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2018年高考理科数学第一轮复习教案7 指数与指数函数

时间:2017-09-19


第五节 指数与指数函数

指数与指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理数指数幂的含义,了解实数指 数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函 数图象通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型.

知识点一 根式与幂的运算 1.根式的性质 n (1)( a)n=a. n (2)当 n 为奇数时, an=a.
? ?a ?a≥0? n (3)当 n 为偶数时, an=|a|=? . ?-a ?a<0? ?

(4)负数的偶次方根无意义. (5)零的任何次方根都等于零. 2.有理指数幂 (1)分数指数幂: m n ①正分数指数幂:a n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). m 1 1 ②负分数指数幂:a- n = m= (a>0,m,n∈N*,且 n>1). a n n am

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①ar· as=ar+s(a>0,r、s∈Q). ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). ? 易误提醒 在进行指数幂的运算时, 一般用分数指数幂的形

式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母 又含有负指数.易忽视字母的符号. [自测练习] 2 -1 1 1 1 ?a3· b ?-2· a-2· b3 1.化简 (a>0,b>0)的结果是( 6 5 a· b A.a C.a2b B.ab 1 D.a

)

1 1 1 1 a-3b2· a-2b3 1 1 1 1 1 5 1 解析:原式= = a - b2+3-6=a. 1 5 3-2-6· a6b6 答案:D 知识点二 指数函数的图象与性质 y=ax 图象 定义域 值域 R (0,+∞) a>1 0<a<1

过定点(0,1) 当 x>0 时,y>1;x<0 时, 当 x>0 时, 0<y<1; x<0 时, 性质 0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函 数 y>1 在(-∞,+∞)上是减函 数

?

易误提醒 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟 a 的

取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. ? 必备方法

1.指数函数图象的三个关键点 画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点:(1,a),(0,1), 1? ? ?-1, ?. a? ? 2.底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”:当 a>1 时, 指数函数的图象“上升”; 当 0<a<1 时, 指数函数的图象“下 降”. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是 a>1,还是 0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 4. 指数函数的图象向左(或向右)平移不会与 x 轴有交点, 向上(或 向下)平移 a 个单位后,图象都在直线 y=a(或 y=-a)的上方. [自测练习] 2.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( )

解:当 x=1 时,y=a1-a=0,所以函数 y=ax-a 的图象过定点 (1,0),结合选项可知选 C. 答案:C
?3?2 ?2?3 ?2?2 3.设 a=?5?5,b=?5?5,c=?5?5,则 a,b,c 的大小关系是( ? ? ? ? ? ?

)

A.a>c>b C.c>a>b

B.a>b>c D.b>c>a
? ?

?2? 解析:构造指数函数 y=?5?x(x∈R),由该函数在定义域内单调递 ?2? ?3? 减可得 b<c; 又 y=?5?x(x∈R)与 y=?5?x(x∈R)之间有如下结论: 当 x>0 ? ? ? ? ?3? ?2? ?3? 2 ?2? 2 时,有?5?x>?5?x,故?5? 5 >?5? 5 ,即 a>c,故 a>c>b. ? ? ? ? ? ? ? ?

答案:A 4.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围 是________. 解析:由题意知 0<2-a<1,解得 1<a<2. 答案:(1,2)

考点一 指数幂的化简与求值|

求值与化简:
? 3? ? 1? ? 1 ?2 ? 2 -(0.01)0.5; (1)?25?0+2-2· 4 ? ? ? ?

1 5 1 -2 2 -3 1 ? (2)6a 3 · b · (-3a 2 b-1)÷ (4a3· b )2 ;

(3) 1 1 1 1 (a>0,b>0). ? ?a 4 b 2 ?4a 3 b 3 1 ?4? 1 ? 1 ? 1 1 2 1 1 1 16 解:(1)原式=1+4×?9? 2 -?100? 2 =1+4×3-10=1+6-10=15.
? ? ? ?

3 a3b2 ab2

5 (2)原式=-2a b-3÷ (4a · b-3)
1 ? 6 2 3

1 2

1 3 3 5 ?1 5 ?1 ? ? 6 -3 3 2 2 =-4a b ÷ (a b )=-4a · b 2 5 1 5 ab =-4· 3=- 4ab2 . ab

?a3b2a 3 b 3 ? 2 (3)原式= 1 1 ? ab2a 3 b 3 =a 2
3 1 1 ? ? 1? 6 3

1

2

1

b

1 1 1? ? 2 ? 3 3

=ab-1.

指数幂运算的四个原则 1.有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. 2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数 是带分数的,先化成假分数. 4.若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运 用指数幂的运算性质来解答.

考点二 指数函数图象及应用|

(1)函数 f(x)=2|x-1|的图象是(

)

[解析]

?2 ,x≥1, f(x)=??1?x 1 ? ,x<1, ?? ?2?


x-1

故选 B.

[答案] B (2)(2015· 衡水模拟)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点, 则 b 的取值范围是________. [解析] 曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示, 由图可知: 如果|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点, 则 b 应满足的条件是 b∈[- 1,1].

[答案] [-1,1]

与指数函数图象有关的应用问题的两种求解策略 1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函 数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. 2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型 函数图象数形结合求解.

偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关
?1? 于 x 的方程 f(x)=?10?x 在 x∈[0,4]上解的个数是( ? ?

)

A.1

B.2 C.3

D.4

解析:由 f(x-1)=f(x+1)可知 T=2. ∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,∴可得图象如图.

?1? ∴f(x)=?10?x 在 x∈[0,4]上解的个数是 4 个.故选 D. ? ?

答案:D

考点三 指数函数的性质及应用| 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用, 难 度偏小,属于低档题. 归纳起来常见的命题探究角度有: 1.比较指数式的大小. 2.与指数函数有关的奇偶性及应用. 3.探究指数型函数的性质. 探究一 比较指数式的大小 1.(2015· 高考山东卷)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b, c 的大小关系是( )

A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<a<c

D.b<c<a

解 析 : 由 指 数 函 数 y = 0.6x 在 (0 , + ∞) 上 单 调 递 减 , 可 知 0.61.5<0.60.6, 由幂函数 y=x0.6 在(0, +∞)上单调递增, 可知 0.60.6<1.50.6, 所以 b<a<c,故选 C. 答案:C 探究二 与指数函数有关的奇偶性及应用 2x+1 2.(2015· 高考山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 2 -a 成立的 x 的取值范围为( A.(-∞,-1) C.(0,1) ) B.(-1,0) D.(1,+∞)

2-x+1 2x+1 2x+1 解析:f(-x)= -x = ,由 f(-x)=-f(x)得 =- 2 -a 1-a· 2x 1-a· 2x 2x+1 ,即 1-a· 2x=-2x+a,化简得 a· (1+2x)=1+2x,所以 a=1, x 2 -a 2x+1 f(x)= x .由 f(x)>3 得 0<x<1.故选 C. 2 -1 答案:C 探究三 指数型函数的性质应用
?1? 3.已知函数 f(x)=?3?ax2-4x+3. ? ?

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.
?1? 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=?3?-x2-4x+3, ? ?

令 g(x)=-x2-4x+3, 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,

?1? 而 y=?3?t 在 R 上单调递减, ? ?

所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,- 2).
?1? (2)令 g(x)=ax2-4x+3,f(x)=?3?g(x), ? ?

由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,

?a>0, 因此必有?3a-4 ? a =-1,
解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知,
?1? 要使 y=?3?g(x)的值域为(0,+∞). ? ?

应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值域不可能 为 R). 故 a 的值为 0.

指数函数的性质及应用问题三种解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用 指数函数的单调性,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行 分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同 函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不

确定时,对底数的分类讨论.

4.换元法解决与指数函数有关的值域问题 【典例】 ________.
?1? ?1? [思路点拨] 设 t=?2?x,则?4?x=t2,这样原函数就可转化为二次 ? ? ? ? ?1? ?1? 函数 y = ?4? x - ?2? x + 1 在区间 [ - 3,2] 上的值域是 ? ? ? ?

函数.
?1? [解析] 因为 x∈[-3,2],所以若令 t=?2?x, ? ? ?1 ? 则 t∈?4,8?, ? ? ? 1? 3 故 y=t2-t+1=?t-2?2+4. ? ?

1 3 当 t=2时,ymin=4;当 t=8 时,ymax=57.
?3 ? 故所求函数值域为?4,57?. ? ? ?3 ? [答案] ?4,57? ? ?

[方法点评] 与指数函数有关的值域或最值问题,通常利用换元 法,将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题,注意换元过程中 “元”的取值范围的变化. 1 [跟踪练习] 已知 0≤x≤2,则 y=4x-2-3· 2x+5 的最大值为 ________. 解析:令 t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,

又 y=22x-1-3· 2x+5, 1 1 1 ∴y=2t2-3t+5=2(t-3)2+2, 5 ∵1≤t≤4,∴t=1 时,ymax=2. 5 答案:2

A 组 考点能力演练 1.已知函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则 下列结论正确的是( )

A.a>1,b<0 C.0<a<1,b<0

B.a>1,b>0 D.0<a<1,b>0

解析:由图象呈下降趋势知,0<a<1,又 a-b<1=a0,故-b>0, 即 b<0. 答案:C 2.函数 y=2x-2-x 是( )

A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减

解析:根据奇偶性的定义判断函数奇偶性,借助指数函数的图象 及相关结论判断单调性. 令 f(x)=2x-2-x, 则 f(-x)=2-x-2x=-f(x), 所以函数是奇函数,排除 C,D.又函数 y=2x,y=-2-x 都是 R 上的 增函数,由增函数加增函数还是增函数的结论可知 f(x)=2x-2-x 是 R 上的增函数,故选 A. 答案:A 3. (2015· 日照模拟)设函数 f(x)定义在实数集上, 它的图象关于直 线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有(
?1? ?3? ?2? A.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? B.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?3? C.f?3?<f?3?<f?2? ?3? ?2? ?1? D.f?2?<f?3?<f?3?

)

解析:∵函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 1? ?5? ?2? ? 2? ?4? ?1? ? ∴f(x)=f(2-x),∴f?3?=f?2-3?=f?3?,f?3?=f?2-3?=f?3?,又∵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4 3 5 x≥1 时,f(x)=3x-1 为单调递增函数,且3<2<3,
?4? ?3? ?5? ∴f?3?<f?2?<f?3?, ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? 即 f?3?<f?2?<f?3?,故选 B. ? ? ? ? ? ?

答案:B 4.已知实数 a,b 满足等式 2a=3b,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0; ⑤a=b=0.

其中有可能成立的关系式有( A.1 个 C.3 个

)

B.2 个 D.4 个

解析:依题意,在同一坐标系下画出函数 y=2x,y=3x 的图象与 直线 y=t,平移直线 y=t,通过观察可知,直线 y=t 分别与函数 y= 2x,y=3x 的图象的交点的横坐标 a,b 的大小关系可能是 a<b<0;a =b=0;0<b<a,因此其中有可能成立的关系式共有 3 个,故选 C. 答案:C 5. (2015· 济宁三模)已知函数 f(x)=|2x-1|, a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b), 则下列结论中,一定成立的是( A.a<0,b<0,c<0 C.2-a<2c ) B.a<0,b≥0,c>0 D.2a+2c<2

解析:作出函数 f(x)=|2x-1|的图象,如图, ∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知, 0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2a<1. ∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1, ∴2a+2c<2,故选 D.

答案:D
?3? 1 ? 7? 1 4 6.计算:?2?-3×?-6?0+84× 2- ? ? ? ? ? 2?2 ?- ? =________. ? 3?3

?2?1 3 1 ?2?1 解析:原式=?3?3×1+24×24-?3?3=2. ? ? ? ?

答案:2 7.已知函数 f(x)=ax-1+1(a≠0)的图象恒过定点 A,则点 A 的坐 标是________. 解析:由题意,因为 a 为变量,所以只有当 ax-1 为定值时,函数 的图象才过定点,所以 x=1,y=2,定点 A(1,2). 答案:(1,2) 8.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值 a 大2,则 a 的值为________. 解析:当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数,在 x∈[1,2]上, f(x)最大=f(2)=a2,f(x)最小=f(1)=a. a ∴a2-a=2.即 a(2a-3)=0. 3 3 ∴a=0(舍)或 a=2>1.∴a=2. 当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数, 在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(1)=a,f(x)最小=f(2)=a2. a ∴a-a2=2.∴a(2a-1)=0, 1 1 ∴a=0(舍)或 a=2.∴a=2. 1 3 综上可知,a=2或 a=2. 1 3 答案:2或2
?1? 9.已知 2x2-x≤?4?x-1,求函数 y=2x-2-x 的值域. ? ?

?1? 解: 由 2x2-x≤?4?x-1=2-2x+2, 得 x2-x≤-2x+2, 即 x2+x-2≤0 ? ? ?1 ? 1 1 解得-2≤x≤1.令 t=2x,t∈?4,2?,则 y=t- t ,易知 y=t- t 在区间 ? ? ?1 ? ? ,2?上是增函数, ?4 ? ? 15 3? 1 所以,函数 y=t- t 的值域为?- 4 ,2?,即函数 y=2x-2-x 的值 ? ? ? 15 3? 域为?- 4 ,2?. ? ?

10.(2016· 天津期末)已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R,且 e 为自然对 数的底数). (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由.
?1? 解:(1)∵f(x)=ex-? e?x, ? ? ?1? ∴f′(x)=ex+? e?x, ? ?

∴f′(x)>0 对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)在 R 上是增函数. ∵f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数,则 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立 ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 都成立 ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 都成立 1? 1 ? ?t2+t≤x2+x=?x+2?2-4对一切 x∈R 都成立
? ?

1 1 ? 1? ?t2+t≤(x2+x)min=-4?t2+t+4=?t+2?2≤0,
? ? ? 1? ? 1? 1 又?t+2?≥0,∴?t+2?2=0,∴t=-2, ? ? ? ?

1 ∴存在 t=-2,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成 立. B 组 高考题型专练 1. (2014· 高考陕西卷)下列函数中, 满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单 调递增函数是( A.f(x)=x3 1 C.f(x)=x2 ) B.f(x)=3x
?1? D.f(x)=?2?x ? ?

解析:对于选项 A,f(x+y)=(x+y)3≠f(x)f(y)=x3y3,排除 A;对 于选项 B,f(x+y)=3x+y=3x· 3y=f(x)f(y),且 f(x)=3x 在其定义域内是 1 1 单调增函数,B 正确;对于选项 C,f(x+y)= x+y≠f(x)f(y)=x2y2=
?1? ?1? ?1? xy,排除 C;对于选项 D,f(x+y)=?2?x+y=?2?x?2?y=f(x)f(y),但 f(x) ? ? ? ?? ? ?1? =?2?x 在其定义域内是减函数,排除 D.故选 B. ? ?

答案:B 2.(2015· 高考山东卷)已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域 和值域都是[-1,0],则 a+b=________.
?a-1+b=-1, ? 解析: ①当 a>1 时, f(x)在[-1,0]上单调递增, 则? 0 ?a +b=0, ?

无解. ②当 0<a<1 时,f(x)在[-1,0]上单调递减,

-1 ?a= , ? ?a +b=0, ? 则 0 解得? 2 ? a + b =- 1 , ?

1

?b=-2,

3 ∴a+b=-2.

3 答案:-2 3.(2015· 高考江苏卷)不等式 2x2-x<4 的解集为________. 解析:不等式 2x2-x<4 可转化为 2x2-x<22,利用指数函数 y= 2x 的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}. 答案:(-1,2) 4.(2015· 高考福建卷)若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1 -x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 解析:因为 f(1+x)=f(1-x),所以函数 f(x) 关于直线 x=1 对称,所以 a=1,所以函数 f(x) =2|x-1|的图象如图所示,因为函数 f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以 m≥1,所以实数 m 的最小值为 1. 答案:1


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