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安徽省宿松县2016_2017学年高中数学2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理教案文新人教A版选修2_2

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2.1.1 合情推理
1 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义, 教学 目标 教学 重、 难点 教学 直尺 准备 一、新课引入: 1. 哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, … … , 50=13+37, … … , 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成 两个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解, 成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润,证明 了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和, 数学上 把它称为“1+2”. 2. 费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年 教学 过程 通 过 对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 , F1 ? 22 ? 1 ? 5 , F2 ? 22 ? 1 ? 17 , 发现其结果都是素数, F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察, 于是提出猜想:对所有的自然数 n ,任何形如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素 数 .
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n 3 4 0 1 2

2 能利用归纳进行简单的推理, 3 体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 重点:能利用归纳和类比进行简单的推理. 难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想.

























推翻费马猜 F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数, 想. 3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来 到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象: “每幅 地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜 色.” ,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿 佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用

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1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推 理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一 般的推理. ② 归纳练习: (i)由铜、 铁、 铝、 金、 银能导电, 能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归 纳出什么结论? (iii) 观 察 等 式 :

1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样
的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体, 是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科 学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: ① 出 示 例 题 : 已 知 数 列
an ?1 ?

?an ?

的 第 1 项 a1 ? 2 , 且

an (n ? 1, 2, ) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推 公式变形,再构造新数列) ② 思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,

再证明 n=k+1 时命题也成立. 由这两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关系) ③ 练习:已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测
f (n) 的表达式.

3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般;②典 型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列通项公式的归纳.

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1. 练习:已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,
(ii ) (a1 ? a2 )(

, n) ,考察下列式子: (i ) a1 ?

1 ?1; a1

1 1 1 1 1 ? ) ? 4 ; (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . 我们 a1 a2 a1 a2 a3

可以归纳出,对 a1 , a2 , 2. 猜想数列

, an 也成立的类似不等式为

. .

1 1 1 1 ,? , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9

的通项公式是

3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理, 发明潜水艇;地球上有生命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太 阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生 物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即 类比推理.

1. 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之, 类比推理是 由特殊到特殊的推理. ② 类比练习: (i)圆有切线, 切线与圆只交于一点, 切点到圆心的距离等于半径. 由 此结论如何类比到球体? (ii)平面内不共线的三点确定一个圆, 由此结论如何类比得到空间的 结论? (iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P81 探究 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. ③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比 思维. 2. 教学例题 ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质 . (得到如下表格) 类比角度 运算结果 实数的加法 若 a, b ? R, 则
a ? b? R

实数的乘法 若 a, b ? R, 则
ab ? R

3

运算律

a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

ab ? ba (ab)c ? a (bc )

加法的逆运算是减 逆运算 法,使得方程
a ? x ? 0 有唯一解

乘法的逆运算是除 法,使得方程 ax ? 1 有唯一解 x ?
a ?1 ? 1

x ? ?a
单位元
a?0?a

1 a

② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四 面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ?C ? 900 ,3 条边的长度 a , b, c ,2 条直角 边 a , b 和 1 条斜边 c ; → 3 个面两两垂直的四面体中, ?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900 , 4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展:三角形到四 面体的类比. 3. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分 析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为 合情推理.

板 书 设计

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课 后 反思

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