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2013-2014学年高中数学 基础知识篇 2.3等差数列的前n项和同步练测 新人教A版必修5

时间:2014-07-29


2.3
建议用时 45 分钟

等差数列的前 n 项和(人教 A 版必修 5)
实际用时 满分 100 分 三、解答题(共 57 分) 14.(8 分)在等差数列 ?an ? 中: (1)已知 a5+a10=58 , a4+a9=50 ,求 S10 ; (2)已知 S7=42 , S n=510 , an-3=45 ,求 n . ) 实际得分

一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1.已知数列 ?an ? 为等差数 列, 公差 d=-2 ,S n 为其 前 n 项和.若 S10=S11 ,则 a1 =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 2.若 a1 ? 1 , d=2 , Sk+2-Sk=24 ,则 k =( A.8 B.7 C.6 D.5

1 3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? , S 4 = 2 20,则 S 6 ? ( ) A.16 B.24 C.36 D.48 4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知
2 =0, S2m-1 =38,则 m =( am-1+am+1- am

)

A.38 B.20 C.10 D.9 5.数列 ?an ? 是等差数列, a1+a2+a3=-24 ,
a18+a19+ a20=78 ,则此数列的前 20 项和等于

( ) A.160 B.180 C.200 D.220 6.等差数列 ?an ? 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,当首 项 a1 和 d 变化时, a2+a8+a11 是一个定值,则下列 各数中也为定值的是( ) A. S 7 B. S 8 C. S13 D. S15 7.已知等差数列 ?an ? 满足 a2+a4=4 ,a3+a5=10 ,则 它的前 10 项的和 S10 =( ) A.138 B.135 C.95 D.23 8.已知一个等差数列的前四项之和为 21, 末四项之 和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.28 9.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若
OB ? a1 OA ?a200 OC 且 A, B, C 三点共线(该直线不过

15.(8 分)在等差数列 ?an ? 中,(1)已知 a6=10 ,
S5=5 ,求 a 8 和 S 8 ;(2)已知 a3+a15=40 ,求 S17 .

点 O ),则 S 200 =( ) A.100 B.101 C.200 D.201 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 1 10.在等差数列 ?an ? 中, a1>0 , d = , a n =3, S n 2 15 = ,则 a1 = ,n= . 2 11.设 Sn 是等差数列 ?an ? ( n ? N * )的前 n 项和, 且 a1 =1, a 4 =7,则 S 5 =
a n +an-1+an-2=3 ,则 n =

.

12.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 18,若 S 3 =1, . 13.已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数 项之和为 30,则其公差为 .
1

16.(8 分)已知等差数列 ?an ? , (1)若 a2+a7+a12=21 ,求 S13 ; (2)若 S15=75 ,求 a8 .

18.(12 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处 同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比 前一分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动几分钟后相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续 每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m, 那么开始运动几分钟后第二次相遇?

17.(9 分)已知在正整数数列 ?an ? 中,前 n 项和 S n 1 2 满足: S n = ( a n +2) , 8 (1)求证: ?an ? 是等差数列; 1 (2)若 bn = a n -30,求数列 ?bn ? 前 n 项和的最小 2 值.

19. (12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n2-7n-8 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 Tn .

2

2.3 一、选择题 题号 答案 二、填空题 10. 三、解答题 14. 11. 1 2

等差数列的前

n 和(人教 A 版必 修 5)答题纸
得分: 4 5 6 7 8 9

3

12.

13.

15.

16.

17.
3

18.

19.

2.3 等差数列的前 一、选择题 1.B

n 项和(人教 A 版必修 5)答案

解析:由 S10=S11 ,得 a11=S11-S10=0 , a1=a11+(1-11)d=0+(-10) ? (-2)=20 .

1)d=2a1+(2k+ 1)d=2 ?1+(2k+ 1) ? 2=4k+4=24 , 2.D 解析: ∵ Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+ ∴ k=5 .

1 1 4×3 d =2+6 d =20, 3.D 解析:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,∵ a1 = , S 4 =4× + 2 2 2
4

1 6×5 ∴ d =3,故 S 6 =6× + ×3=48,故选 D. 2 2
2 4.C 解析:由等差数列的性质,得 am-1+am+1=2am ,∴ 2am=am .由题意得 am ? 0 ,∴ am=2 .

又 S2m-1 =

(2m ? 1)(a1 ? a2m ?1 ) 2am (2m ? 1) = 2(2m-1) =38,∴ m =10. ? 2 2

5.B 解析:∵

?an ? 是等差数列,∴

a1+a20=a2+a19=a3+a18 .

又 a1+a2+a3=-24 , a18+a19+a20=78 ,∴ a1+a20+a2+a19+a3+a18=54 .
18 .∴ S 20 = ∴ 3(a1+a20 )=54 .∴ a1+a20=

20(a1 ? a20 ) =180. 2
13(a1 ? a13 ) =13 a 7 也为定值,故选 2

18d=3(a1+6d )=3a7 为定值,则 S13 = 6.C 解析:由已知 a2+a8+a11=3a1+

C. 7.C 解析:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 ? ②-①,得 2 d =6,∴ d =3. ∴ a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4 ? 3=4 . 10×9 ∴ a1=-4 .∴ S10 =10×(-4)+ ×3=-40+135=95.故选 C. 2 8.B 解析:设该等差数列为 ?an ? ,由题意得 a1+a2+a3+a4=21 , an+an-1+an-2+an-3=67 . 又∵ a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3 ,∴ 4(a1+an )=21+67=88 ,∴ a1+an=22 , ∴ S n=
n(a1 ? an ) = 11n= 286 ,∴ n=26 . 2
? ?a2 ? a4 ? 4, ① ? ?a3 ? a5 ? 10.②

9.A 解析:∵ OB ? a1 OA ? a200 OC ,且 A, B, C 三点共线, ∴ a1+a200=1,S200= 二、填空题 10. 2 3
1 ? 3 ? a1 ? (n ? 1) ? , ? ? a ? 2, ? 2 解析:由题意,得 ? 解得 ? 1 ? n ? 3. ?15 =na ? 1 n ? (n ? 1) ? 1 , 1 ? ?2 2 2

200(a1 ? a200 ) = 100 . 2

11. 25

1 1 解析:∵ a4-a1=3d ,∴ 3d=6 ,∴ d=2 ,∴ S5=5a1+ ? 5 ? 4 ? d=5+ ? 5 ? 4 ? 2=25 . 2 2
n(a1 ? an ) ? 18 . 2

12. 27 解析:由题意得 Sn ? 由?

?an ? an?1 ? an?2 ? 3, 4 得 3(a1+an )=4 ,即 a1+an= , a ? a ? a ? 1, 3 ? 1 2 3
36 36 ? ? 27 . 4 a1 ? an 3
15 , S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30 ,∴ S偶-S奇=5d= 15 ,∴ d=3 . 解析: S奇=a1+a3+a5+a7+a9=

故 n= 13. 3

三、解答题 14.(1)解法一:由已知条件得 ?
?a5 ? a10 ? 2a1 ? 13d ? 58, ? a ? 3, 解得 ? 1 a ? a ? 2 a ? 11 d ? 50, ? d ? 4. 1 ? 4 9
5

∴ S10=10a1+

10 ? (10 ? 1) 10 ? 9 ? d =10 ? 3+ ?4=210 . 2 2
?a5 ? a10 ? a1 ? a10 ? 4d ? 58, ∴ a1+a10=42 , ?a4 ? a9 ? a1 ? a10 ? 2d ? 50,

解法二:由已知条件得 ? ∴ S10=

10 ? (a1 ? a10 ) = 5? 42= 210 . 2

解法三:由 (a5+a10 )-(a4+a9 )=2d=58-50 ,得 d=4 ; 由 a4+a9=50 ,得 2a1+11d=50 ,∴ a1=3 . 故 S10=10 ? 3+ (2)解: S 7= ∴ S n=
10 ? 9 ? 4 ? 210 . 2

7(a1 ? a7 ) =7a4=42 ,∴ a4=6 . 2

n (a1 ? an ) n (a4 ? an?3 ) n (6 ? 45) ? ? ? 510 . 2 2 2

∴ n=20 . 15.解:(1)∵ a 6 =10, S 5 =5, ∴ ?
? a1 ? 5d ? 10, ?a ? ?5, 解得 ? 1 ?d ? 3. ?5a1 ? 10d ? 5.

16 , S 8 = ∴ a8=a6+2d=

8(a1 ? a8 ) =44. 2

(2)∵ a1+a17=a3+a15 , ∴ S17 =
17(a1 ? a17 ) 17(a3 ? a15 ) 17 ? 40 = = =340. 2 2 2

16. 解:(1)∵ a2+a12=a1+a13=2a7 , a2+a7+a12=21 , ∴ 3a7=21 ,即 a 7 =7. ∴ S13 =
13(a1 ? a13 ) 13 ? 2a7 = =91. 2 2 15(a1 ? a15 ) 15 ? 2a8 = =75,∴ a8 =5. 2 2

(2)∵ S15 =

1 1 17.(1)证明:由 Sn= (an+2)2 ,得 Sn-1= (an-1+2)2 ( n ≥2). 8 8 1 1 当 n ≥2 时, a n = S n - S n-1 = (an+2) 2 - (an-1+2)2 , 8 8

整理,得 (an+an-1 )(an-an-1-4)=0 . ∵ 数列 ?an ? 为正整数数列,∴ an ? an-1 ? 0, ∴ an-an-1=4 ,即 ?an ? 为等差数列. 1 1 (2)解:∵ S1 = (a1+2) 2 ,∴ a1 = (a1+2) 2 .解得 a1 =2. 8 8 ∴ a n =2+4( n -1)= 4n -2. 1 1 ∴ bn = a n -30= (4 n -2)-30= 2n -31. 2 2 令 bn ? 0,得 n ? 31 , 2
6

∴ S15 为前 n 项和的最小值,即 S15=b1+b2+ +b15 =2(1+2+…+15)-15×31=-225. 18.解:(1)设 n 分钟后相遇,则 2n +
n(n ? 1) + 5n =70, 2

整理,得 n2+13n-140=0 .解得 n =7 或 n =-20(舍去). 故甲、乙开始运动 7 分钟后相遇. (2)设 n 分钟后第二次相遇,则 2n +
n(n ? 1) + 5n =3×70. 2

整理,得 n 2+13n-420=0 .解得 n =15 或 n =-28(舍去). 故开始运动 15 分 钟 后第二次相遇. 19.解:(1)当 n =1 时, a1=S1 =-14; 当 n ≥2 时, an=Sn-Sn-1 =2 n -8, 故 an = ?
? ?14( n ? 1), ? 2n ? 8( n ? 2).

(2)由 a n =2 n -8 可知:当 n ≤4 时, a n ≤0;当 n ≥5 时, an ? 0 . ∴ 当 1≤ n ≤4 时, Tn=-Sn=-n2+7n+8 ; 当 n ≥5 时, Tn=-S4+(Sn-S4 )=Sn-2S4=n2-7n-8-2 ? (-20)=n2-7n+32 ,
2 ?? ? n ? 7n ? 8(1 ? n ? 4), ∴ Tn = ? 2 ? ?n ? 7n ? 32(n ? 5).

7


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