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安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(2)教案新人教A版必修5

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2.3.2 等差数列的前 n 项和(二)

项目 课题
教学 目标

内容

2.3.2 等差数列的前 n 项和(二 (共 1 课时)

修改与创新

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;

2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;

3.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值

二、过程与方法

1.经历公式应用的过程,形成认识问题、解决问题的一般思路和方

法;

2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水

平的发展

三、情感态度与价值观

通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生

活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现

问题,并数学地解决问题

教学 重、 难点

教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题

教学 准备

多媒体课件

教学过 导入新课

程 师 首先回忆一下上一节课所学主要内容

生 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的两个公式:

1

(1)

Sn

?

n(a1 ? 2

an

)

;(2)

Sn

?

na1

?

n(n

?1)d 2

师 对,我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的公式,了解等差数列

的一些性质.学会了求和问题的一些方法,本节课我们继续围绕等差数列

的前 n 项和的公式的内容来进一步学习与探究

推进新课

[合作探究]

师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前 n 项和的公式的函数

表示,请同学们将求和公式写成关于 n 的函数形式



我将等差数列{an}的前 n 项和的公式 Sn

?

na1

?

n(n

?1)d 2

整理、变形

得到: Sn

?

d 2

n2

?

(a1

?

d) 2

n

师 很好!我们能否说(*)式是关于 n 的二次函数呢

生 1 能,(*)式就是关于 n 的二次函数

生 2 不能,(*)式不一定是关于 n 的二次函数

师 为什么

生 2 若等差数列的公差为 0,即 d=0 时,(*)式实际是关于 n 的一次函数!

只有当 d≠0 时,(*)式才是关于 n 的二次函数

师 说得很好!等差数列{an}的前 n 项和的公式可以是关于 n 的一次函数或

二次函数.我来问一下:这函数有什么特征

生 它一定不含常数项,即常数项为

生 它的二次项系数是公差的一半

师 对的,等差数列{an}的前 n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数. 问:若一数列的前 n 项和为 n 的一次函数或二次函数,则这数列一定是 等差数列吗 生 不一定,还要求不含常数项才能确保是等差数列 师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象 特征吗 生当 d=0 时,(*)式是关于 n 的一次函数,所以它的图象是位于一条直线

2

上的离散的点列,当 d≠0 时,(*)式是 n 的二次函数,它的图象是在二

次函数

y

?

d 2

x2

?

(a1

?

d 2

)x

的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为

(n,Sn)(n=1,2,3,

师 说得很精辟

[例题剖析]

【例】 (课本第 51 页例

分析:等差数列{an}的前

n

项和公式可以写成 Sn

?

d 2

n2

? (a1

?

d )n 2

,所



Sn

可以看成函数

y

?

d 2

x2

?

(a1

?

d 2

)x

(x∈N

*)当 x=n 时的函数值.另

一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利

用二次函数来求 n 的值.(解答见课本第 52 页

师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢?请同学们说出这个

数列的首项和公差.
生 它的首项为 5,公差为 ? 5 7
师 对,它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列,

当这数列的项出现负数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样

的情况下,同学们是否会产生新的解题思路呢?

生 老师,我有一种解法:先求出它的通项,求得结果是

an=a1+(n-1)d= ? 5 n ? 40 77

我令 an

?

5 7

n

?

40 7

≤0,得到了

n≥8,这样我就可以知道

a8=0,而

a9<

0.从而便可以发现 S7=S8,从第 9 项和 Sn 开始减小,由于 a8=0 对数列的和

不产生影响,所以就可以说这个等差数列的前 7 项或 8 项的和最大

师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研

究数列的和的变化情况

[方法引导]

师 受刚才这位同学的新解法的启发,我们大家一起来归纳一下这种解法

的规律:

①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和有怎样

3

的最值?可通过什么来求达到最值时的 n 的值

生 Sn 有最大值,可通过 ???aann?1??00 求得 n 的值 师 ②当等差数列{an}的首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和 有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的 n 的值

生 Sn 有最小值,可以通过 ???aann?1??00 求得 n 的值

[教师精讲]

好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法,我们求等差数列的前 n

项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种:

(1)利用 an 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况;

(2)利用

Sn:由

Sn

?

d 2

n2

?

(a1

?

d )n 2

利用二次函数求得

Sn 取最值时

n





课堂练习

请同学们做下面的一道练习:

已知:an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大?前多少

项之和的绝对值最小?(让一位学生上黑板去板演

解:1° ???aann?1??10120424??(1n?lgn2)< lg 20 ? 0

? 1024 <n ? 1024 +1 ?3 401<n<3 403.所以 n

lg 2

lg 2

2°Sn=1 024n+ n(n ?1) (-lg2),当 Sn=0 或 Sn 趋近于 0 时其和绝对值最 2
小,

令 Sn=0,即 1 024+ n(n ?1) (-lg2)=0,得 n = 2048

2

lg 2

因为 n∈N*,所以有 n

(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评

[合作探究]

师 我们大家再一起来看这样一个问题:

4

全体正奇数排成下表:
3 79 13 15 17 21 23 25 27 …… 此表的构成规律是:第 n 行恰有 n 个连续奇数;从第二行起,每一行第一 个数与上一行最后一个数是相邻奇数,问 2 005 是第几行的第几个数 师 此题是数表问题,近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞 赛和高考中,成为出题专家们的“新宠”,值得我们探索.请同学们根据 此表的构成规律,将自己的发现告诉我.
生 1 我发现这数表 n 行共有 1+2+3+…+n 个数,即 n 行共有 n(n ?1) 个奇 2
数 师 很好!要想知道 2 005 是第几行的第几个数,必须先研究第 n 行的构 成规律 生 2 根据生 1 的发现,就可得到第 n 行的最后一个数是
2× n(n ?1) -1=n2+n2
生 3 我得到第 n 行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n 师 现在我们对第 n 行已经非常了解了,那么这问题也就好解决了,谁来 求求看 生 4 我设 n2-n+1≤2 005≤n2+n-1, 解这不等式组便可求出 n=45,n2-n+1=1 981.再设 2 005 是第 45 行中的 第 m 个数,则由 2 005=1 981+(m-1)×2,解得 m=13.因此,2 005 是此表 中的第 45 行中的第 13 个数 师 很好!由这解法可以看出,只要我们研究出了第 n 行的构成规律,则 可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质,是迅速解答本题 的关键 课堂小结
5

本节课我们学习并探究了等差数列的前 n 项和的哪些内容

生1

我们学会了利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值的方

法:

①利用 an:当 an>0,d<0,前 n 项和有最大值.可由 an≥0,且 a n+1≤0,

求得 n 的值;当 an≤0,d>0,前 n 项和有最小值.可由 an≤0,且 a n+1≥0,

求得 n 的值

②利用 Sn:由 Sn= d n2+(a1- d )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值

2

2

生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究,学习了从整

体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法

师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式的基础

上,进一步去了解了等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问

题.学会了一些常用的数学方法和数学思想,从而使我们从等差数列的前

n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列

布置作业

课本第 52 页习题 2.3 A 组第 5、6 题

预习提纲:

①什么是等比数列?

②等比数列的通项公式如何求?

板书设 计

Sn 与函数的联系 求 Sn 最值的方法 数表问题

教学反 思

等差数列的前 n 项和(二) 例4 学生练习

6


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