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2015届高考数学一轮总复习 8-6抛物线

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2015 届高考数学一轮总复习 8-6 抛物线
基础巩固强化 一、选择题 1.(文)(2013· 江西吉安模拟)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为( A.y2=8x C.x2=8y [答案] C [解析] 由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,因此点 P 到点 F(0,2) 的距离与到直线 y+2=0 的距离相等,故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,y=-2 为准线的抛物线,∴P 的轨迹方程为 x2=8y.选 C. (理)(2013· 东北三校模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3, y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| [答案] C p p p p [解析] 抛物线的准线方程为 x=- , 由定义得|FP1|=x1+ , |FP2|=x2+ , |FP3|=x3+ , 则|FP1| 2 2 2 2 p p +|FP3|=x1+ +x3+ =x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由 2x2=x1+x3,得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故选 C. 2 2 x2 y2 2.(文)抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 - =1 的渐近线的距离为( 12 4 A.1 C. 3 3 B. 3 D. 3 6 ) ) D.x2=-8y ) B.y2=-8x

B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 D.|FP2|2=|FP1|· |FP3|

[答案] A x2 y2 3 [解析] 抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0)到双曲线 - =1 的渐近线 y=± x 的距离 d=1. 12 4 3 x2 y2 1 (理)设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆 m n 2 的方程为(
2 2

) x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

x y A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64 [答案] B

[解析] 抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),

1

m -n =4, 2 ? ? ? ?m =16, ? 由条件得? 2 1 ∴ 2 故选 B. ?n =12. ? ?m=2. ? 3.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的 圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) [答案] C [解析] 设圆的半径为 r, 因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程 y=-2.圆与准线相切时半径
2 为 4.若圆与准线相交则 r>4.又因为点 M(x0,y0)为抛物线 x2=8y 上一点,所以有 x0 =8y0.又点 M(x0, 2 2 2 2 y0)在圆 x2+(y-2)2=r2 上.所以 x2 0+(y0-2) =r >16,所以 8y0+(y0-2) >16,即有 y0+4y0-12>0,

2

2

)

B.[0,2] D.[2,+∞)

解得 y0>2 或 y0<-6(舍), ∴y0>2.故选 C. 4.(2013· 安徽省级示范高中联考)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上的 → 一点,FA与 x 轴正方向的夹角为 60° ,则△OAF 的面积为( A. 3 2 B.2 D.1 )

C. 3

[答案] C [解析] 由题意知, F(1,0), 过 A 作 AD⊥x 轴于 D.令|FD|=m, 则|FA|=2m, 由抛物线的定义知|AF| =p+|FD|=2+m=2m,即 m=2,所以|AD|=2 3, 1 1 S△OAF= |OF|· |AD|= ×1×2 3= 3. 2 2 5.(文)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C. 2 [答案] A p [解析] 抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16 是圆 2 p p 心为(3,0),半径为 4 的圆,依题意有| +3|=4.因为 p>0,所以有 +3=4,解得 p=2,故选 A. 2 2 → → (理)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4,则点 A 的坐标为( ) B.(1,± 2)
2

)

B.1 1 D. 4

A.(2,± 2 2) C.(1,2)

D.(2,2 2)
2

[答案] B [解析] 设点 A 的坐标为(x0,y0),∴y2 0=4x0① → → →
2 ∵OA· AF=-4,∴x0-x2 0-y0=-4,②



又 F(1,0),∴OA=(x0,y0),AF=(1-x0,-y0),

?x0=1, ?x0=1, ? ? 解①②组成的方程组得? 或? ? ? ?y0=2, ?y0=-2.

[点评] 向量与解析几何相结合,向量往往要化为坐标的形式. 6.(文)(2013· 武汉市部分学校联考)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两 点,它们到直线 x=-2 的距离之和等于 7,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 [答案] B [解析] 抛物线 y2=4x 的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为 4,由抛物线的定义及题设条件 知,|AB|=7-2=5>4,故这样的直线有且仅有两条. (理)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 11 C. 5 B.3 37 D. 16 ) B.有且仅有两条 D.不存在 )

[答案] A [解析] 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到 抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P,使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin= A. 二、填空题 7.(2013· 辽宁大连一模)已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F, A 点的坐标为(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是________. [答案] 25 4 |4-0+6| =2,故选 5

[解析] 由 y2=8x 知 2p=8,∴p=4,则点 F 的坐标为(2,0). 由题设可知,直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-2),点 A,B 的坐标分别为(8,8),(xB, yB). 又点 A(8,8)在直线 l 上,∴8=k(8-2), 4 解得 k= . 3
3

4 ∴直线 l 的方程为 y= (x-2).① 3 将①代入 y2=8x,整理得 2x2-17x+8=0, 则 8+xB= 17 1 ,∴xB= . 2 2

∴线段 AB 的中点到准线的距离是 xA+xB p 17 25 + = +2= . 2 2 4 4 1 [解法探究] 求得 xB= 后,进一步可得 yB=-2, 2 ∴|AB|= 25 . 2

1 1 25 ∴AB 的中点到准线距离 d= (|AF|+|BF|)= |AB|= . 2 2 4 1 8.(2013· 甘肃天水调研)已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的 4 坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________. [答案] [解析] 5-1

1 如图, 抛物线 y= x2, 即 x2=4y 的焦点 F(0,1), 记点 P 在抛物线的准线 l: y=-1 上的射影为 P′, 4 根据抛物线的定义知,|PP′|=|PF|, 则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|= 22+12= 5. 所以(|PA|+|PM|)min =(|PA|+|PP′|-1)min= 5-1. 1 9.(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2m 时,测量水面宽为 8m,当水面上升 m 后,水面 2 的宽度是________m. [答案] 4 3 [解析]

4

建立平面直角坐标系如图,设开始时水面与抛物线的一个交点为 A,由题意可知 A(4,-2),故 1 3 可求得抛物线的方程为 y=- x2,设水面上升后交点为 B,则点 B 的纵坐标为- ,代入抛物线方程 8 2 1 y=- x2 可求出 B 点的横坐标为 2 3,所以水面宽为 4 3m. 8 (理)(2012· 陕西理,13)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2m,水面宽 4m,水位 下降 1m 后,水面宽________m.

[答案] 2 6 [解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用.

如图建立坐标系 设方程 x2=-2py(p>0),由题意知点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1, 则方程为 x2=-2y,当 y=-3 时,x=± 6, 所以水面宽 2 6m. [点评] 抛物线方程在实际问题中的应用, 关键是合理建立平面直角坐标系, 还要注意数据的实 际意义. 三、解答题 1 10.(2013· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中,点 M(2,- ),点 F 在抛物线 C:y=mx2(m>0) 2 的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分.
5

(1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,设直线 FA、FM、FB 的斜率分别为 k1、k2、k3, 问 k1、k2、k3 能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 1 1 1 [解析] (1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0, ),线段 MF 的中点 N(1, - )在抛物线 4m 8m 4 C 上, ∴ 1 1 1 1 - =m,8m2+2m-1=0,∴m= (m=- 舍去). 8m 4 4 2

(2)由(1)知抛物线 C:x2=4y,F(0,1). 1 设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2), 2 1 ? ?y+2=k?x-2?, 由? 得 x2-4kx+8k+2=0, ? ?x2=4y, 2- 6 2+ 6 Δ=16k2-4(8k+2)>0,∴k< 或 k> . 2 2
? ?x1+x2=4k, ? ?x1x2=8k+2. ?

假设 k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2. y1-1 y2-1 x2y1+x1y2-x2-x1 而 k1+k3= + = x1 x2 x1x2
2 x2x1 x1x2 x1x2 2 + -x2-x1 ? -1??x1+x2? 4 4 4 = = x1x2 x1x2

8k+2 ? -1?· 4k 4 4k2-k = = , 8k+2 4k+1 4k2-k 3 3 k2=- ,∴ =- ,8k2+10k+3=0, 4 2 4k+1 1 3 解得 k=- (符合题意)或 k=- (不合题意,舍去). 2 4 1 1 ∴直线 l 的方程为 y+ =- (x-2), 2 2 即 x+2y-1=0. ∴k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0. 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F、M(4,4)且与 l 相切的圆共有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个
6

)

[答案] C [解析] 经过 F、M 的圆的圆心在线段 FM 的垂直平分线上,设圆心为 C,则|CF|=|CM|,又圆 C 与 l 相切,所以 C 到 l 距离等于|CF|,从而 C 在抛物线 y2=4x 上. 故圆心为 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,显然有两个交点,所以共有两个圆. (理)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n, 则( ) A.n=0 C.n=2 [答案] C [解析] B.n=1 D.n≥3

y2 y2 1 2 设抛物线上点 A( ,y1),B( ,y2), 2p 2p p 且 y1≠y2,焦点 F( ,0), 2 由|AF|=|BF|得,
2 (y2 1-y2)( 2 2 y2 1+y2+2p )=0, 4p2

∵y1≠y2,∴y1=-y2.∴A、B 关于 x 轴对称. 过点 F 作直线 y= 3 p 3 p (x- ),y=- (x- )分别与抛物线有 2 个交点. 3 2 3 2

∴等边三角形有△AFB 和△A′FB′,2 个,故选 C. 12. (2013· 郑州第一次质量预测)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135° 的直线交抛物线于 A、 B 两点,则弦 AB 的长为( A.4 C.12 [答案] D [解析] 抛物线 y2=8x 的焦点 F 的坐标为(2,0),直线 AB 的倾斜角为 135° ,故直线 AB 的方程为 y=-x+2,代入抛物线方程 y2=8x,得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 AB 的长|AB| =x1+x2+4=12+4=16. B.8 D.16 )

7

x2 13.(2013· 乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域 D 是由双曲线 y2- =1 的两条渐近线和抛物线 y2 4 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x,y)∈D,则 x+y 的最小值为( A.-1 C.1 [答案] B 1 [解析] 由题意知,双曲线的渐近线方程为 y=± x,抛物线的准线方程为 x=2,设 z=x+y,得 2 y=-x+z,平移直线 y=-x 过点 O(0,0)时,直线 y=-x+z 的纵截距最小,故 zmin=0. 二、填空题 → → 14.(文)已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y =-4x 上运动,则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0) y y y y -y - -2,y?,BP=?- -4,y?,AP· - -2??- -4? [解析] 设 P? BP=? ,y?,则AP=? 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? y4 5 +y2= + y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). 16 2 x2 (理)已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2=1 的左 a 顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是________. [答案] 1 9
2 2

)

B.0 D.3



2



2

→ →

2

2

[解析] 根据抛物线定义可得,抛物线准线方程为 x=-4,则抛物线方程为 y2=16x. 把 M(1,m)代入 y2=16x 得 m=4,即 M(1,4). x2 在双曲线 -y2=1 中,A(- a,0),则 a kAM= 4 1 1 = .解得 a= . 9 1+ a a

15.(2013· 辽宁五校联考)设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. [答案] 8 [解析] 分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的 距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. 三、解答题 x2 y2 3 16.(文)若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点在椭圆 4 b 2 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程;
8

(2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2, 4-b2 c 3 由离心率 e= = = 得,b2=1. a 2 2 ∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2), 1 1 ∵y= x2,∴y′= x, 4 2 1 1 ∴切线 l1、l2 的斜率分别为 x1、 x2, 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1·x2=-1,即 x1· x2=-4, 2 2
? ?y=k?x+1?, 由? 2 得 x2-4kx-4k=0, ?x =4y. ?

由 Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1· x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 y=x+1. → → (理)已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x +y =9 上任意两个不同的点,且满足AC· BC=0,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若 存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
2 2

1 [解析] (1)法一:连接 CP,由AC· BC=0 知,AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2

→ →

9

由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,

设点 P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简得,x2-x+y2=4. 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
2 2 2 根据题意知,x2 1+y1=9,x2+y2=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2, 2 2 2 2 ∴4x2=x2 1+2x1x2+x2,4y =y1+2y1y2+y2, 2 2 2 故 4x2+4y2=(x2 1+y1)+(2x1x2+2y1y2)+(x2+y2)=18+2(x1x2+y1y2),①

→ → 又∵AC· BC=0,∴(1-x1,-y1)· (1-x2,-y2)=0, ∴(1-x1)×(1-x2)+y1y2=0,故 x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1, 代入①式得,4x2+4y2=18+2(2x-1), 化简得,x2-x+y2=4. (2)根据抛物线的定义, 到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2=2px 上, p 其中 =1,∴p=2,故抛物线方程为 y2=4x, 2
2 ? ?y =4x, 由方程组? 2 得,x2+3x-4=0, 2 ?x -x+y =4. ?

解得 x1=1,x2=-4, 由于 x≥0,故取 x=1,此时 y=± 2, 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).

考纲要求 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想,了解抛物线的简单应用.
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补充说明 1.由于抛物线的标准方程有四种不同形式,故求抛物线标准方程时,一定要注意区分焦点在哪 个轴上加以讨论.抓准抛物线的开口方向及 p 的几何意义是准确迅速求解的关键. 2.抛物线的焦点弦 涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题,常考虑应用定义求解. (1)若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有如下结论: p2 ①|AB|=x1+x2+p; ②y1y2=-p2; ③x1x2= . 4 p ? p (2)直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F? ?2,0?时,常设 l:x=my+2以简化运算. 3.韦达定理的应用 涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,以避免求交点坐标的复 杂运算. 4.关于抛物线的最值问题 (1)A 为抛物线弧内一定点,F 为焦点,P 为抛物线上任一点,求|PA|+|PF|的最小值问题常用定 义转化,由 A 向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的 P 点. (2)直线 l 与抛物线无公共点,求抛物线上的点到 l 的最小值问题,一般可设出抛物线上的点, 用点到直线距离公式转化为二次函数求最值,或设出与 l 平行且与抛物线相切的直线,转化为两平 行直线间的距离,后者更简便. (3)解题原理:“两点之间线段最短”,“点到直线的垂线段最短”,三点 A、B、C 中,|AB|+ |BC|≥|AC|等. 5.求参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式,将 其代入由题目列出的不等式(消元),然后求解不等式;②由题目条件和结论建立目标函数,进而转化 为求函数的值域. 备选习题 1.(2013· 深圳调研)已知点 P 在直线 x+y+5=0 上,点 Q 在抛物线 y2=2x 上,则|PQ|的最小值 等于________. [答案] 9 2 4

[解析] 设与直线 x+y+5=0 平行且与抛物线 y2=2x 相切的直线方程是 x+y+m=0,则由
?x+y+m=0 ? 1 ? 2 消去 x 得 y2+2y+2m=0,令 Δ=4-8m=0,得 m= ,因此|PQ|的最小值等于直线 x 2 ?y =2x ?

1 |5- | 2 9 2 1 +y+5=0 与直线 x+y+ =0 之间的距离,即等于 = . 2 4 2 2. (2013· 福州期末)若抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 动点 P 在曲线 y2=-4x(y≥0)上,则△PAB 的面积的最小值为________.
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[答案] 2 2 [解析] 由题意得 F(1,0),直线 AB 的方程为 y=x-1.
? ?y=x-1, 由? 2 得 x2-6x+1=0. ?y =4x, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1x2=1, ∴|AB|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2=8. y2 0 | +y0+1| 4 设 P(- ,y0),则点 P 到直线 AB 的距离为 , 4 2 y2 0
2 |y2 0+4y0+4| ?y0+2? ∴△PAB 的面积 S= = ≥2 2,即△PAB 的面积的最小值是 2 2. 2 2

3.(2014· 扶余一中质检)已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. [答案] x=-1 y =2px, ? ? [解析] 由? 消去 x 得,y2-2py-p2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p, p y = x - , ? 2 ? 由条件知,y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线的准线方程为 x=-1.
2

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