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人教A版数学必修四《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案

时间:2015-11-20


§ 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法, 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:
cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

这是两角和与差的余弦公式, 下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎 样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我 们解决今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?

让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学 生动手)
tan ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式 分子、分母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ? 注意: ? ? ? ?
tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?
tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

(二)例题讲解

?? 3 ?? ? ?? ? ? 例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的 4? 5 ?4 ? ?4 ? ?
值.
4 3 ? 3? 解:因为 sin ? ? ? ,? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 5 ? 5?
2

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ??? ? ? 于是有 sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
两结果一样,我们能否用第一章知识证明?
3 ? ?1 ?? ? 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ?7 4 ? 1 ? tan ? tan ? ? 3? ? 1? ? ? ? 4 ? 4? tan ? ? tan

?

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sn7 c s4 c s7 ?sn4 、 i 2 o? 2 o? 2 i 2
1 ?tn1 a 5 1 ?tn1 a 5
? ?

?

?

; (2) c s2 c s7 sn? 0?i 7 、 o 0 o? 0 i 2 sn 0

?

?

; (3) 、



解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角 和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. (1)、 sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42? ? sin ? 72? ? 42? ? ? sin 30? ?
1 ; 2

(2)、 cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? ? cos ? 20? ? 70? ? ? cos 90? ? 0 ; (3)、
1 ? tan15? tan 45? ? tan15? ? ? tan ? 45? ? 15? ? ? tan 60? ? 3 . ? ? ? 1 ? tan15 1 ? tan 45 tan15

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发 现规律呢?
?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ? 2 2 ? sin 30? cos x ? cos 30 ? sin x ? ? 2 2 sin ?30? ? x ? ?2 ? 2 ? ?

思考:2 2 是怎么得到的? 2 2 ? 余弦分别等于
3 1 和 的. 2 2

? 2? ?? 6?
2

2

, 我们是构造一个叫使它的正、

小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在 解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. 作业:
2 ?? 1 3 ?? ? ? 1、 已知 tan ?? ? ? ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值.( ) 5 4? 4 4? 22 ? ?

2、 已



0? ?

?

? 4

? ?? ?

3 ? ? ??c , 4 ?

o

? ? 3 s?? ?
4 ?

?3 ? ? 5 ? , s ?i? ,? 求 ? n ? 5 ? 4 ? 1 3

sin ?? ? ? ? 的值.


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