nbhkdz.com冰点文库

函数中的恒成立、存在性问题

时间:2016-05-22

导数的应用
——函数中的恒成立、存在性问题 一.基础回顾,温故知新 已知函数 f ( x) x ? D , f ( x) 存在最小值与最大值。 1.恒成立问题的转化 对于 ?x ? D , f ( x) ? M 恒成立 ? ___________________ 2.能成立问题的转化

?x ? D, 使得 f ( x) ? M 成立 ? ___________________
二.典例剖析,提炼总结
2 例 1.设函数 f ( x ) ? x ?

5 mx ? 4; 2

(1)若 ?x ? [1,3], 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围; (2)若 ?x ? [1,3] 不等式 f ( x) ? 0 有解,求实数 m 取值范围; (3)若 ?m ? [1,2] 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 x 取值范围。

例 2:已知两函数 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? c, g ( x) ? 2 x 3 ? 4 x 2 ? 40x ①对任意 x ? [ ?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 c 的取值范围; ②对存在 x ? [ ?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 c 的取值范围。 ③对 ? x1 , x2 ?[?3,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 c 的取值范围;

例 3.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1
3 2

(1) f ( x) ? f (1), x ? (??,1) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) f ( x) ? f (1) 的解集 (??,1) ,求实数 a 的取值范围; (3) ?x0 ? ?0,1? ? ?1,2? 使得 f ( x0 ) ? f (1) .求实数 a 的取值范围。

例 1:解析:① ?x ? [1,3], 不等式 f ( x) ? 0 恒成立 ? ?x ? [1,3], 恒成立 令 g ( x) ? x ?

4 5 4 5 , x ?[1,3] ,即 g ( x ) min ? m x ? ? m x 2 x 2 8 5 g ( x)min ? 4 ,? 4 ? m ,? m ? 5 2
4 5 ? m 能成立 x 2

解析:② ?x ? [1,3] 不等式 f ( x) ? 0 有解 ? ?x ? [1,3] , x ? 令 g ( x) ? x ?

4 5 , x ?[1,3] ,即 g ( x ) max ? m x 2 5 g ( x)max ? 5 ,? 5 ? m,? m ? 2 2

解析: ③变换主元, 将 f ( x) 看成关于 m 的一次函数, 令 g ( m) ? ?

5 x ? m ? x 2 ? 4, m ? [1,2] 2

f ( x) ? 0, 即 g (m) ? 0, m ?[1,2] , g (m) min ? 0

5 ? ? g (1) ? x 2 ? x ? 4 ? 0 ?? ? x ? 4或x ? 1 2 2 ? ? g (2) ? x ? 5x ? 4 ? 0
例 2:解析:①令 h( x) ? g ( x) ? h( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ?12x ? c, x ?[?3,3] 任意 x ? [ ?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立 ? 任意 x ? [ ?3,3] , h( x) ? 0 恒成立

? h( x) min ? 0 ,由导数可得 h( x) min ? c ? 45 ,? c ? 45

解析:②令 h( x) ? g ( x) ? h( x) ? 2 x ? 3x ?12x ? c, x ?[?3,3]
3 2

存在 x ? [ ?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立 ? 任意 x ? [ ?3,3] , h( x) ? 0 能成立

? h( x) max ? 0 , h( x)max ? h(?1) ? c ? 7 ? 0 , c ? ?7
解析:③ ? x1 , x2 ?[?3,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x) max ? g ( x) min 即 147 ? c ? ?48,

? 195 ? c

例 3: 解: f ( x) ? f (1) ? ( x ? 1)(x ? x ? 1 ? a)
2

① f ( x) ? f (1) ? ( x ? 1)(x ? x ? 1 ? a) ? 0 在 (??,1) 上恒成立
2

即: x ? x ? 1 ? a ? 0 在 (??,1) 上恒成立? a ?
2

5 4

② f ( x) ? f (1) ? ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1 ? a) ? 0 的解集 (??,1) 即: f ( x) ? f (1) ? ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1 ? a) ? 0 恰好在 (??,1) 上成立 令方程 x ? x ? 1 ? a ? 0
2

1.若 ? ? 0 ,方程存在两不等实根,不妨设 ? , ? , 原不等式等价为 ( x ? 1)(x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,显然解集不可能为 (??,1) ; 2.若 ? ? 0 , x ? x ? 1 ? a ? 0 恒成立,原不等式等价为 x ? 1 ? 0 ,满足题意;
2

5 1 2 ,原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 恒成立, 4 2 1 1 所以原不等式的解集为 ( ?? , ) ? ( ,1) ,不满足题意. 2 2 5 综上: a ? 4
3.若 ? ? 0 , a ? ③ ?x0 ? ?0,1? ? ?1,2? 使得 f ( x0 ) ? f (1) .

? ?x0 ? ?0,1? ? ?1,2? 使得 ( x0 ?1)(x0 ? x ?1? a) ? 0
2

? ?x0 ? ?0,1? ? ?1,2? 使得 x0 ? x0 ?1 ? a ? 0 有解
2

? ?x0 ? ?0,1? ? ?1,2? 使得 a ? ? x0 ? x0 ? 1 有解
2

又? 当 x0 ? ?0,1? ? ?1,2? ,

5 2 (? x0 ? x0 ? 1) ? [?1, ] , 4

5 ? a ? [ ?1, ] 4

三.学以致用,巩固提高 1.设 f ( x) ? ? x ? ax ? 1, g ( x) ?
2

ax 2 ? x ? a , x2

(Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ? 0 在 (0,3] 上有两个不等实根,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若对任意的 x1 ? [ ,1] ,存在 x2 ?[1, 2] ,都有 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值 范围.

1 2

2.已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? , g ( x ) ? ?ax ? 1, x ? R. 3 3

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 在[-1,1]的极值; (3)若在 ? 0 ,

? ?

1? 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,求正实数 a 的取值范围. 2? ?

3.设 f ( x) ? e ? e x , e ? 2.71828? ? ? 是自然对数的底. (1)求曲线 f ( x) 在点 M (0, e) 处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? kx (k ? R), 试探究函数 g ( x) 的单调性; (3)若 f ( x) ? kx 总成立,求 k 的取值范围. 4.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 3 1 1 1 x0 ? (0, ) ? ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2 2

5.已知 t

? 0 ,设函数 f ? x ? ? x3 ?

3 ? t ? 1? 2 x ? 3tx ? 1 . 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上无极值,求 t 的值; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在[0, 2]上的最大值,求 t 的取值范围; (Ⅲ)若 f ? x ? ? xe ? m ? 2 ( e 为自然对数的底数)对任意 x ? [0,?? ) 恒成立时 m 的最大值
x

为 1,求 t 的取值范围.


函数恒成立存在性问题(资料大全).pdf

函数恒成立存在性问题(资料大全) - 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ? max ; a ? f ?...

函数恒成立存在性问题1_图文.doc

函数恒成立存在性问题1 - 函数恒成立存在性问题 知识点归纳梳理 1、 恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? 2、能成立问题的转化: a ? f ?...

(高一用)函数中的恒成立存在性问题_图文.ppt

(高一用)函数中的恒成立存在性问题 - 函数中的恒成立存在性问题 【引入】 函数中的恒成立存在性问题 存在性问题 (1)我们班有同学身高超过180厘米。 “最...

函数恒成立存在性问题_图文.pdf

函数恒成立存在性问题 - 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a > f ( x ) 恒成立 ? a > f ( x )max ; a ≤ f ( x ) 恒...

函数恒成立存在性问题.doc

函数恒成立存在性问题 - 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立...

函数中的恒成立、存在性问题.doc

函数中的恒成立存在性问题 - 导数的应用 函数中的恒成立存在性问题 一.

函数恒成立与存在性问题(精编).doc

函数恒成立与存在性问题(精编) - 函数恒成立与存在性问题(精编) 知识归纳:恒成立问题 1. ?x∈D,均有 f(x)>A 恒成立,则 f(x)min>A; 2. ?x∈D,均...

函数恒成立存在性及有解问题.doc

函数恒成立存在性及有解问题 - 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ...

恒成立与存在性问题_图文.ppt

恒成立与存在性问题 - 函数中的 恒成立存在性问题 (1)恒成立问题 1. ?x∈D,均有 f(x)>A 恒成立,则 f(x)min>A; 2. ?x∈D,均有 f(x)A ...

函数恒成立存在性及有解问题..doc

函数恒成立存在性及有解问题.,函数恒成立存在性问题,函数恒成立与存在,函数存在有解与恒成立,关于函数的恒成立和存在,函数恒成立与存在性,函数中的恒成立和存在,...

恒成立与存在性问题的解题策略.doc

恒成立存在性问题的解题策略 - “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的...

恒成立与存在性问题的基本解题策略.doc

恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性...恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型;②二次函数型;...

函数恒成立存在性与有解问题.doc

函数恒成立存在性与有解问题 - - 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? ...

高一函数恒成立与存在性问题.doc

高一函数恒成立存在性问题 - 函数恒成立存在性问题 沈阳市第十一中学 (一) 基础知识: 1. 恒成立问题: ①②③ 恒成立恒成立恒成立 记则( ) ...

高一用函数中的恒成立存在性问题PPT课件_图文.ppt

高一用函数中的恒成立存在性问题PPT课件 - 函数中的恒成立存在性问题 函【数引中的入恒】成立、存在性问题 (1)我们班有同学身高超过180厘米。 存在性问题 ...

恒成立存在性问题.doc

恒成立存在性问题 - 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立...

用导数研究函数的恒成立与存在性问题 答案.doc

用导数研究函数的恒成立存在性问题 答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。用导数研究函数的恒成立存在性问题 用导数研究函数的恒成立存在问题 1.已知函数 ...

恒成立问题与存在性问题(最新精华).doc

恒成立问题与存在性问题(最新精华) - 恒成立问题与存在性问题 思路一: (1)若函数 f ( x) 在 D 区间上存在最小值 f ( x) min 和最大值 f ( x) ...

导数中的恒成立和存在性问题.doc

导数中的恒成立存在性问题 - 导数中的恒成立存在性问题 技巧传播 1.恒成立

函数中的任意和存在性问题(整理).doc

函数中的任意和存在性问题(整理) - 函数中的恒成立、恰成立和能成立问题 教学目标: 结合具体函数,讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法 过程与方法 通过研究...