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2016届江西省临川区第一中学九校高三3月联合考试文科数学试卷(word版)

时间:2016-06-22


★启用前绝密(3 月 19 日)
分宜中学 玉山一中 临川一中

2016 年江西省

南城一中 南康中学 高安中学 彭泽一中 泰和中学 樟树中学

高三联合考试

数学试卷(文科)
命题:高安中学、泰和中学、分宜中学 注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格 内,做在第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. ) 1.已知 A ? ? x | A.0 2.新定义运算:

? ?

x ?1 ? ? 0 ? , B ? ??1, 0,1? ,则 card ? A ? B ? ? ( x ?1 ?
B. 1 C. 2 D. 3



ab i z = ad ? bc ,则满足 = ? 2 的复数 z 是( ) c d ?1 z A. 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知平面向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 5 , 且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的正切值为( )

?

?

A.

3 3

B.

3

C. ? 3

D. ?

3 3
开始

4.甲乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个 学习小组,则两人参加同一个小组的概率为( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

1 6

D.

5 6

输入x

5. 下列判断错误的是( ) A.若 p ? q 为假命题,则 p, q 至少之一为假命题 B. 命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定
3 2

x ? 2? 是 否 y ? log 2 x y ? x2 ? 1
输出y

是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
3 2

C.若 a // c 且 b // c ,则 a // b 是真命题

结束 D.若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b 否命题是假命题 6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2,则可输入的实数 x 值的个数为(

)

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

7.已知数列 5,6,1,-5,?,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项 之和,则这个数列的前 16 项之和 S16 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.16 8.某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为 1 个单位), 其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )

A.

2? 3

B.

4? 3

C.

14? 3

D.

16? 9

9.已知函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ( 0 ? ? ? ? ),若 f ? x ? ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,

?

6

则 f ( x) 的单调递减区间是(



? ? 2? ? C. ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? ?

? A. ? k? , k? ? ? (k ? Z ) ? ?
2?

? ? B. ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ? 6 3? ? ?

? ? D. ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ? ?
? 3 6?

10.已知三棱锥 P ? ABC ,在底面 ?ABC 中, ?A ? 600 , BC ?

3 , PA ? 面ABC ,

) PA ? 2 3 ,则此三棱锥的外接球的表面积为( 16 32? A. ? B. 4 3? C. D. 16? 3 3 x2 y 2 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦 a b 点为 F1,F2. 若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,则双曲线的离心率为( A. )

3? 5 1? 2 3? 2 C. D. 2 2 2 2 x 12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 16 ,当 x ? ? 0, 4? 时, f ( x) ? x ? 2 ,
B. 则函数 f ( x) 在 ? ?4, 2016? 上的零点个数是( A. 504 B.505 C.1008 ) D.1009

1? 5 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分,其中 22-24 题三选一)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13. 若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 Z ? 3 x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

___

.

14. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣: “ 远看巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯” 。 这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一 共有 7 层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共有 381 盏灯,问塔顶有几盏灯? 你算 出顶层有__________盏灯. 15. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 y ? x ? 1 相交于 A, B 两点, 若△ ABF 为等边三角形,则 p = .
2 2 2

16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 3b cos C ? 3c cos B ? a , 则 tan( B ? C ) 的最大值为 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 1 ,公比为 q ;等差数列 ?bn ? 中, b1 ? 3 ,

且 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? S3 ? 27, q ? (Ⅰ)求 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;

S2 . a2

(Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

9 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2Sn

18. (本小题满分 12 分) 十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人 口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等 公共服务水平.为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的公务员,得到情况如下表: 男公务员 女公务员 80 40 生二胎 40 40 不生二胎 (1)是否有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由; (2)把以上频率当概率,若从社会上随机抽取甲、乙、丙 3 位 30 到 40 岁的男公务员,求这 三人中至少有一人要生二胎的概率. 附: 2 0.050 0.010 0.001 P(k ≥k0) 2 3.841 6.635 10.828 k0 n(ad ? bc) 2

k ?

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 又 PA ? AB ? 4 ,?CDA ? 120? , 点 N 在线段 PB 上, 且 PN ? 2 . M 恰好是 AC 中点, (Ⅰ)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求点 C 到平面 PBD 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (2,0) ,与 y 轴正半轴相交于 M 、N 两点(点 M 在点 N 的 下方) ,且 MN ? 3 . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相交于 8 4

两点 A、B ,连接 AN、BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 ?1,

2? 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)函数 g ( x) ? (1 ? a ) x ,若 ?x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ( a ? R ).
2

选做题:请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图所示,直线 PA 为圆 O 的切线, 切点为 A , 直径 BC ? OP , 连结 AB 交 PO 于点 D . (1)证明: PA ? PD ; C (2)证明: PA ? AC ? AD ? OC A
O

D B

P

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 3? sin ? ? 2 ? cos ? ? 2 ,曲线 C1 : ? (1)求曲线 C1 的普通方程; (2)若点 M 在曲线 C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的范围

? x ? 1 ? 3cos ? ( ? 为参数). ? y ? 2sin ?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 10 ? x ? 25 , 且关于 x 的不等式 f ( x) ? 10a ? 10 (a ? R ) 的解集为 R. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 2a ?

27 的最小值. a2

2016 年江西省九校高三联合考试文科数学
参考答案
命题:高安中学、泰和中学、分宜中学

一、选择题 CCBAC, 二、填空题 13. ?3

ACBDD, AB 14.3 15. 2 3 16.

2 4

三、解答题 17.解: ?1? 设数列 ?bn ? 的公差为 d ,

?a3 ? S3 ? 27 ?q 2 ? 3d ? 18 ?q ? 3 ? ? ?? ?? ? ? S2 2 ?6 ? d ? q ?d ? 3. ? ?q ? a ? 2 ? an ? 3n ?1 , bn ? 3n ,

?????? 4 分

?????? 6 分
?????? 8 分

? 2 ? 由题意得: Sn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

cn ?

? 9 9 2? 1 1 1 ? ? ? ? 3( ? ) ? ? 2Sn 2 3 ? n n ? 1 n n ? 1 ? ? ? ?

?????? 10 分

1 1 1 1 1 3n Tn ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 3 n n ?1 n ?1
2

?????? 12 分.

n(ad ? bc) 2 18.解: (1)由于 k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 200 ? (80 ? 40 ? 40 ? 40) 2 50 = <6.635, ?????? 4 分 ? 120 ? 80 ?120 ? 80 9 故没有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”. ?????? 6 分 80 2 (2)题意可得,一名男公务员要生二胎的概率为 = , 120 3 40 1 ?????? 8 分 一名男公务员不生二胎的概率为 = , 120 3
记事件 A:这三人中至少有一人要生二胎 则 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? ?

1 1 1 26 ? 3 3 3 27

?????? 12 分

19. 解: (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD , 所以 MN // PD .

2 3 , 3
.………………3 分 .………………5 分

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 ,

又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC …………6 分 (2)方法一: VC ? PBD ? V P ? BCD .………………8 分 ………………10 分

1 1 4 32 3 VP ? BCD ? ? ? 4 ? ?4 ? 3 2 9 3 1 64 80 8 15 ?8 ? 2 ? ∴ S ?PBD ? ? 4 2 ? 2 3 3 3 4 5 h? 5
∴d ?

.………………12 分

方法二:C 到平面 PBD 距离等于 A 到 PBD 距离,即 A 到 PM 距离 d,

4? 2 4 ?2
2 2

?

4 5 5

20. 解: (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆心坐标为 (2, r ) . ∵

MN ? 3 ∴

25 ?3? r 2 ? ? ? ? 22 ,解得 r 2 ? . 4 ?2?

2

?????? 3 分



圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ?
2

? ?
2

5? 25 . ? ? 2? 4
2

2

?????? 5 分

(Ⅱ)把 x ? 0 代入方程 ? x ? 2 ? ? ? y ?

5? 25 ,解得 y ? 1 或 y ? 4 , ? ? 2? 4 即点 M (0,1), N (0,4) . ?????? 6 分 (1)当 AB ? x 轴时,可知 ?ANM ? ?BNM =0. ?????? 8 分 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 . ? y ? kx ? 1 2 2 联立方程 ? 2 ,消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 6 ? 0 2 x ? 2 y ? 8 ?
设直线 AB 交椭圆于 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两点,则

? ?

x1 ? x 2 ?

? k AN ? k BN ?

y1 ? 4 y2 ? 4 kx1 ? 3 kx2 ? 3 ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?12k 12k ? 2kx1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?0 x1 x2 x1 x2 ∴ ?ANM ? ?BNM . ?????? 12 分
?????? 2 分

? 4k ?6 , x1 x 2 ? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?????? 10 分

21. 解:⑴ f ' ( x) ?

(2 x ? 1)( x ? a ) x ' 当导函数 f ( x) 的零点 x ? a 落在区间 (1, 2) 内时, 函数 f ( x) 在区间 ?1, 2? 上就不是单调函数, 所以实数 a 的取值范围是: a ? 1, 或a ? 2 ;

?????? 6 分

(也可以转化为恒成立问题。酌情给分。 ) (还可以对方程 (2 x ? 1)( x ? a ) ? 0 的两根讨论,求得答案。酌情给分) ⑵ 由题意知,不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 [1, e] 上有解,

?????? 7 分 ,? ln x ? x ? 0 , ? 当 x ? [1, e] 时, ln x ? 1 ? x (不同时取等号) 2 x ? 2x ?????? 8 分 在区间 [1, e] 上有解. ? a? x ? ln x x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ?????? 9 分 令 h( x ) ? ,则 h ' ( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ln x ? h ' ( x) ? 0 h( x) 单调递增, ? x ? [1, e] e(e ? 2) ?????? 11 分 ? x ? [1, e] 时, h( x) max ? h(e) ? e ?1 e(e ? 2) e(e ? 2) 所以实数 a 的取值范围是 ( ? ? , ? a? ] ????12 分 e ?1 e ?1 2 (也可以构造函数 F ( x) ? x ? 2 x ? a (ln x ? x) ,分类讨论。酌情给分)
即 x ? 2 x ? a (ln x ? x) ? 0 在区间 [1, e] 上有解.
2

22.证明: (1)? 直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,? ?PAB ? ?ACB

? BC 为圆 O 直径,? ?BAC ? 900

? ?ACB ? 900 ? B ,? OB ? OP ? ?BDO ? 900 ? ?B ,又 ?BDO ? ?PDA , ?????? 5 分 ? ?PAD ? ?PDA ? 900 ? ?B (2)连结 OA ,由(1)得 ?PAD ? ?PDA ? ?ACO PA AD ? ?OAC ? ?ACO ? ?PAD ∽ ?OCA ,? ? OC AC ?????? 10 分 ? PA ? AC ? AD ? OC
23.解:(Ⅰ)曲线 C1 的普通方程是: C1 :

( x ? 1) 2 y 2 ? ?1 9 4 (Ⅱ)曲线 C1 的普通方程是: C : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0
设点 M (1 ? 3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得

?????? 4 分 ?????? 6 分 ?????? 7 分

6 2 ? 6 26 ? cos(? ? ) ? cos(? ? ) ??9 分 4 13 4 13 13 6 26 ? . ?????? 10 分 ? 0 ?| cos(? ? ) |? 1 时,? 0 ? d ? 13 4 d? ?
24 解:(Ⅰ)依题意, ( x ? 10 ? x ? 25 ) max ? 10a ? 10

2 ? 6 cos ? ? 6sin ? ? 2

?????? 2 分 ?????? 5 分 ?????? 9 分

?15 ? 10a ? 10,? a ?
(Ⅱ) a ?

1 2

27 27 27 1 时, 2a ? 2 ? a ? a ? 2 ? 3 3 a ? a ? 2 ? 9 a a a 2 27 当且仅当 a ? 2 ,即 a ? 3 时等号成立。 a 27 所以 2a ? 2 的最小值为 9 a

?????? 10 分


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