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全国高中数学竞赛专题-三角函数

时间:2012-12-23

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式
莆田四中校本课程 一、基础知识 定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。 定义 2 角度制:把一周角 360 等分,每一等分为一度。 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。 若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |=

L ,其中 r 是圆的半径。 r y x ,余弦函数 cosα = , r r

定义 3 三角函数:在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取 一个不同于原点的点 P, 设它的坐标为 (x,y) 到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα = , 正切函数 tanα =

x r y r ,余切函数 cotα = ,正割函数 secα = ,余割函数 cscα = . y y x x 1 1 1 定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα = ,sinα = ,cosα = ; cot? csc? sec? sin? cos? 商数关系:tanα = ; , cot? ? cos? sin?
乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cosα ; 平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cotα ; (Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ?

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? =cosα , cos ? ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号看象限)。 ?2 ? ?2 ? ?2 ?
? ?

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈ R)的性质如下。 单调区间:在区间 ?2k? ? 最小正周期:2 ? .

?
2

,2k? ?

??

? 3 ? ? ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? 上为减函数, 2? ? ?
奇偶性:奇函数

有界性:当且仅当 x=2kx+ 对称性:直线 x=k ? +

? 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心。这里 k∈ Z. 2

? ? 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 取最小值-1,值域为[-1,1]。 2 2

定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈ R)的性质。 单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期:2π。 奇偶性:偶函数。 有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。 对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ?

定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+

定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ , sin(α ? β )=sinα cosβ ? cosα sinβ ;
1

? ? ? )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增函数, 2 2 2 ? 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ ,0)均为其对称中心。 2

? ?

?

? Z. ,0 ? 均为其对称中心。这里 k∈ 2 ?

tan(α ? β )=

(tan ? ? tan ? ) . (1 ? tan ? tan ? )

两角和与差的变式: sin2 ? ? sin2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )

cos2 ? ? sin2 ? ? cos2 ? ? sin2 ? ? cos(? ? ? )cos(? ? ? )
三角和的正切公式: tan(? ? ? ? ? ) ? 定理 7 和差化积与积化和差公式:

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα +cosβ =2cos ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )], 2 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )], 2
sinα +sinβ =2sin ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? 1 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 1 sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2
sinα -sinβ =2sin ?

定理 8 二倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α , tan2α =
3 3 三倍角公式及变式: sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? , cos 3? ? 4 cos ? ? 3cos ?

2 tan ? . (1 ? tan 2 ? )

? s i n ( 6 ?? 0

定理 9 半角公式:

1 1 ,sin 3 s?i ? ( 6 0 n? ? ) ? cos(60? ? ? ) cos ? cos(60? ? ? ) ? cos3? 4 4 (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ? ? sin = ? , cos = ? , 2 2 2 2 sin ? (1 ? cos ? ) (1 ? cos ? ) ? ? . tan = ? = sin ? (1 ? cos ? ) (1 ? cos ? ) 2 ) ?i n s

?? ? ?? ? ?? ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? ? 2 tan ? ? ? 2 ? , tan ? ? ?2? . ? 2 ? , cos ? ? 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? ? ?2? ?2? ?2? 2 2 定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a +b ? 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β , b a 则 sinβ = ,cosβ = ,对任意的角α .asinα +bcosα = (a 2 ? b 2 ) sin(α +β ). 2 2 2 2 a ?b a ?b a b c 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有 ? ? ? 2R , sin A sin B sinC
其中 a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 射影定理:在任意△ABC 中有 a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A
2 2 定理 15 欧拉定理:在任意△ABC 中, OI ? R ? 2 Rr ,其中 O,I 分别为△ABC 的外心和内心。

定理 16 面积公式:在任意△ABC 中,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,半周长 p ? 则S ?

a?b?c 2

1 1 abc aha ? ab sin C ? ? rp ? 2R2 sin A sin B sin C ? rR(sin A ? sin B ? sin C ) 2 2 4R 1 ? p( p ? a ( p? b ( p c ? 2 ( a c o tA2 b c o ? c c oC ) ) ) ? ) ? t2 B t 4
2

定理 17 与△ABC 三个内角有关的公式:

定理 18 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象(相位

A B C cos cos ; 2 2 2 A B C (2) cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? 4sin sin sin ; 2 2 2 (3) tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C; A B B C C A (4) tan tan ? tan tan ? tan tan ? 1; 2 2 2 2 2 2 (5) cot A cot B ? cot B cot C ? cot C cot A ? 1; (6) sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C ? 4sin Asin B sin C.
(1) sin A ? sin B ? sin C ? 4cos 变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的

定义 4

1 ,得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )的图象(周期变换);横坐标不变, ? 纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( ? x+ ? )( ? >0)的图象(周期变换); 横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( ? x+ ? )( ? , ? >0)(|A| ? 叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到 y=Asin ? x 的图象。 ? ? ? ? ? ?? 函数 y=sinx ? x ? ?? , ? ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈ 1]), [-1, ? ? ? 2 2 ?? ?
函数 y=cosx(x∈ π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈ 1]). [0, [-1, 函数 y=tanx ? x ? ?? ?

? ?

? ? ? ?? , ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈ [-∞, +∞]). ? ? 2 2 ?? ?

函数 y=cotx(x∈ π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈ [0, [-∞, +∞]). 定理 19 三角方程的解集,如果 a∈ (-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈ Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈ Z}. 如果 a∈ R,方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈ Z}。 恒等式:arcsina+arccosa= 定理 20 若干有用的不等式:

? ? ;arctana+arccota= . 2 2

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2? sin x tan x ? (2)函数 y ? 在 (0, ? ) 上为减函数;函数 y ? 在 (0, ) 上为增函数。 x x 2
(1)若 x ? ? 0, (3)嵌入不等式:设 A+B+C=π ,则对任意的 x,y,z∈R, 有 x2 ? y2 ? z2 ? 2 yz cos A ? 2xz cos B ? 2xy cos C 等号成立当且仅当 yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象,由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈ π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 (0, 【解】 若 x ? ?

? ? ? ?? ? , ? ? ,则-1<cosx≤0,所以 cos x ? ? ? ,0? , ? 2 ? ?2 ?
3

所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0,所以 cos(sinx)>sin(cosx).

若 x ? ? 0,

? ?

??

? ,则因为 sinx+cosx= 2 sin(x+ 4 )≤ 2 < 2 ,所以 0<sinx< 2 -cosx< 2 , 2?

?

?

?

?

所以 cos(sinx)>cos(

? -cosx)=sin(cosx). 2

综上,当 x∈ (0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx). 3.最小正周期的确定。 例 3 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 因为 cos(-x)=cosx,所以 cos|x|=cosx, 所以 T=2π 是函数的周期; 4.三角最值问题。 例 4 已知函数 y=sinx+ 1? cos x ,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx= 2 cos ? , 1 ? cos 2 x ?
2

3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4

则有 y= 2 cos? ? 2 sin? ? 2 sin( ? ? 因为

?

3 ? ? ? ? 0 ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,所以 0 ? sin( ? ) ≤1, ? 4 4 2 4 4 3 ? ? ? 所以当 ? ? ? ,即 x=2kπ- (k∈ Z)时,ymin=0,当 ? ? ,即 x=2kπ+ (k∈ Z)时,ymax=2. 4 4 2 2

?

4

).

【解法二】 因为 y=sinx+ 1 ? cos x ?
2
2

2(sin2 x ? 1 ? cos2 x) =2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),
2

且|sinx|≤1≤ 1? cos x ,所以 0≤sinx+ 1? cos x ≤2, 所以当 1? cos x =sinx,即 x=2kπ+ 当 1? cos x =-sinx,即 x=2kπ5.换元法的使用。
2

2

? (k∈ Z)时, ymin=0。 2

? (k∈ Z)时, ymax=2, 2

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 sin( x ? ). 【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? ? 2 ? 2 4 ? ?
例5 求y? 因为 ? 1 ? sin( ? x

?
4

) ? 1, 所以 ? 2 ? t ? 2.

x2 ?1 t ?1 t 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ,所以 y ? 2 ? ,所以 ? y? . 2 1? t 2 2 2 ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? t ?1 ,?1? ? ? ? 1, 因为 t ? -1,所以 ? ?1,所以 y ? -1.所以函数值域为 y ? ?? ?. ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? 6.图象变换:y=sinx(x∈ R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? >0). ? 3? ? ? ?? 例 6 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上 ? 4 ? ? 2? 是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ? x+ ? )=sin(- ? x+ ? ),
所以 cos ? sinx=0,对任意 x∈ 成立。又 0≤ ? ≤π,解得 ? = R

? , 2

4

3 3 ? 3? ? ,0 ? 对称,所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) =0。 4 4 ? 4 ? ?? 3 3? ? 2 ? 3? 取 x=0,得 f ( ? ) =0,所以 sin ? ? ? ? ? 0. 所以 ? ? k? ? (k∈Z),即 ? = (2k+1) (k∈Z). 2? 4 4 2 3 ? 4
因为 f(x)图象关于 M ?

? ? )在[0, ]上是减函数; 2 2 ? ? 取 k=1 时, ? =2,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 10 ? ? 取 k=2 时, ? ≥ ,此时 f(x)=sin( ? x+ )在[0, ]上不是单调函数, 3 2 2 2 综上, ? = 或 2。 3
又 ? >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ 7.三角公式的应用。 例 7 已知 sin(α-β)= 【解】

5 5 ?? ? ? 3? ? ,sin(α+β)=,且 α-β∈ ? , ? ? ,α+β∈ ? ,2? ? ,求 sin2α,cos2β 的值。 13 13 ?2 ? ? 2 ? 12 ?? ? 因为 α-β∈ ? , ? ? ,所以 cos(α-β)=- 1 ? sin2 (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ? 12 ? 3? ? 又因为 α+β∈ ? ,2? ? ,所以 cos(α+β)= 1 ? sin2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ? 120 所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= , 169
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例 8 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

A?C =cos(600-C), 2 1 1 1 1 cos(120 0 ? C ) ? cos C ? ? ? ? 又由于 cos A cos C cos(120 0 ? C ) cos C cos C cos(120 0 ? C )
=

1 1 2 A?C ,试求 cos 的值。 ? ?? cos A cos C cos B 2

? ?2 2 , 1 1 0 0 0 [cos120 ? cos( 120 ? 2C )] cos( 120 ? 2C ) ? 2 2 A?C 2 A?C 3 2 A?C A?C 所以 4 2 cos2 或 cos 。 ?? ? ? 2 cos ? 3 2 =0。解得 cos 2 8 2 2 2 2 A?C 2 A?C 又 cos >0,所以 cos 。 ? 2 2 2 例 9 求证:tan20 ? +4cos70 ? = 3 sin 20 ? sin 20 ? ? 4 sin 20 ? cos 20 ? sin 20 ? ? 2 sin 40 ? ? 【解】 tan20 ? +4cos70 ? = +4sin20 ? ? cos 20 ? cos 20 ? cos 20 ? sin 20 ? ? sin 40 ? ? sin 40 ? 2 sin 30 ? cos10 ? ? sin 40 ? ? ? cos 20 ? cos 20 ? sin 80 ? ? sin 40 ? 2 sin 60 ? cos 20 ? ? ? ? 3. cos 20 ? cos 20 ?

2 cos600 cos(600 ? C )

?

2 cos(600 ? C )

5

7 例 10 证明: cos 7 x ? 7 cos 5 x ? 21cos 3x ? 35cos x ? 64cos x

分析:等号左边涉及角 7x、5x、3x、x 右边仅涉及角 x,可将左边各项逐步转化为 sinx 、 cosx 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次. 证明:因为 cos3x ? 4 cos3 x ? 3cosx, 所以 cos3 x ? cos3x ? 3cosx, 4 从而有 16 cos 6 x ? cos 2 3x ? 6 cos 3x cos x ? 9 cos 2 x

?

1 ? cos6 x 9 ? 3(cos4 x ? cos2 x) ? (1 ? cos2 x) 2 2

32 cos 6 x ? 1 ? cos 6 x ? 6 cos 4 x ? 6 cos 2 x ? 9 ? 9 cos 2 x, 64 cos 7 x ? 2 cos 6 x cos x ? 12 cos 4 x cos x ? 30 cos 2 x cos x ? 20 cos x

? cos7 x ? cos5x ? 6 cos5x ? 6 cos3x ? 15cos3x ? 15cosx ? 20cosx ? cos7 x ? 7 cos5x ? 21cos3x ? 35cosx.
评述:本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令

1 1 z ? cos? ? i sin? , 则2 cos? ? z ? , 从而,128cos7 ? ? ( z ? ) 7 ,展开即可. z z
已知 1 ? tan? ? 2001求证 : sec2? ? tan 2? ? 2001 , . 1 ? tan? 例11

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? 2 证明: sec 2? ? tan 2? ? 1 ? sin 2? ? ? tan( ? ? ) ? 1 ? tan ? ? 2001 . ? cos 2? 4 1 ? tan ? sin( ? 2? ) 2 ? 2001 .
1 ? cos(

?

? 2? )

?

例12 证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

m ? (k ? 0,1,2,?, n, m 为任一整数), 2k



1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. sin2 x sin4 x sin2 n x

思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差,并希冀能消去其中许多 中间项. 1 2 cos 2 x ? cos 2 x 2 cos 2 x cos 2 x 证明: ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x

1 1 ?? ? cot 2 n?1 x ? cot2 n x ? cot 2 x ? cot 4 x n sin2 x sin4 x 评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
同理

tan? tan 2? ? tan 2? tan3? ? ? ? tan(n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan?

tan? ? 2 tan 2? ? 2 2 tan 2 2 ? ? ? ? 2 n tan 2 n ? ? cot? ? 2 n?1 cot 2 n?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89
6

例 13 设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 A. (0, ??) B. (0,

sin A cot C ? cos A 的取值范围是( sin B cot C ? cos B



5 ?1 5 ?1 5 ?1 D. ( , ) , ??) 2 2 2 sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而 ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C
C. (

5 ?1 ) 2

?

sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b ? ? ? ?q. sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a

因此,只需求 q 的取值范围. 因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需 a ? b ? c 且

b ? c ? a .即有不等式组
?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? a ? aq ? aq , ?q ? q ? 1 ? 0, ? 2 ? ? 2 即? 2 解得 ? ? 2 ? aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0. ? q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? ? ? 2 2
2 2

从而 例 14

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ) .故选 C 2 2 2 2
△ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1、B1、C1,

AA ? cos 1
则 A.2

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sinB ? sinC
B.4 C.6

) D.8

A A? B ?C B C B C ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos( ? ) 2 2 2 2 2 2 A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? AA cos ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) 1 2 2 2 2 2 2 2
解:如图,连 BA1,则 AA1=2sin(B+

? cos( ? B) ? sinC ? sinB, 同理 BB1 cos B ? sin A ? sinC, CC1 cos C ? sin A ? sinB, 2 2 2 A B C 2(sin A ? sinB ? sinC ) ? AA cos ? BB1 cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sinB ? sinC ), 原式= ? 2. 选 A. 1 2 2 2 sin A ? sinB ? sinC
k k k 例 15 若对所有实数 x ,均有 sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2 x ,则 k ? (

?

).

A、6 ;
解:记 f

B 、5;
k ? x? ? s i n

C、4 ;

D 、3.

x? s i n x ck o sx k? ?

cos kx ?

k

c o sx 2 由 条 件 , f ? x ? 恒 为 0 , 取 x ? ,则

?
2

,得

?? k? k ? s i n ? ? ? ? ,则 k 为奇数,设 k ? 2n ?1 ,上式成为 sin? n? ? ? ? ? 1,因此 n 为偶数,令 n ? 2m ,则 1 2? 2 ?
k ? 4m ?1,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.故选 D
例 16 已知 f ? x? ? x2 ? a2 ? b2 ?1 x ? a2 ? 2ab ? b2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
7

?

?

2 2 2 2 解:由已知条件可知, a ? b ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a ? 2ab ? b 。令 a ? cos ? , b ? sin ? ,

则 a ? 2ab ? b ? cos
2 2

2

? ? 2sin ? cos? ? sin2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 。因此 选 A。
x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?


例 17

已知 ? , ? ? R ,直线

的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ?x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程

x0 ? x0 ? ? 1, t ? sin ? t ? cos ?

2 的两个根,即为方程 t ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0 的两个根。

因此 sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。

1、 cos( 1 ?

x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) =



2、已知函数 f ( x) ?

sin( πx ) ? cos( πx ) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_____。 4 4 x
__.

3、已知

tan(? ? ? ) sin( ? 2? ) ? 1 ? 的值是_ ? 3 ,且 ? ? k? , ? ? ? ? n? ? (n, k ? Z ) 。则 tan ? sin? 2 2

4、设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x? c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 5、设 0< ? <π,求 sin

?
2

bcosc = a

(1 ? cos? ) 的最大值。

6、求证: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12? ? 1. 7、已知 a0=1, an=

sin ? . cos ? ? A 9、若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。
8、已知 sin ? ? A sin(? ? ? ), | A |? 1, 求证 : tan(? ? ? ) ? 10、证明: sin ? ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? 2 ? ) ? ? ? sin( ? ? n? ) ?

1 ? an ?12 ? 1 ? (n∈ +),求证:an> n? 2 . N 2 an ?1

sin( ? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2
x

? cos? ? ? cos? ? ? 11、已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β - )>0,求证: ? ? sin? ? ? ? sin? ? ? 2. ? 2 ? ? ? ?
12、求证:① cos6? cos42? cos66? cos78? ?

x

1 16

②sin1°sin2°sin3°?sin89°= ( )
8

1 4

45

? 6 10.

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案
2 2 2 1、解:根据题意要求, x ? 5 x ? 6 ? 0 , 0 ? x ? 5 x ? 7 ? 1 。于是有 x ? 5 x ? 7 ? 1 。因此

cos( 1 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) ? cos 0 ? 1 。因此答案为 1。
π 2 sin( πx ? ) ? 2 1 5 π 1 5 4 ( ? x ? ) ,设 g ( x) ? 2 sin( ? )( ? x ? ) ,则 g(x)≥0,g(x) 2、解:实际上 f ( x) ? πx 4 4 4 4 4 x 1 3 3 5 3 1 3 在 [ , ] 上是增函数,在 [ , ] 上是减函数,且 y=g(x)的图像关于直线 x ? 对称,则对任意 x1 ?[ , ] ,存在 4 4 4 4 4 4 4 g ( x1 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 3 5 3 5 ? ? ? f ( x2 ) ,而 f(x)在 [ , ] 上是减 x2 ? [ , ] ,使 g(x2)=g(x1)。于是 f ( x1 ) ? 4 4 4 4 x1 x1 x2

4 5 4 5 1 5 ,即 f(x)在 [ , ] 上的最小值是 。 5 5 4 4 sin( ? 2? ) ? 1 ?1 [sin( ? 2? ) ? sin? ] ? tan( ? ? ) sin( ? ? ) ? cos? 2 ? ? 3 ?1 sin? 3、解: ? ? ? ? ? 2. 1 sin( ? 2? ) ? tan ? cos(a ? b) ? sin? 3 ?1 [sin( ? 2? ) ? sin? ] ? ?1 2 sin? 1 4、解:令 c=π ,则对任意的 x ∈ R ,都有 f(x)+f(x? c)=2,于是取 a ? b ? , c=π ,则对任意的 x ∈ R , 2 b cosc af(x)+bf(x? c)=1,由此得 ? ?1 。 a π 2 一般地,由题设可得 f ( x ) ? 13 sin( x ? ? ) ? 1, f ( x ? c) ? 13 sin( x ? ? ? c) ? 1 ,其中 0 ? ? ? 且 tan? ? , 2 3 于是 af(x)+bf(x? c)=1 可化为 13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ? c) ? a ? b ? 1 ,即
函数,所以 f ( x) ? f ( ) ?

5 4

13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ) cos c ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 ,
所以 13 (a ? b cos c) sin( x ? ? ) ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 。

?a ? b cos c ? 0 (1) ? ( 2) , 由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有 ? b sin c ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0 (3) ?
若 b=0,则由(1)知 a=0,显然不满足(3)式,故 b≠0。所以,由(2)知 sinc=0,故 c=2kπ +π 或 c=2kπ (k∈Z)。当

c=2kπ 时, c=1, cos 则(1)、 (3)两式矛盾。 c=2kπ +π (k∈Z), c=? 1。 故 cos 由(1)、 (3)知 a ? b ?
5、【解】因为 0< ? <π,所以 0 ? 所以 sin

?
2

?

?
2

,所以 sin

?
2

>0, cos

?
2

b cosc 1 , 所以 ? ?1 。 2 a

>0.

?
2

(1+cos ? )=2sin

?
2

·cos2

?
2

= 2 ? 2 sin2

?
2

? cos2

?
2

? cos2

?
2
3

? ?? ? 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . ≤ 2?? 3 27 9 ? ? ? ? ? ?

9

2 2 4 3 ? , ? =2arctan 时,sin (1+cos ? )取得最大值 。 2 9 2 2 2 2 2 tan ? ? tan ? ? ? ? ? 6、思路分析:等式左边同时出现 tan 18 tan 12 、 tan 18 ? tan 12 ,联想到公式 tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?
当且仅当 2sin2 =cos2 , 即 tan = 证明: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12?

?

?

?

? 3 ? tan( ? ? 18 ? ? ? ? ? 3 ? tan( ? ? 12? )(1 ? tan18? tan12? ) ? tan18? tan12? ? 1 18 ? 3 (tan18 ? tan12 ) ? tan18 tan12 ? 3 ? tan( ? ? 12? )(1 ? tan18? tan12? )? 1tan18? tan12? 18 ?

? 3 (tan18? ? tan12? ) ? tan18? tan12?

? 3 (tan18? ? t

?1 评述:本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 (1 ? tan1? )(1 ? tan2? )?(1 ? tan43? ) (1 ? tan44? ) ? 222 等.
? ?

7、【证明】 由题设知 an>0,令 an=tanan, an∈? 0,

??

?, 2?

则 an=

1 ? tan2 an?1 ? 1 tan an?1

?

secan?1 ? 1 1 ? cosan?1 a ? ? tan n?1 ? tan an . 2 tan an?1 sinan?1
n

a 1 ?1? ? ?? 因为 n ?1 ,an∈? 0, ? ,所以 an= a n ?1 ,所以 an= ? ? a0 . 2 2 ?2? ? 2?

? ? ?1? 又因为 a0=tana1=1,所以 a0= ,所以 a n ? ? ? · 。 4 4 ?2? ? ? ? 又因为当 0<x< 时,tanx>x,所以 an ? tan n ? 2 ? n? 2 . 2 2 2
n

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当 x∈? 0, 知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。

? ?

??

? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟 2?

8、分析:条件涉及到角 ? 、? ? ? ,而结论涉及到角 ? ? ? , ? .故可利用 ? ? (? ? ? ) ? ?或? ? (? ? ? ) ? ? 消除条 件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”入手. 证法 1: ? sin ? ? A sin(? ? ? ), ? sin(? ? ? ? ? ) ? A sin(? ? ? ),

从而 cos(? ? ? ) ? 0, ?| A |? 1, sin ? ? cos ? ? A ? 0, tan(? ? ? ) ? . ?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, 从而 cos(? ? ? ) ? 0, cos ? ? A sin( ? ? ) sin ? ? ? cos ? ? 从而0cos(? ? ? ) ? 0, sin( ? ? ) sin? ? A ? sin? , ? ? sin 证法 2: sin? ? ? tan(? ? ? ) ? . cos ? sin( ? ? ) ? sin[( ? ? ) ? ? ] ? ? 从而 cos( 0, sin? ? A ? ? ? ) ? sin? sin cos ? sin( ? ?cossin? A ? )? ? ? ? sin( ? ? ) sin ? ? cos ? ? ? ? ) ? tan( ? . sin( ? ? ) sin ? ? ? sin( ? cos sin ? ? ? ) ? ? A ? cos ? sin( ? ? ) ? sin[( ? ? ) ? ? ] ? ? tan(? ? ? ) ? . cos( ? ? ) sin ? ? cos ? ? A ? ? ? ) sin ? sin( sin( ? ? ) sin ? ? ? ? ? tan( ? ? ). ? cos ? sin( ? ? ) ? sin[( ? ? ) ? ? ] cos( ? ? ) sin ? ? ? ? sin( ? ? )? B ? A ? B ? A sin ? A ? ? tan( ? ? ). B ? 9、【解】 因为 sinA+sinB=2sin ? ) sincos , ① ? 2 sin cos( ? 2 ? ? 2 2

sin( ? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? A sin( ? ? ? ), ?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, sin( ? ? ? )(cos ? ? A) ? sin ? cos(? ? ? ),
?| A |? 1,

? tan( ? ? ). ?

10

sinC+sin

?
3

? 2 sin

C?

?
3 cos

C? 2

?
3 ? 2 sin

C?

?
3 , ②
A? B?C ? 4

又因为 sin

A? B ? sin 2

C? 2

?

2

3 ? 2 sin

A? B?C ? 4

?

2

?

3 cos

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin

? ? ≤4sin , 3 3

3 ? 2 sin ? ,③ 3

3 3 ? 3 3 ? = ,当 A=B=C= 时,(sinA+sinB+sinC)max= . 2 2 3 3

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调 性等是解三角最值的常用手段。 10、证明: sin? sin

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ) ? cos( ? )], ? ? 2 2 2 2

类似地 sin( ? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )], 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin( ? ? 2 ? ) sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2 ?? sin( ? ? n? ) sin

?

?

? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )] 2 2 2 1 2n ? 1 ? n n ?1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )] ? sin( ? ? ? ) sin ?. 2 2 2 2 2 n n ?1 ? sin( ? ? ? ) sin ?. n n ?1 sin( ? ? ? ) sin ? 2 2 2 2 所以, sin ? ? sin( ? ? ? ) ? ? ? sin( ? ? n? ) ? . ? sin 2

各项相加得 , sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2

[sin ? ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? 2 ? ) ?2n ? 1sin( ? ? n? )]? ?? 1

评述:①类似地,有 cos ? ? cos(? ? ? ) ? ? ? cos(? ? n? ) ?

sin

n ?1 n ? cos(? ? ? ) 2 2 . ? sin 2

7 7 2 ? 3 5 7 1 ? 3 5 1 cos ? cos ? ? cos ? ? . cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 cos ? ? cos ?? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. ? 11、【证明】 若α +β >9 ,则 9 x>0,由α 9 -β >09 cosα <cos( -β )=sinβ ,所以 0< > 得 2 <1, sin ? 2 2 2 ? cos ? 又 sinα >sin( -β )=cosβ , 所以 0< <1, 2 sin?

n n ?1 sin ? cos ? 2 2 ②利用上述公式可快速证明下列各式: cos? ? cos 2? ? cos 3? ? ? ? cos n? ? ? ? 3 5 1 sin 2 cos ? cos ? ? cos ? ? .

9

11

? cos? ? ? cos? ? ? cos? ? ? cos? ? 所以 ? ? sin? ? ? ? sin? ? ? ? sin? ? ? ? sin? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 若α +β < ,则 x<0,由 0<α < -β < 得 cosα >cos( -β )=sinβ >0,所以 >1。 sin ? 2 2 2 2 ? cos ? 又 0<sinα <sin( -β )=cosβ ,所以 >1, 2 sin?
x 0

x

0

所以 ? ?

? cos? ? ? cos? ? ? cos? ? ? cos? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 2 ,得证。 sin? ? ? sin? ? ? sin? ? ? sin? ? ? ? ? ?
x 0
?

x

0

? 4 cos54? cos 42 cos 78 ? 12、证明:①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66° ? cos18? cos? ? cos78? 42 1 ? cos 54 ? cos(3 ? 18? ) 4 cos54 4 ? 1 4 cos54? ? cos( ? 18 ) 3 ? ? ? cos18 cos42 cos78 1 ? ? 4 ? . ? 4 cos54? 4 cos54 16 1 1 ? ②sin1°sin2°sin3°?sin89° cos( ? 18 ) 3 ? . 16 ? 4 =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)?(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° 4 cos54? 1 1 29 3 ? ? ? ? . = ( ) sin 3 sin 6 ?sin 87 ? 16 4 4
1 ? ( ) 30 3(sin3? sin57? sin63? )(sin6 ? sin54? sin66? ) ?(sin27? sin33? sin87? ) sin30? sin60? 4

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 ? cos42? cos78? cos18

1 ? (1 )4400 ? 3 sin 9?? ? sin 18?? ?sin 81?? 1 4 2 3 2 ? sin 18 ? sin 36 ? sin 54 ? sin 72 ? ? ( 4) ? 3 sin 9 ? sin 18 ?sin 81 ( ) ? 4 4 2 1 42 3 2 1 ? ? ? ? ? (1 )4400 ?3 ?2 9?? sin 18?? )(sin 18?? sin 72?? )(sin? (?? sin 63?? )(sin 36?? sin 54?? ) ?sin 54? sin 72 3 (sin 1 4 2 3 27 4 ) ?? 2 sin 18 sin 36 sin 45 ? ? ? ? 4) 4 2 ? 3 ? (sin 9 sin 1836 ? sin ? (sin 72?)(sin2 cos 7263 )(sin?36 sin 54 ) ?18 ? 45 ?( ) ? 27 sin cos 54 cos 36 cos sin ?( sin 18 sin )(sin 18 sin 72 54 ) 4 4 2 ? ( 1 ) 4422? 33 2 sin 18 ? sin 36 ? sin 54 ? sin 72 ? ? 4 1 4 2 3 22 1 ? ? ( 1 ) ? 3 sin 18 ? sin 36 ? sin 54 ?1sin 72 3 ? (4 ) ? 2 2 cos 72 ? cos 54 ? cos 36 ? cos18 42 ? ? 4 ? 2 ? ? ? ? ( 4 ) 4422? 32 22 cos 72 ? cos 54 ? cos(36)? cos18 ? 2 cos18 cos 36 cos 72 cos 54 1 1 42 3 ? ? ? ? 4 ? (1 ) ? 2 sin 18 sin 36 sin 54 4sin 722 ? ( 1) ? 3 2 cos 72 ? cos 54 ? cos 36 ? cos18 ? 3 ? ( 1 ) 4 2 ? 32 2 cos 72 ? cos 54 ? cos 36 ? cos3 ? ? (4 ) 4 2 ? 2 2 cos18 ? cos 36 ? cos 72 ? cos 54 ? 18 4 1 42 4 2 ? ( 4 ) 4 2? 2 2 cos18 ? ?cos 36 ? ?cos( )?4cos 54 ??2 cos18 ? cos 36 ? sin 18 ? cos 54 ? ? 72 ? 2 ? 1 3 4 4? 2 ? (1 )4 2 ? 2 2 cos 72 cos 54 cos 36 cos18? ? ( 1 ) 4422? 3 2 cos18 ?? cos 36 ?? cos 72?? cos 54?? 1 3 3 4 2 ? ( 1 ) ? 3 2 cos18 ? cos 36 ? cos 72 cos 3 ? (4 ) ? 2 2 cos18 cos 36 sin 18 cos 54 1? 4 3 54? 4 2 ? ( 4 ) 4422? 2 2 cos18 ?? cos 36 ?? sin 18 )?cos 54 ?2 sin 72 ? cos 54 ? ?( ? 1 3 4 4? ? (1 )4 2 ? 2 2 cos18? cos 36? cos 72 cos2 ? ? ( 1 ) 4423? 3 2 cos18 ?? cos 36 ?? sin 18 ? cos 54 ? 54 1 3 3 4 2 ? ( 1 ) ? 3 2 cos18 cos 36 sin 18 cos 54 ? (4 ) ? 2 2 sin 72 cos 54 1 3 4 2 ? ( 4 ) 4432? 2 2 sin 72 ??cos 54 ?? ? ( ) 4 3 ? ? 2 cos18 ? sin 36 ? 1 3 ? 4 4 2 ? (1 )4 3 ? 2 2 cos18? cos 36? sin 18 cos 54 ? ( 1 ) 4433? 3 2 sin 72 ??cos 54 ?? 1 3 1 3 4 2 ? (4 ) ? 2 2 cos18 sin 36 ? (1 ? cos 36 ? ? cos 72 ? ? cos 36 ? ( 1 ) 4 3 ? 3 2 sin 72 ?1cos 54? 4 2 ? (cos18 sin2 cos ? (1 36 ? 又( 4 ) 4 3?? 2 36? ) 2 18 ? sin ? cos36? )(1 ? cos72? ) 4 1 3 1 43 3 4 ? ? ? (1 )4 3 ? 2 2 sin 72?4cos 54 1 1 ?( ) ? 2 cos18 sin 36 ? 3 ? (1 ? cos 36 ? cos ? ? (1 ? cos 36 ? cos 72 ? ? cos 36 ? cos 72 ? ) 72 ) ? ( 4) ? 2 2 cos18 sin 36 ? 4 2 4 4 4 2 1 3 ? ( ) 43 ? 2 cos18 ? 1 36 ? sin 5 1 ? ? ? ? ? (1 ? cos 36 ? cos 72 ? cos 36 cos 72 ) ? (1 ? cos 36 ? cos 72 ? ) ? 4 2 16 4 4 5 1 ? ? ? ? 即 cos18 ? sin 36 ? ? 5 . (1 ? cos 36 cos 72 ) 16 4 4 5 ? 16 1 所以 sin1? sin2? ?sin89? ? ( ) 45 ? 6 10. 4
12


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