-2)=4-8+c=0,∴c=4, 令 x2+4x+4≤1 有-3≤x≤-1; 当 x>0 时,f(x)=-2≤1 显然成立. 故不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞). 答案:C 2 1 11.若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 + 的最小值 a b 是( )
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A.2- 2

B. 2-1

C.3+2 2

D.3-2 2

解析:由 x2+y2-2x-4y-6=0 得 (x-1)2+(y-2)2=11, 若 2ax+by-2=0 平 分圆, ∴2a+2b-2=0,∴a+b=1, 2 1 2(a+b) a+b 2b a ∴ + = + =3+ + a b a b a b ≥3+2 ba 2··=3+2 2, ab

2b a 当且仅当 = ,且 a+b=1,即 a=2- 2,b= 2-1 时取等号. a b 答案:C 12.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 km 处 C.3 km 处 B.4 km 处 D.2 km 处 )

k1 y2 解析:由题意可设 y1= ,y2=k2x,∴k1=xy1,k2= , x x 把 x=10,y1=2 与 x=10,y2=8 分别代入上式得 k1=20,k2=0.8, 20 ∴y1= ,y2=0.8x(x 为仓库到车站的距离), x 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ 20 ≥2 x 20 0.8x· =8, x

20 当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时等号成立,故选 A. x 答案:A 第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”:

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仿此, 的 52 “分裂” 中最大的数是 解析:由已知中“分裂”可得

, 的 53 “分裂” 中最小的数是

.

故“52”的“分裂”中最大的数是 9,53 的“分裂”中最小的数是 21. 答案:9 21 S△PA′B′ PA′· PB′ VP-A′B′C′ = ,则由图②有体积关系: = PA· PB S△PAB VP-ABC

14.由图①有面积关系: __________.

解析:设三棱锥 C′-PA′B′的高为 h′,

1 1 1 15.已知等比数列{an}中,a2>a3=1,则使不等式?a1-a ?+?a2-a ?+?a3-a ?+?+ ? ? ? ? ? ?
1 2 3

?an- 1 ?≥0 成立的最大自然数 n 是__________. an? ?
a1 1 解析:∵a2>a3=1,∴0<q= <1,a1= 2>1, a2 q

?a1- 1 ?+?a1- 1 ?+?a3- 1 ?+?+?an- 1 ? a1? ? a2? ? a1? an? ? ?
1 1 1 =(a1+a2+?+an)-?a +a +?+a ? ? ?
1 2 n

1 1? 1- n? a1(1-q ) a1? q ? a1(1-q4) q(1-qn) = - = - ≥0, 1 1-q 1-q a1(1-q)qn 1- q
n

a1(1-qn) q(1-qn) ∴ ≥ . 1-q a1(1-q)qn

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1 - 因为 0 <q<1,所以,化简得:a12≥ n-1,即 q4≤qn 1, q ∴4≥n-1,n≤5,所以 n 的最大值为 5. 答案:5

?x-y-2≤0, ? 16.设实数 x,y 满足?x+2y-5≥0, ?y-2≤0, ?

y x 则 u= - 的取值范围是__________. x y

解析:作出 x,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,可得可行域内的点与原点连线的 1 斜率的取值范围是?3,2?, ? ? y 1 y 即 ∈?3,2?,故令 t= , ? x ? x 1 8 3 1 1 则 u=t- ,根据函数 u=t- 在 t∈?3,2?上单调递增,得 u∈?-3,2?. ? ? ? ? t t 8 3 答案:?-3,2? ? ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 7 0 分. 17.(10 分)在三角形中有下面的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半; (3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心; 1 (4)三角形的面积为 S= (a+b+c)r(r 为三角形内切圆半径,a、b、c 为三边长). 2 请类比出四面体的有关相似性质. 解析:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一; 新课 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心; 1 (4)四面体的体积为 V = (S1+S2+S3+S4)r(r 为四面体内切球的半径,S1、S2、S3、S4 为 3 四面体的四个面的面积). b2 a2 18.(12 分)已知 a>0,b>0,求证 + ≥a+b. a b b2 a2 b2 a2 解析: + -(a+b)=? a -a?+? b -b? ? ? ? ? a b
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]

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(b+a)(b-a) (a+b)(a-b) + a b

1 1 1 =(a-b)(a+b)?b-a?= (a-b)2(a+b), ? ? ab b2 a2 ∵a>0,b>0,∴ + ≥a+b. a b 19.(12 分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2009 年举行促销活动,经调查测 k 算, 该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满足 x=4- (k 为 2t+1 常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2009 年生产该产品的固 定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定 为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数; (2)该厂家 2009 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大? k 3 解析:(1)由题意有 1=4- ,得 k=3,故 x=4- . 1 2t+1 6+12x ∴y=1.5× ×x-(6+12x)-t x 3 =3+6x-t=3+6?4-t-1?-t

?

?

=27-

18 -t(t≥0). 2t+1

(2)由(1)知:

? 9 +?t+1?? 18 y=27- -t=27.5-? 1 ? 2??. t+ 2t+1 2 ? ?
由基本不等式 1 +?t+ ?≥2 1 ? 2? t+ 2 9 9 ? 1? ·t+ =6, 1 ? 2? t+ 2

9 1 当且仅当 =t+ , 1 2 t+ 2 即 t=2.5 时,等号成立, 故 y=27- 18 -t 2t+1

? 9 +?t+1?? =27.5-? 1 ? 2??≤27.5-6=21.5. t+ ? 2 ?
当 t=2.5 时,y 有最大值 21.5.所以 2009 年的年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润

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最大. 20.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n= 1,2,3,?. (1)求 a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式. 解析:(1)当 n=1 时, x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 于是?a2-2?2-a2?a2-2?-a2=0, ? ? ? ? 1 解得 a2= . 6 (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代 入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0① 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3= ,由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. 4 n+1

? 21. 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的一个零点是-1, (12 且满足[f(x)-x]·f(x)- ?
≤0 恒成立. (1)求 f(1)的值; (2)求 f(x)的解析式;新 课 标 第 一 网 x2+1 2x 解析:(1)由均值不等式得 ≥ =x, 2 2 x +1? ? 若[f(x)-x]·f(x)- ≤0 恒成立, 2 ? ? x2+1 即 x≤f(x)≤ 恒成立, 2 12+1 令 x=1 得 1≤f(1)≤ =1,故 f(1)=1. 2 (2)由函数零点为-1 得 f(-1)=0,即 a-b+c=0, 1 又由(1)知 a+b+c=1,所以解得 a+c=b= . 2
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2
]

x2+1? 2 ?

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1 1 又 f(x)-x=ax2+ x+c-x=ax2- x+c, 2 2 1 因为 f(x)-x≥0 恒成立,所以 Δ= -4ac≤0, 4 1 因此 ac≥ ① 16 1 于是 a>0,c>0.再由 a+c= , 2 得 ac≤? c+a?2 1 ? 2 ? =16②

1 1 故 ac= ,且 a=c= , 16 4 1 1 1 1 故 f(x)的解析式是 f(x)= x2+ x2+ x+ . 4 2 2 4 22.(12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简 单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣 越漂亮,现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.w w w .x k b 1.c o m

(1)求出 f(5); (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系,并根据你得到的关系 式求 f(n)的表达式.

解析:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)∵f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n)-f(n-1)=4(n-1), f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), www.xkb1.com
[来

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f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3), ? f(2)-f(1)=4×1, ∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+?+2+1] =2(n-1)·n, ∴f(n)=2n2-2n+1.

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