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人教版高中数学(必修3)1.3《算法案例》

时间:2012-02-16


普通高中课程标准试验教科书 人 章 A 法 法 初 必 修 一 算 案 步 第1.3教 算 版 数 学例

3

数学组

引入
韩信是秦末汉初的著名军事家。 韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉 高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场, 高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场,刘邦问 韩信有什么办法,不要逐个报数, 韩信有什么办法,不要逐个报数,说能知道场 上士兵的人数。 上士兵的人数。 韩信先令士兵排成三列纵队进行操练, 韩信先令士兵排成三列纵队进行操练,结果有 2人多余 接着他下令将队形改为 列纵队,这一 人多余;接着他下令将队形改为 列纵队, 人多余 接着他下令将队形改为5列纵队 又多出3人 随后他又下令改为7列纵队 列纵队, 改,又多出 人;随后他又下令改为 列纵队, 这一次又剩下2人无法成整列。 这一次又剩下 人无法成整列。 人无法成整列 在场的人都哈哈大笑, 在场的人都哈哈大笑,以为韩信用无法清点出准 确的人数,不料笑声刚落, 确的人数,不料笑声刚落,韩信便高声报告共有 士兵2333人。 士兵 人 众人听了一愣, 众人听了一愣,不知韩信用什么办法 这么快就 能得出正确结果。你想知道吗? 能得出正确结果。你想知道吗?

问题情境

韩信点兵 孙子问题

问题情境

韩信点兵
士兵排成3列纵队进行操练,结果有 人多余 人多余; 士兵排成 列纵队进行操练,结果有2人多余; 列纵队进行操练 若排成5列纵队进行操练,结果有 人多余 人多余; 若排成 列纵队进行操练,结果有3人多余; 列纵队进行操练 若排成7列纵队进行操练,结果有 人多余 人多余. 若排成 列纵队进行操练,结果有2人多余 列纵队进行操练

2333

问题情境
物不知数” 孙子问题(“物不知数”)

今有物不知数,三三数之剩二, 今有物不知数,三三数之剩二, 五五数之剩三,七七数之剩二, 五五数之剩三,七七数之剩二, 问物几何? 问物几何? 答曰:二十三. 答曰:二十三
——《孙子算经》 ——《孙子算经》

学生活动
韩信点兵、 韩信点兵、孙子问题相当于
?m = 3x + 2 求关于x,y,z的不定方程组:?m = 5 y + 3 的正整数解 的不定方程组: 的正整数解. 求关于 的不定方程组 ? ?m = 7 z + 2 ?

“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等等 鬼谷算” 鬼谷算 隔墙算” 剪管术” 秦王暗点兵”

中国剩余定理

建构数学

算法设计思想: 算法设计思想:

首先,让 开始检验条件, 首先 让m=2开始检验条件 若三个条件中有一个不满足 开始检验条件 若三个条件中有一个不满足, 递增1,一直到同时满足三个条件为止 则m递增 一直到同时满足三个条件为止 递增 一直到同时满足三个条件为止. 除余2, 除余 除余3, 除余 除余1,不符; 如m=8,被3除余 ,5除余 ,7除余 ,不符; , 除余 除余0,不符; 如m=9,被3除余 ,不符; , 除余 =10, 3除余 不符; 除余1, 如m=10,被3除余1,不符; 可验证得: 可验证得:m=23 韩信何以很快知道队伍的人数? 韩信何以很快知道队伍的人数?

何种结构能依次检索正整数? 何种结构能依次检索正整数? 循环结构何时结束? 循环结构何时结束?
2333=23+22×105 ×

满足条件的m还有其它的解吗? 满足条件的 还有其它的解吗? 还有其它的解吗
23+105 23+2×105 × 23+3×105…都是本问题的解 × 都是本问题的解. 都是本问题的解

〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解:8251=6105×1+2146; 6105=2146×2+1813; 2146=1813×1+333; 1813=333×5+148; 333=148×2+37; 则37为8251与6105的最大公约数。 148=37×4+0. 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。

练习:利用辗转相除法求下列两数的最大公约数. 练习:利用辗转相除法求下列两数的最大公约数. (1)225与 (1)225与135 解:(1)225=135×1+90 × 135=90×1+45 × 90=45×2 × 显然45是 和 的 显然 是90和45的 最大公约数, 最大公约数,也就 是225和135的最大 和 的最大 公约数 (2)4081与 (2)4081与20723 (2)20723=4081×5+318; × 4081=318×12+265; × 318=265× 318=265×1+53; 265=53×5+0. × 显然53是 和 的最大公 显然 是90和45的最大公 约数,也就是225和135的 约数,也就是 和 的 最大公约数

你能根据辗转相除法的算法步骤画出它的 程序框图以及相应的程序语句吗? 程序框图以及相应的程序语句吗? 辗转相除法求两个数的最大公约数, 辗转相除法求两个数的最大公约数, 程序: 程序: INPUT m,n
输入: 输入:m,n 开始

r=1 其算法可以描述如下: 其算法可以描述如下:
r=m MOD n 输入两个正整数m和 ; ① 输入两个正整数 和n; WHILE r<>0

INPUT “m,n=”;m,n , DO

r=m MOD n m=n 求余数r:计算 除以n,将所得余数存放到变量r中 ② 求余数MOD n 除以 ,将所得余数存放到变量 中; m=n r=m :计算m除以 n=r m=n n=r 更新被除数和余数:m=n,n=r。 ③更新被除数和余数:m=n,n=r。 LOOP UNTIL r=0 PRINT m N n=r 判断余数r是否为0:若余数为0则输出结果,否则转 则输出结果, ④判断余数r是否为 :若余数为 END 则输出结果 r=0? Y WEND 向第②步继续循环执行。 向第②步继续循环执行。 输出: 输出:m PRINT m ,直到得到结果。 如此循环, 如此循环 直到得到结果。 END
结束


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