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华师一2018届高三上学期期中检测数学(理)试卷

时间:2017-12-03

华中师大一附中 2017-2018 学年度上学期高三年级期中检测

数学(理)试题
命题人:尹友军 时间:120 分钟 审题人:吴巨龙 满分:150 分

第I卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z = ①z ? 2

2 ,则下列命题中正确的个数为 1- i ② z ? 1? i ③ z 的虚部为 i ④ z 在复平面上对应点在第一象限
D.4

A.1 B.2 C.3 2.下列函数为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是 A. f ( x) = ( C. f ( x ) =

ò

x

0

cos tdt )2

2 B. f ( x ) = x +

3 x2
- x

1 x + x2 2

D. f ( x) = x(e - e )

x

2 2 ? x ? , 集 合 B ? y y ?1 ? x 3.已知集合 A? ? , 则 集 合 {x x稳 A ? x y ? lg ? x ? 2? ? x 锨A B} 为

?

?

B且

? ? C. ? ??, ?2? ? ?1, 2?
A. ?2,1 ? ? 2, ???

D. ? ??, ?2? ? ?1, 2?

B. ? ?2,1? ? ? 2, ???

4.下列说法正确的是 A.“ " x, y ? R ,若 x + y ? 0 ,则 x ? 1 且 y ? 1 ”是真命题 B.在同一坐标系中,函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f (1 ? x) 的图象关于 y 轴对称. C. 命题 “ $x ? R , 使得 x 2 + 2 x + 3 < 0 ” 的否定是 “"x ? R, 都有 x 2 + 2 x + 3 > 0 ”

1 < 1 ”是“ a > 1 ”的充分不必要条件 a uuu r 1 uuu r 5.如图,在 V ABC 中, AN = NC , P 是 BN 上的一点, 3 uu u r uu u r 2 uuu r 若 AP = m AB + AC ,则实数 m 的值为 9 1 1 A. B. C.1 9 3
D. a ? R , “

第 5 题图 D .3

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善 织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1 匹= 40 尺,一丈= 10 尺),问日益
几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越 快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了七匹三丈,问

2017-2018 学年度上学期高三年级期中检测数学(理)试题

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每天增加多少尺布?”若这一个月有 31 天,记该女子一个月中的第 n 天所织布的尺数为

an ,则

a1 ? a3 ? ??? ? a29 ? a31 的值为 a2 ? a4 ? ??? ? a28 ? a30
B.

A.

1 3 ? ? ? ? , ? ? ( , ) ,则 sin(2? ? ) 的值为 tan ? 2 4 2 4 2 2 2 2 A. ? B. C. D. ? 5 10 10 5 kx?b 8.某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储存温度 x (单位:?C )满足函数关系 y ? e ( e ? 2.718 ? 为自然对数的底数,k , b 为常数) , 若该食品在 0 ?C 的保鲜时间是 192 小时, 在 22 ?C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ?C 的保鲜时间是( )小时. A. 22 B. 23 C. 24 D. 33 ? 9. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的部分图像如所示, 为了得到 y = f ( x) 的 2 图像需将 y = cos 2 x 的图像 ? A.向右平移 个单位长度 3 ? B.向左平移 个单位长度 3 ? C.向右平移 个单位长度 6 第 9 题图 ? D.向左平移 个单位长度 6 10.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,且 x ? [0,2] 时,
7.若 tan ? ?

29 30

16 15

C.

1 3

D. 15

f ( x) ? sin ? x ? 2 sin ? x
A. 18 B. 19

,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 在区间[ 0,10 ]上根的个数是 C. 10 D. 9

11.在 V ABC 和 V AEF 中, B 是 EF 的中点, AB = EF = 1 ,BC = 6,CA =

uu u r uuu r 若 AB ?AE 1 A. 2

uuu r uuu r 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值为 2 3 1 B. C. D. 3 4 3 x x 12.设函数 f ( x) = e ( x - ae ) (其中 e 为自然对数的底数)恰有两个极值点 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ,则下列说法中正确的是
A. 0 < a < 1 3 C. ? 1 ? f (0) ? 0
2

uuu r uuu r AC ?AF

33 ,

B. 0 < x2 < 1 D. f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0

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第 II 卷
二、填空题(每题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y ? lg(? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是________. 14.已知向量 a ? (6, ?2) , b ? (1, m) ,且 a ? b ,则 a ? 2b ? 15 . 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an = - n + 10n 2

?

?

?

?

?

?



19 , 当 a1 a2 a3+ a2 a3 a4+ a3a4 a5 4
2 2

16 . 若函数 y ? f ? x? 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ( 其中 a + b ? 0 ) ,则称 函数 ,称点 ( a, b) 为函数 f ( x) 的“中心点” .现有如下命题: y ? f ( x) 为“中心对称函数” ①函数 f ( x) ? sin x ? 1 是“中心对称函数” ; ② 若 “ 中 心 对 称 函 数 ” y ? f ? x ? 在 R 上 的 “ 中 心 点 ” 为 a, f ? a ? , 则 函 数

+ L + an an+ 1an+ 2 取得最大值时, n 的值为_________.

F ? x? ? f ? x? a ? ? f? ?a是 R 上的奇函数;
3 2

?

?

③函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 6x ? 2 是“中心对称函数” ,且它的“中心点”一定为 ?1, 2 ? ; ④函数 f ( x) ? 2 x ? cos x 是“中心对称函数” ,且它的“中心点”一定为 ( 其中正确的命题是___ _____. (写出所有正确命题的序号) 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (sinx,cos(? ? x)) , b = (2cos x,2cos x) ,函数 f ( x) = a ?b (Ⅰ)求 f ( x ) 的对称中心; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

,? ) .

?

r

r r

1.

?
2

] 上的最大值和最小值,并求出相应 x 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = log4 (4x ? 1) + kx ( k ? R ).

1 时,若方程 f ( x ) - m =0 有解,求实数 m 的取值范围; 2 (Ⅱ)试讨论 f ( x) 的奇偶性.
(Ⅰ)当 k = -

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , {bn } , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a2 ? 4b1 , Sn ? 2an ? 2 , . nbn?1 ? (n ?1)bn ? n2 ? n ( n ? N * ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
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bn } 能否为等差数列,请说明理由; n ? anbn ? , n为奇数 ? ? 2 (III)若数列 {cn } 的通项公式为 cn ? ? ,令 Tn 为 {cn } 的前 n 项的和, a b n n ? ,n为偶数 ? ? 4
(Ⅱ)试问 { 求 T2 n .

20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? e - ax ( a ? R , e 为自然对数的底数) .
x

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
x 2 (Ⅱ)若 a ? 1 ,函数 g ? x ? ? ? x ? m? f ? x ? ? e ? x ? x 在 ? 2, ??? 上为增函数,求

实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地 ABO ,其中 OA = 3km, OB = 3 3km,

90o .物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖 OMN ,其中 M , N 都在边 AB o 上( M , N 不与 A, B 重合, M 在 A, N 之间) ,且 ? MON 30 . (Ⅰ)若 M 在距离 A 点 2km 处,求点 M , N 之间的距离; (Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖 OMN 的面积要尽可能小.试确定 M 的位置, 使 VOMN 的面积最小,并求出最小面积. ? AOB

22. (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 满足 an ? (Ⅰ)设 Sn =

?
n

n

i= 1

第 21 题图 n (n, t ? N ? , t ? 3,t为常数, n ? t ) . t ?1 1 1 1 1 , n ? N * ,证明: Sn > (t + 1)ln(n + 1) ; = + +L + ai a1 a2 an

(Ⅱ)证明: an (Ⅲ)设 Tn ?
k ?1

? ean ?1 ( e 为自然对数底数) ;
t t k 1

? (a ) =( a)

? ( a)2 t ( ?a ) 3 t ? (? a )

t n

,n ? N * ,试比较与 Tn 与 1 的

大小关系,并说明理由.

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