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2013河北高中数学竞赛预赛(含答案)_图文

时间:2013-10-07

2013 年河北省高中数学竞赛(高三组)试题
一、填空题:共 8 道小题,每小题 8 分,共 64 分.将每小题的答案填在题后的横线上. 1.已知集合 A ? {1, 10,

1 } , B ? { y y ? lg x, x ? A} ,则 A ? B = 10




2.已知复数 z 满足 z ? z ? 2 ? i ,那么 z =

3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖) ,且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项、2 为 公比的等比数列,相应的奖金依次是以 700 元为首项、 ?140 元为公差的等差数列,则参加此次大赛获得 奖金的期望是 元. 4. cos 75 ? cos 15 ? cos 75 ? cos15 的值是
2 ? 2 ? ? ?



5. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( 1 ) 2 且 对 任 意 的 x ? R , 都 有 f ?( x) ? ? ,

f (log 2 x) ?

log 2 x ? 3 的解集为 2
2 2

1 ,则不等式 2



6.圆 O 的方程为 x ? y ? 1 , A(1,0) ,在圆 O 上取一个动点 B ,设点 P 满足 AP ? ? OB(? ? R) 且

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? AP ? AB ? 1 .则 P 点的轨迹方程为


*

? 7. l1、l2、 、l100 为 100 条共面且不同的直线, 若其中编号为 4k (k ? N ) 的直线互相平行, 编号为 4k ? 1 的
直线都过定点 A .则这 100 条直线的交点个数最多为 . 8.过正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点分别作四个相互平行的平面 ?1、? 2、? 3、? 4 , 若每相邻两个平面间的 距离都为 1,则该四面体的体积为 . 二、解答题:共 6 道小题,共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 14 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 2a cos C ? 2b ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.

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10. (本题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BAC ? 90 ,AB ? a ,AC ? 2 ,AA1 ? 1 . 点 ?
?

D 在棱 B1C1 上,且 B1D : DC1 ? 1: 3 .
? (Ⅰ)证明: BD ? AC ; (Ⅱ)当 ? 为何值时,二面角 B ? A1D ? B1 的大小为 60 ? 1

A1

C1

B1

D

A
C

B

11. (本题满分 14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 , a2 ? 3 , 2an ?1 ? 3an ? an ?1 (n ? 2) , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)求使不等式

an ? m 2 ? 成立的所有正整数 m、n 的值. an ?1 ? m 3

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12. (本题满分 14 分)在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦,叫做椭圆的通径.如

x2 y 2 1 图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其离心率为 ,通径长为 3. a b 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,I1、I 2 分别为 ?F1 BF2、?F1 AF2 的内心, 过 延长 BF2 交椭圆于点 M . (ⅰ)求四边形 F1 I 2 F2 I1 与 ?AF2 B 的面积的比值 p ; (ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CM ? CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理由.

???? ??? ? ?

y B
F1 I2
I o1 F2

x
M

A

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13. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? (a ? )e2 x ? x(a ? R) . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若在区间 (0, ??) 上,函数 f ( x) 的图象恒在曲线 y ? 2ae 下方,求 a 的取值范围.
x

1 2

14. (本题满分 15 分)设 A ? x ? 2 x ? x ? 5x ? 34 ,求使 A 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

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