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1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)_图文

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你能很快求出下面问题的答案吗? 问题 1.不等式 x ? y ≤ 6 有多少组不同的正整数解? 问题 2.由数字 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复 数字的三位整数? 问题 3.自然数 120 有多少个正约数?

这些都 是计数问题 , 可用列举的方 法求出答案 ( 即一个一个地去数 ), 但不够快, 如果问题稍复杂些 列举的方法很难实施 .如何能不通过一个一个地数而 确定出答案? 这就是本章要学习的内容.
首先认识两个原理:分类加法计数原理和分步乘法计数 原理

琢磨下面问题中的思考: 问题1.如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车 一天中,火车有3 班, 汽车有2班,那么一天中乘坐这些 交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 火车1 火车2 甲· ·乙 火车3 汽车1 汽车2 分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法:乘火车,有3种方法; 第二类方法:乘汽车,有2种方法. 所以 ,从甲地到乙地共有3+2=5种方法.

通过例子抽象出数学模型: 把“从甲地到乙地”看成为“完成一件事”,完成它 有两类方法(火车、汽车): 第一类有3种方法(火车有3班) 第二类有2种方法(汽车有2班) 因此完成一件事(从甲地到乙地)共有3+2=5种不同 的方法. 分类加法计数原理:一般地,完成一件事,有两类办 法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中 有m2种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2种不 同的方法 .

注:分类──类类相加,但要注意不重不漏.
思考课本第3页探究.

更一般地 分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类 办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的 方法, …… 在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法 .

注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏 ) ⑵分类── 类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)

例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了 解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项 专业,具体情况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多 少种选择呢?

想一想 在填写高考志愿表时,一名高中毕业 生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业,具体情况如下: C大学 A大学 B大学 环境科学 生物学 数学 地质学 化学 会计学 医学 信息技术学 车辆工程 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多 少种选择呢?

琢磨下面问题中的思考: 问题2.如图,由A市去B市的道路有3条,由B市去C市的 道路有2条。从A市经B市去C市,共有多少种不同的走 法? 空 空 C市 陆 A市 B市 陆 水 分析: 从A市经 B市去C市有2步, 第一步,由A市去B市有3种方法, 第二步,由B市去C市有2种方法, 所以,从A市经 B市去C市共有3 ×2 = 6 种不同 的方法。

通过此例抽象出数学模型: 把“从甲地到乙地”看成“完成一件事” , 完成这件必须分二个步骤: 第一个步骤有3种方法(从甲地到丙地) 第二个步骤有2种方法(从丙地到乙地) 因此“完成一件事”(从甲地到乙地) 共有3×2=6(种)不同的方法
分步计数原理:一般地,做一件事,完成它需要分成 两个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2 不同的方 思考课本第5页探究. 法. 注:分步──步步相乘.

更一般地 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步 有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方 法.那么完成这件事共有N=m1×m2 ×…×mn 不 同的方法.
注:⑴把完成一件事的方法分成 n 个步聚来进行,. (注意必须且只需完成 n 步才完成这件事) ⑵分步── 步步相乘.

例2.用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字, 以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给教室里 的座位编号,总共能编出多少个不同的号码? 分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数 字中的任何一个组成一个号码,而且它们各个不同, 因此共有6×9=54个不同的号码。

字母

数字
1 2 3

得到的号码
A1 A2

A3
A4

A

4

5
6

A5
A6

7
树形图 8

A7
A8

9

A9

例3. 我们班级有30位男生,24位女生,现要从中 选出男生、女生各一名同学参加“迎五一 讲文 明 树新风”演讲比赛,则共有多少种不同的选法?

例4 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同 的取法? (3)从书架上任取2种不同类型的书各1本,有多少种 不同的取法?

解:(1)从书架上任取1本书,有3类方法: 第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法

第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法
第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法

根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
N = 4+ 3+ 2= 9

书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本 不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书.

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不 同的取法? 解(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3 各步骤完成: 第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法 第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法 第3步从第3层取1本体育书,有2种方法 根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N=4×3×2=24

例5:如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上红、黄、蓝3种不同颜色中的某一种,允许 同一种颜色可使用多次,但相邻区域必须涂不同 的颜色,不同的涂色方案有多少种?
解: 按地图A、B、C、D四个 区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方 案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种 。

例6.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂 在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同 的挂法? 解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种选法
第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N = 3× 2= 6

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的

各步之间是相关联的

? abcd , , , ?,B??x , y,z 1、已知集合 A ? ?
则从集合A到集合B的映射个数最多有 (
(A)4×3×2 (B)4×3 (C)34 (D)43

练习.

P6.1,2,3

C)

问题 2.由数字 0,1,2 ,3,4 可以组成多少个 无重复数字的三位整数?

问题3.自然数120有多少个正约数? 解:120=23×3×5 分三步完成: 第一步:取20,21,22,23有4种; 第二步:取30,31有2种; 第三步:取50,51有2种. 由分步计数原理,共有4×2×2=16种. 所以自然数120有16个约数.

例4、台州市的部分电话号码是05768415××××,后面 每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的 电话号码? 分析:

05768415

分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式1: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不 同的电话号码?

变式2: 若要求最后2个数字个位数字比十位数字大, 则又有多少种不同的电话号码?

课堂练习
如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地 有3条路;从甲地到丙地有4条路可以走,从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法?

甲地

乙地 N1=2×3=6

N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地

2.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

作业:书P6 1 2 3 4 P12 1 3 5 +P13 1

1、在所有的两位数中,个位数字比十位数 字大的两位数有多少个?
2、8本不同的书,任选3本分给3个同学,每 人1本,有多少种不同的分法? 3、将4封信投入3个不同的邮筒,有多少种不 同的投法?
x ? a )? ( y ? b )? r 则方程 ( 可表示不同的圆的 个数有多少?
2 2 2

? { 3 , 4 , 6 } , b ? { 1 , 2 , 7 , 8 } , r ? { 8 , 9 } 4、已知 a


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