nbhkdz.com冰点文库

高考数学解题技巧(方法类):高考数学解题技巧——3.函数与方程的思想

时间:2016-09-12


高考数学解题技巧系列丛书——《数学之家》精心出品

高考数学解题技巧(方法类) 3.函数与方程的思想方法
一、题型与方法介绍 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题, 从而使问题获得解决. 函数思想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过 解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的 本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运 动中的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以 把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0.函数问题(例如求反函数,求函数的值域等)可以转化为方 程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点. (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借助于 函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式. (3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要. (4) 函数 f(x)= (ax ? b) n (n∈N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数
*

法可以解决很多二项式定理的问题. (5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决, 涉及到二次方程与二次函数的有关理论. (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法 加以解决.

二、方法技巧 1.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题. 例 1 已知
2

5b ? c (a、b、c∈R) ,则有( ? 1, 5a
(B)



(A) b ? 4ac

b 2 ? 4ac (C) b 2 ? 4ac (D) b 2 ? 4ac

【解析】 法一:依题设有 a·5-b· 5 +c=0 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个实根;
2

∴△= b ? 4ac ≥0 ∴ b ? 4ac
2 2

故选(B) .
2 2 2

法二:去分母,移项,两边平方得: 5b ? 25a ? 10ac ? c ≥10ac+2·5a·c=20ac

高考数学解题技巧系列丛书——《数学之家》精心出品

∴ b ? 4ac
2

故选(B) .

点评解法一通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;解法二转化 为 b2 是 a、c 的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成. 【变式 1】已知关于 x 的方程 x -(2 m-8)x + m -16 = 0 的两个实根
2 2

3 x 、 x 满足 x < < x , 2
1 2 1 2

则实数 m 的取值范围_______________. 【答案】 {m | ?

1 7 ? m ? }; 2 2


【变式 2】已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如下,则( (A) b ? ? ??,0? (C) b ? (1, 2) 答案:A. (B) b ? ? 0,1? (D) b ? (2, ??) y

0

1

2 x

2 2 【变式 3】 求使不等式 lg( xy) ≤ lg a · lg x ? lg y 对大于 1 的任意 x、y 恒成立的 a 的取值范围.

2.构造函数或方程解决有关问题. 例 2 已知 f (t ) ? log 2 t ,t∈[ 2 ,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒
2

成立,求 x 的取值范围. 【解析】∵t∈[ 2 ,8],∴f(t)∈[
2

1 ,3], 2

原题转化为: m( x ? 2) ? ( x ? 2) >0 恒成立,为 m 的一次函数, 当 x=2 时,不等式不成立.∴x≠2.

? 1 1 1 ?g ( ) ? 0 令 g(m)= m( x ? 2) ? ( x ? 2) ,m∈[ ,3],问题转化为 g(m)在 m∈[ ,3]上恒对于 0,则: ? 2 ; 2 2 ? ? g (3) ? 0
2

解得:x>2 或 x<-1. 【评析】 首先明确本题是求 x 的取值范围, 这里注意另一个变量 m, 不等式的左边恰是 m 的一次函数, 因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解题的关键. 例 3 为了更好的了解鲸的生活习性,某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置,从海洋放归点 A 处,如图(1)所示,把它放回大海,并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达 40 分钟的跟踪观测, 每隔 10 分钟踩点测得数据如下表 (设鲸沿海面游动) , 然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测, 已知 AB=15km,观测站 B 的观测半径为 5km. 观测时刻 t(分钟) 10 20 跟踪观测点到放归 点的距离 a(km) 1 2 鲸位于跟踪观测点正北 方向的距离 b(km) 0.999 1.413
西 海岸 图1 B A 东

高考数学解题技巧系列丛书——《数学之家》精心出品

30 40

3 4

1.732 2.001

(1)据表中信息:①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度;②试写出 a、b 近似地满足的关系式并 画出鲸的运动路线草图; (2)若鲸继续以(1)-②运动的路线运动,试预测,该鲸经过多长时间(从放归时开设计时)可进入前 方观测站 B 的观测范围?并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻. (注: 41 ≈6.40;精确到 1 分钟) 【解析】 (1)由表中的信息可知:

1 ①鲸沿海岸线方向运动的速度为: (km/分钟) 10
②a、b 近似地满足的关系式为: b ?

y

A 图2 (2)以 A 为原点,海岸线 AB 为 x 轴建立直角坐标系,设鲸所在 位置点 P(x,y) ,由①、②得: y ? 依题意:观测站 B 的观测范围是: , x ,又 B(15,0)

a 运动路线如图

B

x

( x ? 15) 2 ? y 2 ≤5 (y≥0)
∴ ( x ? 15) 2 ? x ≤25

又y?

x

解得:11.30≤x≤17.70

由①得:∴该鲸经过 t=

11.30 =113 分钟可进入前方观测站 B 的观测范围 1 10

持续时间:

17 .70 ? 11 .30 =64 分钟 1 10

2 2 ∴该鲸与 B 站的距离 d= ( x ? 15) ? y = x 2 ? 29x ? 225

当 d 最小时为最佳观测时刻,这时 x= 练习 4.已知关于 x 的方程 sin (答案:0≤ a ≤4- 2
2

29 =14.5,t=145 分钟. 2

x + a cos x -2 a = 0 有实数解,求实数 a 的取值范围.

3)

3.运用函数与方程的思想解决数列问题. 例 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 12 , S12 >0, S13 <0, (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S 2 、 S 3 ?, S12 中哪一个最大,并说明理由. 解析(1)由 a3 ? 12 得: a1 ? 12 ? 2d ,

高考数学解题技巧系列丛书——《数学之家》精心出品

∵ S12 = 12a1 ? 44d ? 144? 42d >0 ∴?

S13 = 13a1 ? 78d ? 156? 52d <0

24 <d<-3 7 n(n ? 1) 1 5 d ? dn 2 ? (12 ? d )n 2 2 2 5 12 ? 2 d

(2) S n ? na1 ?

∵d<0, S n 是关于 n 的二次函数,对称轴方程为:x= ∵?

24 <d<-3 7

∴6<

5 12 13 ? < 2 d 2

∴当 n=6 时, S n 最大.

【巩固练习】 1. ( x ?

1 8 ) 展开式中 x5 的系数为____________. x
1 的等差数列,则 m ? n ? ( 4 3 D. 8
) )

2.已知方程 ( x2 ? 2 x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 A.1 B.

3 4

C.

1 2

3.设双曲线的焦点 x 在轴上,两条渐近线为 y ? ?

1 x ,则该双曲线的离心率 e ? ( 2

A.5

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

4.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B ) ? (Ⅰ)求证 tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB ? 3 ,求 AB 边上的高.

3 1 ,sin( A ? B) ? . 5 5

5.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零

1 1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、 4 12 2 丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 9
件不是一等品的概率为 (Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率.

2 6. 设 a ? 0 ,f ( x) ? ax ? bx ? c , 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 ? 0,

? ?? , ? 4? ?

则点P到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围是(



? 1? A. ?0, ? ? 2?

? 1? B. ? 0 , ? ? 2a ?

? b ? C. ?0, ? ? 2a ?

? b ? 1 ? D. ? 0 , ? ? 2a ?

高考数学解题技巧系列丛书——《数学之家》精心出品

x2 2 7.设双曲线 C: 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B. a
(Ⅰ)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

??? ?

? 5 ??? PB ,求 a 的值. 12


赞助商链接

670分高考解题数学思想方法

数学思想方法 第1讲一、选择题 函数与方程思想、数形结合思想 1.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 A.(-∞,-1) C.[3,+∞...

2012高考数学函数与方程思想练习题及答案

2012高考数学函数与方程思想练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。函数与方程思想 函数与方程的思想就是用函数、 方程的观点和方法来处理问题, 从而可利用函数的...

...高考数学二轮复习专题辅导资料 专题(4)函数与方程思...

专题四: 专题四:函数与方程思想【考情分析】 纵观近几年的高考试题, 函数的主干知识、 知识的综合应用以及函数与方程思想数学 思想方法的考查,一直是高考的...

...二轮专题突破:专题一 第3讲 函数与方程及函数的应用...

3函数与方程及函数的应用 【高考考情解读】 ...从中提炼出相应的数学问 题;(2)数学建模:弄清...解决这 类问题的常用方法有解方程法、 利用零点存在...

2011年数学高考考点预测(25):函数与方程的思想方法1

2011 年数学高考考点预测(25) : 函数与方程的思想方法山东省兖州市第六中学 《2009 年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》 ...

...考点1 重点知识,压轴选择,系统掌握函数与方程

高考数学的重要内容之一,函数观点和思想方法贯穿...高考题的研究发现,本专题热点考点可总结为六类:一...(5)利用转化思想解决方程问题,利用函数与方程思想...

2013届高三数学二轮复习(4)函数与方程思想精品教学案

【专题四】函数与方程思想【考情分析】 观近几年的高考试题,函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想数学思 想方法的考查,一直是高考的重点内容之一...

(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 函数与方程思想

(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 函数与方程思想_高考_高中教育_教育专区。函数与方程思想 1. 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化 的...

...二轮专题突破:专题七 第1讲 函数与方程思想

一种方法,到处 可用.数学思想是中学数学的灵魂,在...高考. 第1讲 函数与方程思想 1. 函数与方程思想...(Sn)min=S3= 3 , 10 3 3 依题意,得 m≤ ...

...二轮复习微专题强化练习题:26函数与方程的思想、分...

2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:26函数与方程的思想、分类讨论的思想_数学...的方法不同等. (6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论. y2 x2 1 3.(文...