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高中数学 第一章 三角函数 1_4_2 正弦函数、余弦函数的性质(一)课时作业 新人教版必修4

时间:2018-08-04

【创新设计】 (浙江专用) 2016-2017 高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)课时作业 新人教版必修 4
1.函数 y=3cos 2x 的最小正周期是( A.2π 2π 解析 T= =π . 2 答案 D π? ? 2.函数 f(x)=sin?2x+ ?是( 2? ? A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为π 的奇函数 D.最小正周期为π 的偶函数 π? ? 解析 ∵f(x)=sin?2x+ ?=cos 2x,∴f(x)是最小正周期为π 的偶函数. 2? ? 答案 D 3.若函数 y=sin(φ -x)是奇函数,则 φ 的值可能是( A.30° B.60° C.90° ) D.180° ) π B. 2 ) π C. 4 D.π

解析 要使此函数为奇函数,必须不改变函数名称,结合选项可知,当 φ =180°时,y= sin(180°-x)=sin x 是奇函数. 答案 D 4.若函数 y=4sin ω x(ω >0)的最小正周期是π ,则 ω =_____. 2π 解析 由 T= =π ,得 ω =2. |ω | 答案 2

?k π ? 5.函数 y=cos? x+ ?(k>0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值为_____. 3? ?4
2π * 解析 由已知 ≤2,∴k≥4π ,又∵k∈N ,∴k 的最小值为 13.

k

4 答案 13 6.若函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x-sin x,求当 x<0 时 f(x)的解析式. 解 设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x,

-1-

又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)=x-sin x(x<0). 7.函数 f(x)满足 f(x+2)=- 1 ,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. f(x) 1 =f(x), f(x+2)

证明 ∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-

∴f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期. 8.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin x-cos x+cos x-sin x; (2)f(x)=
4 4 2 2

x2+cos x . x2-cos x
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

解 (1)∵sin x-cos x+cos x-sin x=(sin x+cos x)·(sin x-cos x)+cos x-sin x =0, ∴该函数既是奇函数, 又是偶函数. (2)∵函数 y=x ,y=cos x 的图象都关于 y 轴对称, 则 x ≠cos x 的解集关于原点对称, ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间, (-x) +cos (-x) x +cos x 又 f(-x)= = 2 =f(x), 2 (-x) -cos (-x) x -cos x ∴该函数是偶函数. 能 力 提 升 9.下列函数中,周期为 2π 的是( A.y=sin 2 C.y=?sin ? 2? ? ) B.y=sin 2x
2 2 2 2

x

?

x?

D.y=|sin 2x|

x 2π 解析 y=sin 的周期为 T= =4π ; 2 1 2 y=sin 2x 的周期为 T=
2π =π ; 2

x? ? y=?sin ?的周期为 T=2π ; 2

?

?

y=|sin 2x|的周期为 T= .
故选 C.

π 2

-2-

答案 C 3π ?cos x ? ? ? x ? 0 ? , 10.设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为 的函数.若 f(x)= ? ? 2 ? 2

?

? π

?

?sin x ? 0 ? x ? π ? , ?

? 15π ?等于( 则 f?- 4 ? ? ?
A.1

) B. 2 2 C.0 D.- 2 2

? 15π ?=f?-15π +3π ×3?=f?3π ?=sin3π = 2. 解析 f?- ? ? ? 4 ? 4 ? 4 2 4 2 ? ? ? ? ? ?
答案 B 11.设函数 f(x)=sin 解析 ∵f(x)=sin π x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)=_____. 3 π 2π x 的周期 T= =6. 3 π 3

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013) =335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013) =335?sin

? ?

π 2 4 5 +sin π +sin π +sin π +sin π +sin 2π ? ? 3 3 3 3 ?

+f(335×6+1)+f(335×6+2)+f(335×6+3) =335×0+f(1)+f(2)+f(3) =sin = 3. 答案 3 π 2 +sin π +sin π 3 3

π? ? 12.若函数 f(x)=2cos?ω x+ ?的最小正周期为 T,且 T∈(1,3),则正整数 ω 的最大值是 3? ? _____. 2π 2π 1 ω 解析 由已知:T= ,∴1< <3,∴ < <1, ω ω 3 2π 2 * ∴ π <ω <2π .又∵ω ∈N ,∴ω 最大值为 6. 3 答案 6

? π? ?5 ? 13.已知 f(x)是以π 为周期的偶函数, 且 x∈?0, ?时, f(x)=1-sin x, 求当 x∈? π ,3π ? 2? ? ?2 ?
时,f(x)的解析式.
-3-

?5 ? ? π? 解 当 x∈? π ,3π ?时,3π -x∈?0, ?, 2? ?2 ? ? ? π? 因为 x∈?0, ?时,f(x)=1-sin x, 2? ?
所以 f(3π -x)=1-sin(3π -x)=1-sin x. 又∵f(x)是以π 为周期的偶函数, ∴f(3π -x)=f(-x)=f(x),

?5 ? ∴f(x)=1-sin x,x∈? π ,3π ?. ?2 ?
探 究 创 新 1 14.已知函数 f(x)=log |sin x|. 2 (1)求其定义域和值域; (2)判断其奇偶性; (3)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期. 解 (1)∵|sin x|>0,∴sin x≠0, ∴x≠kπ ,k∈Z. ∴函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z}. ∵0<|sin x|≤1, 1 ∴log |sin x|≥0, 2 ∴函数的值域为{y|y≥0}. (2)函数的定义域关于原点对称, 1 1 ∵f(-x)=log |sin(-x)|=log |sin x|=f(x), 2 2 ∴函数 f(x)是偶函数. 1 1 (3)∵f(x+π )=log |sin(x+π )|=log |sin x|=f(x), 2 2 ∴函数 f(x)是周期函数,且最小正周期是π .

-4-


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