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1.3.1简单曲线的极坐标方程

时间:2017-03-27


在平面直角坐标系中,平面曲线 C可以用方程f(x,y)=0表示. 那么:在极坐标系中,平面曲线C是否

可以用方程f(ρ,θ)=0表示呢

1.3.1简单曲线的极坐标方程

问题.如图,半径为a的圆的圆心坐标 (a,0)(a>0),且过极点,求此圆的极 坐标方程.

O

C(a,0)

x

一、定义:如果曲线C上的点与方程f(?,?)=0有 如下关系: (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线C 上。 则方程f(?,?)=0叫做曲线C的极坐标方程.

例1.已知圆O的半径为a,建立怎样的极坐标 系,可以使圆的极坐标方程更简单?

练习1:求下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为2;

? =2

(2)圆心在C(a,0),半径为a; (3)圆心在C(a,?/2),半径为a; (4)圆心在C(?0,?0),半径为a.

?=2acos ? ?=2asin ?

?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= a2

求曲线的极坐标方程的本质: 就是找出曲线上动点M的坐标?与? 之间的关系,然后列出方f(?,?)=0 . (与直角坐标系里的情况类似)
1、建系 2、设点 3、列式 4、化简

练习2:极坐标方程分别是ρ=cosθ和 ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少?
2 2

练习3:以极坐标系中的点(1,1)为圆心, 1为半径的圆的方程是( ) C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

例2.已知一个圆的极方程是:

?= 5 3 cos? ? 5sin? , 求圆心坐标和半径

练习4..曲线 ? ? 5 3 cos? ? 5sin ? 关于 极轴对称的曲线是( C 极点对称呢? )
?? ? A.? ? ?10 cos? ? ? ? 6? ? ?? ? C .? ? 10 cos? ? ? ? 6? ? ?? ? B .? ? ?10 cos? ? ? ? 6? ? ?? ? D .? ? 10 cos? ? ? ? 6? ?

问:曲线上的点到极点的最大距离?

例 3.设 O 是直径为 a 的圆上的一点,过 O 点任意 作直线交圆于点 P,在 OP 的延长线上取一点 M,使

MP ? a ,当点 P 在圆上移运一周时,求相应的点 M
的轨迹方程.

小结 (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程

思考.已知椭圆的中心在原点,长轴、短轴的长分 别为 2a, 2b( a ? b ? 0 ) ,A,B 分别为椭圆上的两 点,且 OA ? OB , (1)求证: OA 2
1 ? 1 OB
2

为定值;

(2)求 ? AOB 面积的最大和最小值.


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