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宿迁青华中学2015届高三数学周练试题(八)

时间:2014-11-18


宿迁青华中学 2015 届高三数学周练(八)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸上. 1.若集合 A ? {1, m ? 2} ,且 A I B ? {2} ,则实数 m 的值为 . 2.已知 i 为虚数单位,若

1 ? 2i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b 的值是 1? i

.

开始 k←1 S←0 k←k+2 S←S+k S<20 N 输出 k Y

3.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名,为了解该校 高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 . 4.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的和为 5 的概率 是 . 5. 右图是一个算法的流程图,最后输出的 k= . 1 6.已知 sin ? ? ? ,则 cos(? ? 2? ) 的值等于 . 3 7. 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a5 ? 3a2 ,若

S6 ? ? a5 ,则 ? =

. .

8.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 A1—B1EF 的体积为

结束 (第 5 题)

BD?? DC DC 则 9. 在直角三角形 ABC 中, AB ? AC, AB ? AC ? 1, ,BD

uuu r

r 1 1uuu 22

AD ? CD 的值等于________. 2 2 10. 直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取值范围是 ________. 1 ? 2x ?1 ,x ? ? 2 ? ? x 2 2 11.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? x ? 4 x ? 4 .若存在 a ? R 使得 f (a) ? g (b) ? 0 , 3 1 ?ln( x ? ), x ≥ ? ? 2 2 则实数 b 的取值范围是 . c * 12.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? ,若对任意 n ? N ,都有 an ? a3 ,则实数 c 的取值范 n
围是________ .

?3 x , x ? 1 13.已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范围是 , 若方程|f(x)|=a 有三个零点, ?3 ? log3 x, x ? 1 sin B ? 2 cos( A ? B) ,则 tan B 的最大值为 14.若 ?ABC 的内角 A、 B ,满足 . sin A
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

.

15. (本小题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b ? 4 , BA ? BC ? 8 . 2 2 (1)求 a ? c 的值; (2)求函数 f ( B) ? 3sin B cos B ? cos2 B 的值域.

1

16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?BAC ? 60 ,E,F 分 别是 AP,AC 的中点,点 D 在棱 AB 上,且 AD ? AC . P 求证: (1) EF // 平面 PBC; (2)平面 DEF ? 平面 PAC. E F D B

A

C

17、 (本小题满分 14 分)某园林公司计划在一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径的半圆 形地上种植花草树木,其中阴影部分区域为观赏样板地,△OCD 区域用于种植花木出售,其余 区域用于种植草皮出售.如图所示.已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元,花木的利润是每 平方米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元. (1)设∠COD=θ(单位:弧度),用 θ 表示阴影部分的面积 S 阴影=f(θ); (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的 θ.

2

18. (16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为

5 ,且经过点 ? 0, 2 ? . 3

(1)求椭圆的标准方程; (2) 以椭圆的长轴为直径作圆 O ,设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点, M 为 x 轴上一点, 过圆心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q . 问: 直线 TQ 能否与圆 O 总相切, 如果能, 求出点 M 的坐标;如果不能,说明理由.

19. (本题满分 16 分)已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , S3 ? 7, a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 成 等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N 。
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 A ? ?a1, a2 ,

, a10 ?, B ? ?b1, b2 ,

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式;

, b40 ?, C ? A ? B ,求集合 C 中所有元素之和。

3

2 x 20(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) e 在 x ? 2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值;

(2)是否存在区间 ? m, n ? ,使得

f ( x) 在该区间上的值域为 [e4 m,e4 n] ?若存在,求出 m ,

n 的值;若不存在,说明理由.

4

宿迁青华中学 2015 届高三数学周练(八)附加题
21 .变换 T1 是逆时针旋转

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应的变换矩阵是 2

?1 1? M2 ? ? ?. ?0 1? (Ⅰ)求点 P(2,1) 在变换 T1 作用下的点 P ' 的坐标;
(Ⅱ)求函数 y ? x2 的图象依次在变换 T1 , T2 作用下所得曲线的方程.

22. 已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? , 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,

? ?x ? ? 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?
数 m 的值。

2 t?m 2 (t 是参数) 。若直线 l 与圆 C 相切,求实 2 t 2

5

BC 23(本题满分 10 分)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? 4, AD ? 2, AA 1 ? 2,F 是棱
的中点,点 E 在棱 C1 D1 上,且 D1 E ? ? EC1 ( ? 为实数) 。

1 时,求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3 (2)试问:直线 EF 与直线 EA 能否垂直?请说明理由。
(1)当 ? ?

24.已知 p( p ? 2) 是给定的某个正整数,数列 {an } 满足: a1 ? 1,(k ? 1)ak ?1 ? p(k ? p)ak ,其中

k ? 1, 2, 3, , p ? 1. (I)设 p ? 4 ,求 a2 , a3 , a4 ; (II)求 a1 ? a2 ? a3 ?

? ap .

6

数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 7 1.4 2.2 3.70 4. 5.11 6. ? 7.4 9 5 8.

2 3

9.

2 9

10. ( ? , 2) 1 1.

1 2

??1,5?

12.6≤c≤12

13.(0,3)

14.

3 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 【解】 (1)因为 BA ? BC ? 8 ,所以 ac cos B ? 8 . …………………………… 3 分 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 16 , 因为 b ? 4 ,所以 a 2 ? c 2 ? 32 . …………………………… 6 分 2 2 (2)因为 a ? c ≥ 2ac ,所以 ac≤16 , …………………………… 8 分 8 1 所以 cos B ? ≥ . ac 2 π 因为 B ? ? 0, π ? ,所以 0 ? B≤ . …………………………… 10 分 3 因为 f ( B) ? 3sin B cos B ? cos2 B ? 3 sin 2B ? 1 (1 ? cos 2B) ? sin(2B ? π ) ? 1 ,…… 12 分 2 2 6 2 π π 5π 由于 ? 2B ? ≤ ,所以 sin(2B ? π ) ? ? 1 ,1? , ?2 ? ? 6 ? 6 6 6 所以 f ( B ) 的值域为 ?1, 3 ? . ? ? 2? ? …………………………… 14 分

16(本小题满分 14 分) 【证】 (1) 在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP, AC 的中点,所以 EF // PC.………2 分 又因为 EF ? 平面 PBC, PC ? 平面 PBC, 所以 EF // 平面 PBC.………………5 分 (2)连结 CD.因为 ?BAC ? 60 , AD ? AC ,所以△ACD 为正三角形. 因为 F 是 AC 的中点,所以 DF ? AC .………………………………………7 分 因为平面 PAC ? 平面 ABC, DF ? 平面 ABC,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , 所以 DF ? 平面 PAC. …………………………………………………………11 分 因为 DF ? 平面 DEF,所以平面 DEF ? 平面 PAC.…………………………14 分 17、 (本小题满分 14 分)
7

1 2 1 2 1 2 解:(1)由 S 扇形 ODMC= R θ,S△OCD= R sin θ,得 S 阴影= R (θ-sin θ).………………6 分 2 2 2 (2)设总利润为 y 元,草皮的利润为 y1 元,花木的利润为 y2 元,观赏样板地成本为 y3 元. 1 1 ?1 2 1 2 ? y1=3? πR - R θ?,y2=8· R2sin θ, y3= R2(θ-sin θ)·2, 2 2 2 2 ? ? 1 1 1 1 2 1 2 2 ? ? 2 2 所以 y=y1+y2-y3=3? πR - R θ?+8· R sin θ- R · (θ-sin θ)·2= R [3π-(5θ-10sin 2 ? 2 2 2 ?2 θ)].………8 分 设 g(θ)=5θ-10sin θ,θ∈(0,π),则 g′(θ)=5-10cos θ. ………10 分 π? 1 令 g′(θ)<0,得 cos θ> ,则 g(θ)在? ?0,3?上为减函数; 2 1 ?π ? 令 g′(θ)>0,得 cos θ<2,则 g(θ)在 3,π 上为增函数.………12 分 ? ? π 所以当 θ= 时,g(θ)取得最小值,此时总利润最大. 3 π 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3时,总利润最大.………14 分 18. (1)设椭圆方程为 又因为 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) ,因为经过点 ? 0, 2 ? ,所以, b ? 2 , a 2 b2

c 5 ? ,可令 c ? 5x, a ? 3x ,所以, b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 x 2 ? 4 ,即 x ? 1 , a 3 x2 y 2 所以椭圆的标准方程为 ? ? 1 .……………………………………………6 分 9 4 (2)存在点 M ( 5,0) …………………………………………………………7 分

设点 T ( x0 , y0 ) , M (c, 0) ,因为 T 在以椭圆的长轴为直径作圆 O 上,且不在坐标轴上的任意点, y0 所以 x0 y0 ? 0 且 x0 2 ? y0 2 ? 9 ,又因为 kTM ? , x0 ? c 由 OQ ? TM ,所以, kOQ ? ? 因为点 Q 在直线 x ? 即 Q(
x ?c x0 ? c x, ,所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 0 y0 y0

……10 分

9 5( x0 ? c) 9 5 9 5 上,令 x ? ,得 y ? ? , 5 5 5 y0

9 5 9 5( x0 ? c) , ? ) ,…………………………………………………………12 分 5 5 y0
y0 ? 9 5( x0 ? c) 5 y0 ?
2 5 y0 ? 9 5( x0 ? c)

所以 kTQ ?

9 5 x0 ? 5

y0 (5 x0 ? 9 5)

?

5 ? 9 ? x0 2 ? ? 9 5 ? x0 ? c ? y0 5 x0 ? 9 5

?

?



又 kOT ?
kTQ

y0 , TQ 与圆 O 总相切,故 OT ? TQ ,于是有 kOT ? kTQ ? ?1 , x0

5 9 ? x0 2 ? 9 5 ? x0 ? c ? x x0 ? ? 0 恒成立,解之可得 c ? 5 , ? ? ,即 y0 y0 y0 5 x0 ? 9 5

?

?

?

?

即存在这样点 M ( 5,0) ,使得 TQ 与圆 O 总相切.………………………………16 分 19. (本小题满分 16 分)
8

20. (本小题满分 16 分) 【解】 (1) f ?( x) ? e x ( x ? a)( x ? a ? 2) , 由题意知 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? 4 .

…………………………… 2 分

当 a ? 2 时, f ?( x) ? e x x( x ? 2) , 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上为减函数,在 (2, ??) 上为增函数,符合题意; 当 a ? 4 时, f ?( x) ? e x ( x ? 2)( x ? 4) , 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上为增函数,在 (2, 4) , (4, ??) 上为减函数,不符合题意. 所以,满足条件的 a ? 2 . …………………………… 5 分 (2)因为 f ( x) ≥ 0 ,所以 m ≥ 0 . …………………………… 7 分 ① 若 m ? 0 ,则 n ≥ 2 ,因为 f (0) ? 4 ? e4 n ,所以 (n ? 2)2 en ? e4 n .
? x 2 ? 4 ( x ? 2)2 ? x ( x ? 2)2 x e ( x ≥ 2) ,则 g ?( x) ? ? 2 ? ?e ≥0 , x ? x ? x 所以 g ( x) 在 [2, ??) 上为增函数.

…………… 9 分

设 g ( x) ?

由于 g (4) ? e4 ,即方程 (n ? 2)2 en ? e4 n 有唯一解为 n ? 4 .…………………………… 11 分 ②若 m ? 0 ,则 2 ? ? m, n? ,即 n ? m ? 2 或 0 ? m ? n ? 2 .

9

? f (m) ? (m ? 2)2 em ? e4 m (Ⅰ) n ? m ? 2 时, ? , 2 n 4 ? f (n) ? (n ? 2) e ? e n 由①可知不存在满足条件的 m, n .
2 m 4

…………………………… 13 分

?(m ? 2) e ? e n (Ⅱ) 0 ? m ? n ? 2 时, ? ,两式相除得 m(m ? 2)2 em ? n(n ? 2)2 en . 2 n 4 ( n ? 2) e ? e m ? 设 h( x) ? x( x ? 2)2 e x (0 ? x ? 2) ,

则 h?( x) ? ( x3 ? x2 ? 4x ? 4)e x ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 2)e x , h( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, 2) 递减,由 h(m) ? h(n) 得 0 ? m ? 1 , 1 ? n ? 2 , 此时 (m ? 2)2 em ? 4e ? e4 n ,矛盾. 综上所述,满足条件的 m, n 值只有一组,且 m ? 0, n ? 4 .……………………………16 分

淮安市淮海中学 2015 届高三月考数学附加题参考答案及评分标准 ?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? 21. (1) M1 ? ? , M1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) .…………………………5 分
(2) M ? M 2 M1 ? ?

?1 ?1? ?, ?1 0 ?

设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? 也就是 ?

?x? ? y?

? x0 ? ? x0 ? ? x ? ,则 M ? ? ? ? ? , ? ? y0 ? ? y0 ? ? y ?

? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y ,即 ? ,所以,所求曲线的方程是 ? x0 ? y ? y0 ? y ? x

y ? x ? y 2 .…………………………10 分
22. 解:由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,
? x2 ? y 2 ? 4x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,…………………………5 分
2

? ?x ? ? 又由 ? ?y ? ? ?

2 t ? m, 2 消 t ,得 x ? y ? m ? 0 , 2 t, 2 2?m ? 2 ,? m ? 2 ? 2 2 .…………………………10 分 直线 l 与圆 C 相切,? 2

23.

10





? ? x ? z, ?n ? D1 A ? 0, 解得 ? 取 y ? 1 ,则 n ? (2,1,2) ,因为 | EF |? 14 , | n |? 3 , ? z ? 2 y, ? ? n ? D C ? 0 , 1 ?
EF ? n ? 1 ,所以 cos? EF, n? ?
EF ? n | EF | | n | ?

1 14 ? 3

?

14 42

因为 cos? EF, n? ? 0 ,所以 ? EF, n? 是锐角,是直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的余角, 所以直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值为

14 . 42

…………5 分

⑵假设 EF ? EA ,则 EF ? EA ? 0 ,因为 EA ? ( 2,?

4? 4? 4? ,?2) ,所以 2 ? (4 ? )?4 ? 0, 1? ? 1? ? 1? ? 2 化简, 得 3? ? 2? ? 3 ? 0 , 因为 ? ? 4 ? 36 ? 0 , 所以该方程无解, 所以假设不成立, 即直线 EF 不可能与直线 EA 垂直. …………10 分 EF ? (1,4 ?
24. (Ⅰ)由 (k ? 1)ak ?1 ? p( k ? p) ak 得

4? ,?2) , 1? ?

ak ?1 k?p , k ?1 , 2, 3, ,p ? 1 ? p? ak k ?1 a a 4 ?1 4?2 8 即 2 ? ?4 ? ? ? , a3 ? 16 ? ?6 , a2 ? ?6a1 ? ?6 ; 3 ? ?4 ? a2 3 3 a1 2 a4 4?3 ………4 分 ? ?4 ? ? ?1 , a4 ? ?16 ; a3 4 a k?p (Ⅱ)由 (k ? 1)ak ?1 ? p( k ? p) ak 得: k ?1 ? p ? , k ?1 , 2, 3, ,p ? 1 ak k ?1 a a p ? 1 a3 p?2 p ? (k ? 1) 即 2 ? ?p? , ,…, k ? ? p ? , ? ?p? a1 2 ak ?1 k a2 3 a ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3) ( p ? k ? 1) 以上各式相乘得 k ? (? p)k ?1 ? a1 k! ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3) ( p ? k ? 1) k ?1 ∴ ak ? (? p) ? k! ( p ? 1)! (? p)k ?1 p! k ?1 ? (? p) ? ? ? k !( p ? k )! p k !( p ? k )!
11

k ? ?( ? p ) k ? 2 ? C p ??

1 k C p (? p) k , k ? 1, 2, 3, ,p 2 p
p ? Cp (? p ) p ]

∴ a1 ? a2 ? a3 ?

? ap

?? ? ?

1 1 2 3 [C p (? p)1 ? C p (? p ) 2 ? C 3 p (? p ) ? 2 p
…………10 分

1 [ ( 1 ?p p) ? 1 ] 2 p

12


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