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人教A版高中数学【选修2-1】3.2第3课时同步练习(含答案)

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第3章 3.2 第 3 课时 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.如图,正棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( A. C. 1 5 3 5 ) B. D. 2 5 4 5 解析: 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,设 AB=1. 则 B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2) A1B=(0,1,-2),AD1=(-1,0,2) → → A1B·AD1 → → cos〈A1B,AD1〉= → → |A1B|·|AD1| = 4 =- 5 5· 5 -4 → → 4 ∴异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ,故选 D. 5 答案: D 2.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( A. C. 6 3 2 3 B. D. 3 3 1 3 ) 解析: 设正三棱锥 P-ABC,PA,PB,PC 两两互相垂直,设 PA=PB=PC=a. 取 AB 的中点 D,连结 PD、CD,易知∠PDC 为侧面 PAB 与底面 ABC 所成的角. 易求 PD= 2 6 a,CD= a, 2 2 故 cos∠PDC= = 答案: B PD DC 3 . 3 3.若平面 α 的一个法向量 n=(2,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(1,2,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为( A. 17 6 21 6 ) B. 21 6 21 3 C.- D. a·n 解析: cos〈a,n〉= |a||n| = ?1,2,3?·?2,1,1? 1+4+9· 2 +1+1 2+2+3 21 = . 6 14×6 2 = 答案: B 4.二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂 直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为( A.150° C.60° B.45° D.120° ) → → → → → → → → 解析: 由条件,知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD. → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → ∴|CD| =|CA| +|AB| +|BD| +2CA·AB+2AB·BD → → → → 2 2 2 2 +2CA·BD=6 +4 +8 +2×6×8cos?CA,BD?=(2 17) , 1 → → → → ∴cos?CA,BD?=- ,?CA,BD?=120°, 2 ∴二面角的大小为 60°.故选 C. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值是________. 解析: 如图,以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系, 取正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1), → 易证AC1是平面 A1BD 的一个法向量. AC1=(-1,1,1),BC1=(-1,0,1). → → 1+1 6 → → cos〈AC1,BC1〉= = . 3 3× 2 所以 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 答案: 6 3 6 . 3 6.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 A-BD-C 的余弦值为________. 解析: 取 BC 中点 O,连结 AO,DO. 建立如右图所示坐标系, 设 BC=1,则 A?0,0, ? ? 1 ? ? 3 3? ? ? ?,B?0,-2,0?,D? ,0,0?. ? ?2 2? ? ? 3? → ? 1 3? → ? ∴OA=?0,0, ?,BA=?0, , ?, 2? ? ? 2 2? → BD=? ? 3 1 ? , ,0?. ?2 2 ? 3? → ? 由于OA=?0,0, ?为面 BCD 的法向量, 可进一步求出面 ABD 的一个法向量 n=(1, - 3, 2? ? 1), 5 → ∴cos〈n,OA〉= . 5 答案: 5 5 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2,E,F 分别是线段 AB、BC 上 的点,且 EB=BF=1,求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值 → → → 解析: 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1分别为 x 轴、y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则有 D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2), → → 于是EC1=(-3,1,2),FD1=(-2,-4,2), → → 设EC1与FD1所成的角为 β , → → |EC1·FD1| 21 则 cos β = = , → → 14 |EC1||FD1| 所以直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 21 . 14 8.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4,E 为 BC 的中点, F 为 CC1 的中点. (1)求 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值; (2)求二面角 F-DE-C 的余弦值. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0),A(2,0,0), C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2). → (1)EF=(-1,0,2),易得平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1), → EF·n 2 → 设EF与 n 的夹角为 θ ,则 cos θ = = 5, → 5 |EF||n| ∴EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 → → (2)EF=(-1,0,2),DF=

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