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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

时间:2012-07-25


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2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案
(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9:00—11:30) 二 题号 一 总分 9 10 11 12 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不能使用计算器. 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x ) ? 2 x ?
4 x ? x 的值域是__________________________.
2

2.函数 y ? _____________________的图象与 y ? e 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称.
x

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________. 4.设椭圆
x
2

t ?1

?

y

2

t ?1

? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? __________________________.

5.设 z 是复数,则 | z ? 1 | ? | z ? i | ? | z ? 1 | 的最小值等于__________________________. 6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,
3 2

则 a , b , c 应满足的充分必要条件是__________________________. 7. 设 O 是 ? A B C 的 内 心 , A B ? 5 , A C ? 6 , B C ? 7 , O P ? xO A ? y O B ? z O C ,
0 ? x , y , z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.

??? ?

??? ?

??? ?

????

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 0 , a n ?
2 1 ? a n ?1

, n ? 2 .求 a n 的通项公式.

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10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

11.(22 分)已知 ? A B C 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ? A , ? B , ? C 的平 分线与边 B C , C A , A B 的垂直平分线的交点.求证: ? A B C 的面积小于 ? D E F 的面积.

12. 22 分) ( 桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最 后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

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2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: ? 4 ? 2 5 , 8 ? .
? ?









0? x?4





x?2?

2 ?c

o s0?? ?? (

) ,
1 5



y ? 4 cos ? ? 2 sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 4 (其中 c o s ? ?

2 5

, sin ? ?

, ? 为锐

角) ,所以当 ? ? 0 时, y m ax ? 8 ,当 ? ? ? ? ? 时, y m in ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? 4 ? 2 5,8 ? .
? ?

2. 答案: 1 ? ln (1 ? x ) 提示:因两函数图象关于直线 x ? y ? 1 对称,所以 x ? y ? 1 , y ? 1 ? x ,∴
1? x ? e
1? y

,解得 y ? 1 ? ln(1 ? x ) .
1 3

3. 答案: ?

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面 角 ? 的两倍.∵ tan ? ?
c o s 2? ? 2 c o s ? ? 1 ? ?
2

2 ,∴ co s ? ?
2

1 1 ? tan ?
2

?

1 3

,则

1 3

.

4. 答案: 5 提示:由椭圆方程
x
2

t ?1

?

?x ? ? ? 1 知, t ? 1 ,设其参数方程为 ? t ?1 ?y ? ?

y

2

t ? 1 cos ? t ? 1 sin ?

(? 为

参数)代入双曲线方程 xy ? 1 ,得 sin 2? ?

2 t ?1
2

.

因两曲线相切,∴

2 t ?1
2

? 1 ,故 t ?

5.

5. 答案: 1 ?

3

提 示 :在 复平 面 上, 设 A ( ? 1, 0) , B (1, 0) , C (0,1) , 则 当 Z 为 ? A B C 的 费 马 点时 ,

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3 3 ? 2 3 3 ? 2 3 3 ? 1? 3 .

| z ? 1 | ? | z ? i | ? | z ? 1 | 取得最小值,最小值为 1 ?

6. 答案: b ?

a

2

? 1且c ?

a

3

?

a 3

.

3

27

提示:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x ? a x ? b x ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) ,
3 2

右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ? a ? 3? , b ? (? ? 1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ? 1) ? 3? ? 1 ,
2

2 ? a b ? ?1 ? ? 3 ? c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 消去 ? 得 ? , 这就是所求 3 ?c ? a ? a ? 27 3 ?

的充要条件. 7. 答案: 1 2 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中 的三个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖 的平面区域的面积等于等于 ? A B C 面积的 2 倍,即 1 2 6 .

8. 答案:

6 7

提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C 8 个三角形,其中直角三角形有
1 2 ? C 4 个,所求“构成直角三角形”的概率是
3

3

12 ? C 4 C8
3

3

?

6 7

.

二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 a n ? 2 ?
an ? 2 an ? 1 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1

4 ? 2 a n ?1 1 ? a n ?1
? (?2)
2

, an ? 1 ?

1 ? a n ?1 1 ? a n ?1

,????(10 分)



? (?2) ?

an?2 ? 2 an?2 ? 1

? ? ? (?2) ,
n

于是 a n ?

(?2) ? 2
n

(?2) ? 1
n

.??????(20 分)

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?n2 ? 2 ?n 2 10. 解: 2 0 1 0 | n ? n ? 2 4 ? ? 2 ?n ? 2 ?n

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? n ? 24 ? 0 m od 2 ? n ? 24 ? 0 m od 3 ? n ? 24 ? 0 m od 5 ? n ? 24 ? 0 m od 67

? n 2 ? n ? 0 m od 3 ? 2 ? ? n ? n ? 1 m od 5 ? 2 ? n ? n ? 43 m od 67

????(10 分) 又 n ? n ? 0 m od 3 ? n ? 0 或 2 m o d 3 ,
2

n ? n ? 1 m od 5 ? n ? 2 m od 5 ,
2

n ? n ? 43 m od 67 ? n ? 10 或 5 6 m o d 6 7 ,
2

故所求最小正整数 n ? 77 .????(22 分) 11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. ????(10 分) 不 妨 设 圆 半 径 为
S ?DEF ? 1 2 1 2 1 2

1 , 则 有 S ?ABC ?

1 2

( s iA n ?

2

B ?s i C n

2,

s i n

2

)

(sin A ? sin B ? sin C ) .

由于 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C
? 1 2 (sin 2 A ? sin 2 B ) ? (sin 2 B ? sin 2 C ) ? (sin 2 C ? sin 2 A )

? sin( A ? B ) sin( A ? B ) ? sin( B ? C ) sin( B ? C ) ? sin( C ? A ) sin( C ? A ) ? sin( A ? B ) ? sin( B ? C ) ? sin( C ? A )
? sin A ? sin B ? sin C

∴ ? A B C 的面积小于 ? D E F 的面积. ????(22 分)

12. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为:n 1 ,n 2 ,n 3 , ?, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) ? n i ? 满足 n i ? 1 ? n i ? n i ?1 ; (2)当 n ? n i 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? n i ? 1 ; (3)当 n i ? n ? n i ? 1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? n i . ??????????????(10 分) 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 n i ? 2 ?
ni 2 ? n i ?1 .

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当1 ? k ? 当
ni 2 ni 2

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时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 n i ? 2 k 根火柴,乙无法获胜.

? k ? n i ? 1 时, n i ? 2 ? k ? n i ? 1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此

时所取的火柴数目 ? n i ? 2 ,剩余 n i ? 2 n i ? 2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? n i ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴; 若m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? n i ? 2 , 剩余 n i ? 2 n i ? 2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, n i ? 1 ? n i ? n i ?1 . 因为 100 不在数列 ? n i ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. ????(22 分)

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