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2.1.2空间两条直线之间的位置关系_图文

时间:

2.1.2空间中直线与直线之间的位 置关系

温故知新
判断下列命题对错: 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上 的所有点都在这个平面内。(? ) 2.将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在 平面只有一个公共点。 (?) 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么这四个 点必在同一个平面内。 (? ) 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。( ? ) 5.如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三条直线 可以确定一个平面。 (?)

观察实例
复习:平面内两条直线的位置关系
相交直线 平行直线

a
o

b
平行直线 (无公共点)

a b

相交直线 (有一个公共点)

空间中两条直线的位置关系
观察A’B 与C C’的关系

D’ A’ D A B

C’

B’ C

1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线 (既不平行也不相交) 注:概念应理解为: 注意(1) 不可能找到一个平面同时经过这两条直线, 即两条直线不具备确定平面的条件

思考 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线 (既不平行也不相交) 注意 (2)误解:分别在不同平面内的两条直线为异面直线

空间中两条直线的位置关系 位置关系 公共点个数 是否共面

相交 平行
异面

只有一个
没有 没有

共面
共面 不共面

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.

b a
(1)

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

练习:(1)在如图所示的正方体中,指出哪些棱所在的 直线与直线BA1是异面直线?

D1 A1 B1

C1

D A

C

B

⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点,那 么MN与AB所在的直线相交吗?

D1 A1

M B1

C1 N

D A B

C

探究:

C G

A D B H E

A G (C)

D F(B)

H E
F

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?

空间的平行直线

公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行
即若a//b,b//c,则a//c (空间平行直线的传递性)
.

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平 行.

空间四边形: 如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A

相对顶点A与C,B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
D C

B

例1如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行 四边形. A
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = 2 BD 1 同理,FG ∥BD且FG = 2BD
∴EH ∥FG且EH =FG

H E D G

B C F ∴EFGH是一个平行四边形 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的一种 方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH 是什么图形?

例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F分别 为AA1,CC1的中点. 求证:BF ∥ED1.

例3、如图,P是△ABC所在平
面外一点,D、E分别是△PAB 和△PBC的重心。

P 1 求证:DE∥AC,DE= 3AC
D A M E C N

思考(书46):在平面内, 我们可以证明 “ 如 果一个角的两边与另一个角的两边分别平行那 么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是 否仍然成立呢? B'

B

A'
A
在空间中?

C'
C

等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那 么这两个角相等或互补. (1)相等 (2)平行

练习(1)空间四边形的两条对角线相等,顺次连接四 边形中点所成的四边形一定为 (2)空间四边形ABCD中E,F,G分别为AB,AD,BC中点 M,N为对角线AC,BD中点,若∠EFM=?,则∠DNG=

第二课时:异面直线所成角的定义及相关问题
1.异面直线的判定方法: (1)定义法:由定义判定两直线不可能在同一平面内.

(借助反证法) (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线, 和平面内不经过该点的直线是异面直线

·
A

?

a

B

2.两条异面直线所成的角(空间角 平面角) 如图所示,a,b是两条异面直线, 在空间中任选一点 O, 任选 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成 的锐角θ(或直角),称为异面直线a,b所成的角. b′ b 平 θ a′ ? O P 移 O a a′

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上. 注2:异面直线所成角的取值范围: 0 ? ? ? 90 注3:若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.. 注4:垂直(包括相交垂直和异面垂直)

例1:设图中的正方体的棱长为a ①图中哪些棱所在的直线与BA1成 A1 异面直线; 棱AD, DC, CC1, DD1, DC 1 1 , B1C1 ②求异面直线A1B与C1C的夹角的度数 ; ③图中哪些棱所在的直线与直线AA1 垂直. AB, BC, CD, DA, A1B1, B1C1, C1D1, D1 A1

D
1

C

B
1

1

D B

C

A

总结:求异面直线所所成角的步骤: 一作(找)、二证、三指、四求解

练习 如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 ,
AD = 2 3 , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度 H ? (1)∵GF∥BC ∴∠EGF(或 其补角)为求.Rt△EFG
2 E

为什么?
G

F

中,求得∠EGF = 45

o

2 3
A

D

C

2 3

B

(2) ∵BF∥AE ∴∠FBG(或其补角)为所求, Rt△BFG中,求得∠FBG = 60
o

例2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=c, AB=a,

AD=b(a>b)求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。 解法一:如图,连B1D1与A1C1 交于O1,取BB1的中点M, 连O1M,则O1M??D1B, 于是?C1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角(或其 补角)
D1

方法归纳: 平移法
O1 C1 即根据定义,以“运动”的观

A1

B1
M
b

点,用“平移转化”的方法, 使之成为相交直线所成的角。

c

D
a

C B

A

CA1

BD1

cc1

D1 A1
O

C1 B1
N

D A B

C

解法三: 如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有 公共面BC1的长方体B1F.

连结A1E,C1E,则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角), D1 C1 F1
A1 B1

E1
C

D
A B

F
E

方法归纳: 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、长 方体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

练习:如图,在空间四边形ABCD中,已知AD=1, BC= 3 ,且AD⊥BC,对角线BD= 13 , 2 3 AC= ,求AC与BD所成的角 2 方法归纳:中位线平移 A 在空间图形中,利用中点 连接两个空间图形;利用 G E 中位线的平行与长度传递 异面直线的长度与方向。
B H F C D

(解法二)
A G H

E

B

D F C

R

练习:在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为400 , E , F 分别是BC , A D的中点,则EF与AB 所成的角为( ) C A.700 B.200 C.700或200  D.以上都不对

A G B E C F D

练习:在空间四边形ABCD中,AB=6,CD=4,
1 成的角的余弦值为______ 3

E, F 分别是BC , A D的中点,EF=3则AB与CD所

若改EF= 17?
B E

A G F D C

练习:在四面体A-BCD中,E, F 分别是BC, A D的中点, 若BD,AC所成的角为600 ,且BD=AC=1,求EF的长度.

1 当?EGF=60 时, EF= . 2 3 0 当?EGF=120 时, EF= . 2
0

C E B D


A



小结:
1.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角,体 现了化归的数学思想。 一般步骤是: 定角(作证指) 找三角形 解三角形 定角一般方法: (1)直接平移(2)中位线平移(3)补形法 2.用余弦定理求异面直线所成角时,要注意角的 范围: (1) 当 cosθ > 0 时,所成角为 θ (2) 当 cosθ < 0 时,所成角为π- θ (3) 当 cosθ = 0 时,所成角为 90o 3.当异面直线垂直时,还可应用线面垂直的有 关知识 解决。

课后作业:
? ? ?

D
R C P D 1

课本第48页练习第2题。
补充: 1、空间四边形ABCD中,PR分别 A 是AB、CD的中点,且PR= 3 , AC=BD=2,求AC与BD所成的角。 2、正方体ABCD—A1B1C1D1中, M为AB的中点,N为BB1的中点,

B
C 1 B1

?

A1

求A1M与C1N所成角的余弦值。
D

C B

A

3 、如图, P 为 Δ ABC 所在平面外一点, PC⊥AB , PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点。 (1)求证:EF与PC为异面直线; P (2)求EF与PC所成的角; E (3)求线段EF的长。
A
C

4 、如图, a 、 b 为异面直线, 直线 a 上的线段 AB=6cm ,直 线b上的线段CD=10cm, E、 F 分别为 AD 、 BC 的中点,且 EF=7cm ,求异面直线 a 与 b 所 成的角的度数.

F
B

A
E D

B
F C

a b

课外思考题

已知异面直线a、b所成角为60? ,P为空间 一点,作过点 P且与 a 、 b 所成的角均为 60? 的直线有且仅有几条?


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