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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时2 范围、最值问题 文

时间:2016-05-28


课时 2
题型一 范围问题

范围、最值问题
3 ,点 M 3

例 1 (2015·天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 4 3 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c,FM= . 4 3
2 2

x2 y2 a b

b2

(1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

c 1 解 (1)由已知有 2= , a 3
又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c . 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有? 解得 k=
2 2 2 2 2 2 2

2

? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +? ? =? ? , 2 ? k +1? ?2? ?2?

3 . 3
2 2

x y 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1, 直线 FM 的方程为 y= (x+c), 两个方程联立, 消去 y, 3c 2c 3
5 2 2 整理得 3x +2cx-5c =0,解得 x=- c 或 x=c. 3

? 2 3 ? 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 ? ?
由 FM= ?c+c? +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 3 ? ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=

y ,即直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立. x+1

y=t?x+1?, ? ? 2 2 ?x y + =1, ? ?3 2
又由已知,得 t=

消去 y,整理得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

6-2x 2> 2, 3?x+1?

2

1

3 解得- <x<-1,或-1<x<0. 2

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0, ? 2 ?
因此 m>0,于是 m= 2

x2 3

2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. 3 ? ?3

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 3? ? 得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ? 2 3? ? 2 2 3 ? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ?3 3 ? ? 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面: (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关 系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数, 求其值域, 从而确定参数的取 值范围. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的垂直平分 线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由已知得:a= 3,c=2, 又 a +b =c ,得 b =1, ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3
2 2 2 2

2 - , x 3
2

2

x2 y2 a b

x2

2

y=kx+m, ? ? 2 (2)联立?x 2 -y =1, ? ?3
2

整理得(1-3k )x -6kmx-3m -3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,
?1-3k ≠0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ =12?m +1-3k ?>0,
2

2

2

2

1 2 2 2 可得 m >3k -1 且 k ≠ ,① 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0), 6km x1+x2 3km 则 x1+x2= = 2,∴x0= 2, 1-3k 2 1-3k ∴y0=kx0+m= 2. 1-3k 由题意,AB⊥MN,
2+1 1-3k 1 ∴kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 2 1-3k

m

m

整理得 3k =4m+1,② 将②代入①,得 m -4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 2 又 3k =4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4
2

2

? 1 ? ∴m 的取值范围是?- ,0?∪(4,+∞). ? 4 ?
题型二 最值问题 命题点 1 利用三角函数有界性求最值 例 2 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则 AF·BF 的最小值是________. 答案 4 解析 设直线 AB 的倾斜角为 θ ,可得 AF = 2 2 , BF = ,则 AF·BF = 1-cos θ 1+cos θ
2

2 2 4 · = ≥4. 2 1-cos θ 1+cos θ sin θ 命题点 2 数形结合利用几何性质求最值 例 3 (2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点.若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为_________________. 答案 2 2
2 2 2 2

解析 双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行,故
3

两平行线的距离 d=

|1-0| 1 +?-1?
2

2



2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立, 得 2

c≤

2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2

命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例 4 设椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率与双曲线 x -y =1 的离心率互为倒数,且椭圆 的长轴长为 4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆 M 于 A,B 两点,P(1, 2)为椭圆 M 上一点,求△PAB 面积的最 大值. 解 (1)双曲线的离心率为 2, 则椭圆的离心率 e= = 2a=4, ? ?c 2 由? = , a 2 ? ?b =a -c
2 2

y2 x2 a b

2

2

c a

2 , 2

2

?a=2, ? ?c= 2, ?b= 2,
y2 x2

故椭圆 M 的方程为 + =1. 4 2

? ?y= 2x+m, (2)由?x2 y2 + =1, ? ?2 4
2 2

得 4x +2 2mx+m -4=0,

2

2

由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2. ∵x1+x2=- 2 m -4 m,x1x2= , 2 4
2 2

∴AB= 1+2|x1-x2|= 3· ?x1+x2? -4x1x2 = 3· 1 2 m -m2+4= 3· 2 4- . 2

m2

|m| 又 P 到直线 AB 的距离 d= , 3 1 1 则 S△PAB= ·AB·d= · 3· 2 2 = 1 2
2 ? m? 1 m2?4- ?=

m |m| 4- · 2 3

2

?

2?

2 2

m2?8-m2?

4



1 2 2

·

m2+?8-m2?
2

= 2,

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)时取等号, ∴(S△PAB)max= 2. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何 法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用 代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利 用函数方法、不等式方法等进行求解. (1)已知焦点为 F 的抛物线 y =4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2, 则 AB 的最大值 为________. 答案 6 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4, 那么 AF+BF=x1+x2+2, 又 AF+BF≥AB? AB≤6,当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6. (2)(2014·北京)已知椭圆 C:x +2y =4. ①求椭圆 C 的离心率; ②设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小 值. 解 ①由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

c a

2 . 2

②设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=- 又 x0+2y0=4, 所以 AB =(x0-t) +(y0-2) 2y0?2 ? 2 =?x0+ ? +(y0-2)
2 2 2 2 2

2y0 .

x0

?

x0 ?

4y0 2 2 =x0+y0+ 2 +4

2

x0

5

=x0+
2

2

4-x0 2?4-x0? + +4 2 x2 0

2

2

x0 8 2 = + 2+4(0<x0≤4). 2 x0
8 2 2 2 因为 + 2≥4(0<x0≤4),当且仅当 x0=4 时等号成立,所以 AB ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.

x2 0

[方法与技巧] 1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的 范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表 示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把 多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围. 2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线 中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用 图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立 起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. [失误与防范] 1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时,要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系, 特殊位置的应用.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是________. 答案 [-1,1] 解析 Q(-2,0), 设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 代入抛物线方程, 消去 y 整理得 k x +(4k -8)x+4k =0,
6
2 2 2 2 2

由 Δ =(4k -8) -4k ·4k =64(1-k )≥0, 解得-1≤k≤1.

2

2

2

2

2

x y → → → → 2.已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足|OM|=1,且OM·PM=0,则当|PM|取得最 9 16
小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为________. 答案 12 5

2

2

→ → 解析 由OM·PM=0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求 MP 的最小值可以转化为求 OP 的最小值, 当 OP 取得最小值时,点 P 的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为 4x±3y=0, 12 ∴所求的距离 d= . 5 3.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +2 有公共点,则此双曲线的离心 率的取值范围是________. 答案 [3,+∞) 解析 依题意可知双曲线渐近线方程为 y=± x, 与抛物线方程联立消去 y 得 x ± x+2=0. ∵渐近线与抛物线有交点, ∴Δ = 2-8≥0,求得 b ≥8a , ∴c= a +b ≥3a,∴e= ≥3. → → 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中点和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则OP·FP的 9 8 最小值为________. 答案 6 解析 点 P 为椭圆 + =1 上的任意一点,设 P(x,y)(-3≤x≤3,-2 2≤y≤2 2),依 9 8 → → → → 2 2 题意得左焦点 F(-1,0),∴OP=(x,y),FP=(x+1,y),∴OP·FP=x(x+1)+y =x +x +
2 72-8x 1 ? 9?2 23 3 9 15 9 ? 9?2 225 = ·?x+ ? + .∵-3≤x≤3,∴ ≤x+ ≤ ,∴ ≤?x+ ? ≤ , 9 9 ? 2? 4 2 2 2 4 ? 2? 4 2 2

x2 y2 a b

2

b a

2

b a

b2 a

2

2

c a

x2 y2

x2 y2

1 1? 9?2 225 1 ? 9?2 23 → → ∴ ≤ ?x+ ? ≤ ,∴6≤ ·?x+ ? + ≤12,即 6≤OP·FP≤12.故最小值为 6. 2? 4 9? 2? 36 9 ? 4 5.已知椭圆 C1: - =1 与双曲线 C2: + =1 有相同的焦点,则椭圆 C1 的离心率 e1 的 m+2 n m n

x2

y2

x2 y2

取值范围为________.

7

答案 (

2 ,1) 2 - =1, m+2 n
2 2

解析 ∵椭圆 C1:
2 2

x2

y2

∴a1=m+2,b1=-n,c1=m+2+n,e1=

m+2+n n x2 y2 2 = 1+ .∵双曲线 C2: + =1,∴a2= m+2 m+2 m n
1

2 2 m,b2 .由 m>0 得 m 2=-n,c2=m-n,∴由条件有 m+2+n=m-n,则 n=-1,∴e1=1- m+2

+2>2, ∴1-

1

m+2 2

1 1 1 < ,- >- , m+2 2

1

m+2 2

1 2 2 1 > ,即 e1> ,而 0<e1<1,∴ <e1<1. 2 2
2

6.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y =4x 上相异两点,且满足 x1+x2=2. (1)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2),求直线 AB 的方程; (2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M,求△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程. 解 (1)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入方程 y =4x,得:k x +(2kb-4)x+b =0, 4-2kb 2 ∴x1+x2= =2,得 b= -k, 2
2 2 2 2

k

k

2 ∴直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+ ,

k

? 2? ∵AB 中点的横坐标为 1,∴AB 中点的坐标为?1, ?, ?
k?
1 2 1 3 ∴AB 的中垂线方程为 y=- (x-1)+ =- x+ .

k

k

k

k

3 3 ∵AB 的中垂线经过点 P(0,2),故 =2,得 k= , k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y= x- . 2 6 1 3 (2)由(1)可知 AB 的中垂线方程为 y=- x+ ,

k

k

∴点 M 的坐标为(3,0), ∵直线 AB 的方程为 k x-ky+2-k =0, |3k +2-k | 2 k +1 ∴M 到直线 AB 的距离 d= = , |k| k4+k2 由?
?k x-ky+2-k =0, ? ? ?y =4x
2 2 2 2 2 2 2 2

得 y -ky+2-k =0, 4

k2

2

2

8

2 4 8-4k y1+y2= ,y1·y2= 2 , k k

AB=

1 4 1+k k -1 1+ 2|y1-y2|= . 2

2

2

k

k

? 1? ∴S△MAB=4?1+ 2? ?
k?

1 1- 2,设

k

1 1- 2=t,则 0<t<1,

k

S△MAB=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′△MAB=-12t2+8,
由 S′△MAB=0,得 t= 6 , 3

16 6 即 k=± 3时,(S△MAB)max= , 9 此时直线 AB 的方程为 3x± 3y-1=0. 1 7.如图,已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3),且它的离心率 e= . 2

(1)求椭圆的标准方程; → 2 2 (2)与圆(x-1) +y =1 相切的直线 l: y=kx+t 交椭圆于 M, N 两点, 若椭圆上一点 C 满足OM → → +ON=λ OC,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 a b

a b ? ? 由已知得:?c 1 = , a 2 ? ?c =a -b ,
4
2

3 + 2=1,

? ?a =8, 解得? 2 ?b =6, ?

2

2

2

2

所以椭圆的标准方程为 + =1. 8 6 (2)因为直线 l:y=kx+t 与圆(x-1) +y =1 相切, 所以 |t+k| 1+k
2 2 2

x2 y2

1-t =1? 2k= (t≠0),

2

t

把 y=kx+t 代入 + =1 并整理得: 8 6

x2 y2

9

(3+4k )x +8ktx+(4t -24)=0, 8kt 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1+x2=- 2, 3+4k

2

2

2

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=
→ 因为 λ OC=(x1+x2,y1+y2), 所以 C? 6t ? -8kt ?, , 2 2 ? ??3+4k ?λ ?3+4k ?λ ?

6t 2, 3+4k

又因为点 C 在椭圆上,所以, 8k t 6t 2 2 2+ 2 2 2=1 ?3+4k ? λ ?3+4k ? λ 2t 2 2 ?λ = , 2= 3+4k ? 1 ?2 1 + + 1 ? 2? 2
2 2 2 2

?t ?

t

? 1 ?2 1 2 因为 t >0,所以? 2? + 2+1>1, ?t ?
t
所以 0<λ <2,所以 λ 的取值范围为(- 2,0)∪(0, 2). B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 8.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. (1)若 e= 3 ,求椭圆的方程; 2
2

x2 y2 a b

2 3 → → (2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,若AF2·BF2=0,且 <e≤ ,求 k 的取值范围. 2 2 解 (1)由焦点 F2(3,0),知 c=3, 又 e=
2

3 c = ,所以 a=2 3. 2 a
2 2 2

又由 a =b +c ,解得 b =3. 所以椭圆的方程为 + =1. 12 3

x2

y2

y=kx, ? ? 2 2 (2)由?x y 2+ 2=1, ? ?a b

得(b +a k )x -a b =0.

2

2 2

2

2 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知,

a2b2 x1+x2=0,x1x2=- 2 2 2. b +a k
10

→ → 又AF2=(3-x1,-y1),BF2=(3-x2,-y2), → → 所以AF2·BF2=(3-x1)(3-x2)+y1y2 =(1+k )x1x2+9=0, 即 -a ?a -9??1+k ? +9=0, a2k2+?a2-9?
2 2 2 2 2

整理得 k = 由

a4-18a2+81 81 . 4 2 =-1- 4 -a +18a a -18a2

2 3 <e≤ 及 c=3, 2 2
2

知 2 3≤a<3 2,12≤a <18. 所以 a -18a =(a -9) -81∈[-72,0), 1 2 2 2 所以 k ≥ ,则 k≥ 或 k≤- , 8 4 4 因此实数 k 的取值范围为?-∞,-
4 2 2 2

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 4? ? 4 ?

1 5 2 9.如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, )到抛物线 C:y =2px(p>0)的准线的距离为 . 2 4 点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上.

(1)求曲线 C 的方程及 t 的值; (2)记 d=
2

AB
1+4m

2

,求 d 的最大值.

解 (1)y =2px(p>0)的准线为 x=- , 2

p

p 5 1 ∴1-(- )= ,p= , 2 4 2
∴抛物线 C 的方程为 y =x. 又点 M(t,1)在曲线 C 上,∴t=1. (2)由(1)知,点 M(1,1),从而 n=m,即点 Q(m,m), 依题意,直线 AB 的斜率存在,且不为 0, 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0), 且 A(x1,y1),B(x2,y2),
11
2

?y1=x1, ? 由? 2 ?y2=x2, ?

2

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

故 k·2m=1, ∴直线 AB 的方程为 y-m= 即 x-2my+2m -m=0.
? ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 ?y =x ?
2 2 2 2

1 (x-m), 2m

消去 x,

整理得 y -2my+2m -m=0, ∴Δ =4m-4m >0,y1+y2=2m,y1y2=2m -m. 从而 AB=
2 2 2

1 1+ 2·|y1-y2|

k

= 1+4m · 4m-4m
2

2

=2 ?1+4m ??m-m ?. ∴d=

2

AB
1+4m

2

=2 m?1-m?≤m+(1-m)=1,

1 当且仅当 m=1-m,即 m= 时,上式等号成立, 2 1 2 又 m= 满足 Δ =4m-4m >0.∴d 的最大值为 1. 2

12


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