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函数与方程导学案(2)

时间:2015-01-10


3.1 函数与方程导学案
学习目标
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根 的联系; 2. 掌握零点存在的判定条件. 3. 结合二次函数图象的性质,简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。 4. 理解二分法求方程近似解的实质 5.通过二分法求方程的近似解,感知数形结合法的重要性及直观性 教学重点: 1.方程的根与函数的零点的关系。 2.一元二次方程实根分布及其简单运用 3.理解二分法求方程近似解的实质 4.通过二分法求方程的近似解,感知数形结合法的重要性及直观性 教学难点: 1.求函数零点的个数问题。 2.一元二次方程实根分布及其简单运用 3.理解二分法求方程近似解的实质

学习过程 任务一、课前准备
(预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处) 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = 当? 当? 当? . ; ;

0,方程有两根,为 x1,2 ? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实数.

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系? 判别式
??0 ??0

一元二次方程

二次函数图象

??0

任务二、新课导学
探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: (1)方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 (2)方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解为 , 函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 , 函数 y ? x2 ? 2x ? 1 的图象与 x 轴有 个交点, 坐标为 个交点, 坐标为 . .

1

(3)方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 根据以上结论,可以得到:

, 函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有

个交点, 坐标为

.

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交点的 .

你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗? 新知: 一、 零点的概念: 对于函数 y ? f ( x) , 我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点 (zero point) . 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三 者有什么关系?

试一试: (1)函数 y ? x2 ? 4x ? 4 的零点为 ; (2)函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的零点为 .

小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上 新知:

零点; f (a) f (b) 零点; f (b) f (c) 零点; f (c) f (d )

0; 0; 0.

二、零点的存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f (a) f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c

也就是方程 f ( x) ? 0 的根.

讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

2

思考 1 方程 f ( x) ? 0 有实数根,函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点,函数 y ? f ( x) 有零点三者之间有 什么联系? 2 求函数 y ? f ( x) 的零点的方法?即求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 例 1 判断下列函数是否有零点. (1) f (x)=3 - x
x
2

x ? [-1,0] x ? ? ?2, ?1?

(2) f ( x) ? x3 ? x2 ? 1

练 1 、方程 x ln x ? 2 必有一个根的区间是(



A. ? 1,? 2
3

B. ? 2 ,? 3

?1 ? C. ? ,1? ?e ?

D. , ? ? 3??

练 2、 y= x 与 y=( A (0,1) 练 3、当 m ? B(1,2)

1 x?2 ) 的图像交点为(x,y)则 x 所在区间是( ) 2
C ( 2,3)
3

D ( 3,4)
2

时,函数 f ( x) ? x ? x ? m 在区间 ? ?2, ?1? 上存在零点. (给出一个实数值即可)

例 2(1)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)- log3|x|的零点个数是. ( ) A.多于 4 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
2 ? ?x +2x-3,x≤0 (2) .f(x)=? 的零点个数为 ?-2+ln x x>0 ?

( D.3

)

A.0

B.1

C .2

练 4、 (1)方程 x ? lg x 在 (0,10) 实数解的个数
2





A、0 B、1 C、2 D、3 (2)若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点 ( ) A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数

练 5.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为



3

练 6、判断下列函数零点的个数. (1) f(x)= x 2

1 x

(2)f(x)=e +4x-4

x

(3) f(x)=lnx+x-2

三、一元二次方程根的分布 思考归纳 设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为
2

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表
表一: (两根与 k 的大小比较) 分布情况 两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

大致图象 (a ? 0)

k

k
? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

k

得出的结论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0
一根在 ?m, n ? 内,另一根在 ? p, q ? 内, m ? n ? p ? q

分布情况

两根都在 ?m, n ? 内

表二: (根在区间上的分布)

两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内 (图 象有两种情况,只画了一种)

大致图象 (a ? 0)

得出的结论

? ? ? 0 ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? ? b ?m ? ? ? n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? ? ? ? ? ? ?

f f f f

? m? ? 0 ? f ?m? f ?n? ? 0 或? ? ? n? ? 0 ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? p? ? 0 ?q? ? 0

4

例 3、求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 3) x ? m ? 0 的两根情况如下: (1)两个负根; (2)两根都小于 1; (3)两根都大于 1 ; (4)一个根大于 1,一个根小于 1; (5)两个根都在(0,2)内 ; (6)两个根有且仅有一个在(0 ,2)内; (7)一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(1 ,3)内.

2 练 7、若方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个根,都小于-1,求 a 的取值范围.

2 练 8、已知关于 x 的方程 kx ? 2kx ? k ? 2 ? 0 有两个实根,其中一根在(0,1)之间,另一根在

(-1,0)之间,求实数 k 的取值范围.

5

练 9、若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一解,求 a 的取值范围.

四、用二分法求方程的近似解 1 . 函数零点存在定理 : 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是 _______ 的一条曲线 , 并且有 __________,那么 ,函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? _____使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也 就是方程 f ( x) ? 0 的___. 2.一般地,我们把_________称为区间 ( a, b) 的中点. 3.对于在 [ a, b] 区间上_________且_________的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在 的区间_________,使区间的两个端点________零点,进而得到零点_________的方法叫做二分法. 给定精确度 ? ,用二分法求函数零点近似值的步骤是: (1)确定区间_________,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; (2)求区间 ( a, b) 的中点____; (3)计算 f (c) ; ①若_________,则 c 就是函数的零点; ②若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令_________(此时零点 x0 ? (a, c) ); ③若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令_________(此时零点 x 0 ? (c, b) ). 4.判断是否达到精确度 ? :即若_________,则得到零点近似值 a (或 b ),否则重复(2)~(4).
例 4、用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0
3

? 2.5 ,那么下一

个有根的区间是_____________. 例 5. (1)函数 f ( x) ? 3x ? 6 x ? 3 的零点能用二分法求吗?请说明理由.
2

(2)能用二分法求方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 在区间 [?1, 2] 内的近似解吗?如果有,能否判断
4

方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 在区间 [?1, 2] 内至少有两个不同的根.
4

6

1? 例 6、用二分法研究函数 f(x)=x3+ln? ?x+2?的零点时,第一次经计算 f(0)<0, 个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为 1 ?1? ?3? ?1? ?1,1? ?0,1? 0, ? A.? B . (0,1) f C. D. f f ? ? ? ? ? 2? ?2? ?2 ? ? 2? 2 4

>0,可得其中一 ( )

? ?

? ?

?1? f? ? ?4?

练 10: 1.已知函数 y ? f ( x) 的图像如右图所示,函数所对应的方程为 f ( x) ? 0 ,下列有关用二分法 求方程解的说法中正确的是( ) A.方程 f ( x) ? 0 在 [?2,0] 上满足 f (?2) ? f (0) ? 0 ,所以方程在 [?2,0] 上无解 B.区间 [ ?1,1] 不可以作为方程某根的初始区间 C.区间 [?1,0] 可以作为方程 f ( x) ? 0 的某根的初始区间 D.方程 f ( x) ? 0 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) ? f (2) ? 0 ,所以方程在此区间上有一解 2.若某一方程有一无理根在区间 D ? (3,5) 内,若用二分法求此根的近似值,将 D 等分 ( )次后,所得近似值可精确到 0.1 . A.3 B.4 C.5 D.6 3.用二分法求下图所示函数 f ( x ) 的零点时,不可能求出的零点是( )

A. x1
x

B. x2
x

C. x3

D. x4

4.设 f ( x) ? 3 ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? (1,2) 内近似解的过程中, 计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间( ) A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.不能确定 5.欲求曲线 y ? x ? x 与直线 y ? 5 ? x 的交点横坐标的近似值,可以转化为用二分法
3

求函数 f ( x) ?

的零点近似值.
3 2

6.用二分法逐次计算函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正零点附近的函数值,参考数据 如下表:

f (1) ? ?2 f (1.25) ? ?0.98438 f (1.4375) ? 0.161865
3 2

f (1.5) ? 0.625 f (1.375) ? ?0.25977


由表求方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 精确到 0.1 的一个近似解为

7

1.全面认识深刻理解函数零点: (1)从“数”的角度看:即是使 f(x)=0 的实数 x; (2)从“形”的角度看:即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标; (3)若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; (4)若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 2.求函数 y=f(x)的零点的方法: (1)(代数法)求方程 f(x)=0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等); (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性 质找出零点; (3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值,二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明:用二分法求函数的近似零 点都是指变号零点. 3.有关函数零点的重要结论: (1)若连续不间断的函数 f(x)是定义域上的单调函数,则 f(x)至多有一个零点; (2)连续不间断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; (3)连续不间断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变.

任务三、巩固训练 第一题:选择题
1. 已知函数 f (x) ? x2 ? mx ? m2 ,则 f (x) ( ) A.有一个零点 B.有两个零点 C. 有一个或两个零点 D.无零点

2. 已知函数 f (x) 的图象是连续不间断的,有如下的 x, f (x) 对应值表 1 2 3 123.56 21.45 -7.82 函数 f (x) 在区间 [1,6] 上的零点至少有( ) A.2 个 B.3 个 C. 4 个 3.下列函数零点不宜用二分法的是( )

x

f (x)

4 11.57

5 53.76

6 -126.49

D.5 个 D.f(x)=-x2+4x+1 D. ?

A.f(x)=x3-8

B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+2 2x+2 )

4.若方程 a x ? x ? a ? 0 有两个根,则 a 的取值范围是( A. (1 ? ?) B. (0,1) C. (0,?? )
2

? x ? bx ? c, x ? 0, 5.设函数 f ( x) ? ? 若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,则函数 y ? f ( x) ? x 的零点的个数 ?3, x ? 0, 为( ) A. 1 B.2 C.3 D.4

2 的零点所在的大致区间是( ) x 1 A. (1,2) B. (2,3) C. (1, ) 和 (3,4) D. (e,??) e 7.二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c 的图象开口向下,对称轴为 x ? 1 ,在图象与 x 轴的两个交点中, 一个交点的横坐标 x1 ? (2,3) ,则有( ) A. abc ? 0 B. a ? b ? c ? 0 C. a ? c ? b D. 3b ? 2c
6.函数 f (x) ? ln x ?
8

8.无论 m 取哪个实数值,函数 y ? x ? 3x ? 2 ? m( x ? ) 的零点个数都是(
2

3 2



A.1

B.2

C.3

D.不确定

9. 已知0 ? a ? 1,则方程a |x| ?|log a x| 的实根个数为(

)


A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个 2 10.已知函数 f (x) ? ax ? 2ax ? 4(a ? 0).若 x1 ? x2, x1 ? x2 ? 0 ,则( A. f (x1) ? f (x2) 11.函数 f (x)= ? B. f (x1) ? f (x2) C. f (x1) ? f (x2)

D. f (x1) 与 f ( x2) 大小不能确定

?lg | x ? 2 | ( x ? 2) 若关于 x 的方程[f (x)]2+b·f (x)+C=0,恰有 3 个不 ?1( x ? 2)
) D、lg2 .

同的实数解 x1、x2、x3,则 f (x1+x2+x3)等于( A、0 B、1 C、lg4

第二题:填空题
12. 若一次函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点 2,则二次函数 g ( x) ? bx 2 ? ax 的零点是 13. 根据下表,能够判断方程 f (x) ? g(x) 有实数解的区间是 .

x
f (x) g(x)

-1 -0.677 -0.530
2 2

0 3.011 3.451

1 5.432 4.890
x

2 5.980 5.241

3 7.651 6.892 .

14. 设 ? 、 ? 分别是方程 log2 x ? x ? 4 ? 0和2 ? x ? 4 ? 0 的根,则 ? + ? =

15. 关于 x 的方程 x ? (a ? 1)x ? a ? 2 ? 0 的两根 x1, x2 满足 (x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ,则 a 的取值范围为 .

16.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε=0.01,取区间 2+4 (2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 2

第三题:解答题
17.求下列函数的零点: (1) f ( x) ? lg( x ?1) ? 1;
2

(2) f ( x) ? e

x?

1 2

?2.

9

18.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c . (1)若 f (?1) ? 0 ,判断函数 f ( x ) 零点的个数; (2)若 f (1) ? f (3) ,证明方程 f ( x) ?

1 [ f (1) ? f (3)] 必有一个实根属于 (1,3) . 2

19(1)求函数 y ? x 3 ? 64x 的零点 (2)设函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 2 , x ? [1,??) ?x ? 2 x , x ? (?1,1)
2

,求函数 y ? f ( x) ?

1 的零点 4

x 20(1)若直线 y ? 2a 与函数 y ? a ? 1 ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象有两个公共点,

求则 a 的取值范围是 (2)若关于 x 的方程 x ? 4| x|?5 ? m 有四个不相等的实根,求实数 m 的取值范围
2

分析: m ? (1,5)

10

21 (1) 一元二次方程 x ? 11x ? a ? 30 ? 0 的两根都大于 5,求实数 a 的取值范围.
2

(2)关于 x 的方程 2ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 a 的取值 范围.
2

e2 22.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

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