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2.5等比数列的前n项和公式_图文

时间:2018-11-11

§ 2.5 等比数列的前n项和

复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:

(2) 通项公式:

an+1 an =q (定值) an=a1?q n-1 (a ? 0, q ? 0).
1

a, G, b 成等比数列 (3)

G 2 ? ab, (ab ? 0)

(4) 重要性质:

an= am?qn-m
m+n=p+q

an?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

一、创设情境 ,引出问题
2
3

63 2 2 2 2 ?2 1

4

分析:由于 每个格子里 的麦粒数都 是前一个格 子里的麦粒 数的2倍,且 共有64个格 子,各个格 子里的麦粒 数依次是: 2

这一格的 麦粒可以 堆成好几 座山!!!

1,2,2 ,2 , ?,2 ,

3

63

2

63

二、启发引导,探索发现
于是发明者要求的麦粒总数就是 去求以1为首项,2为公比的等比数列的 前64项的和. 即求:
62 63
64

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 .
两边同乘公比2,得 2S 将上面两式列在一起,进行比较

? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2 ? 2 .
63 64

① S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 , 63 64 2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 .②
63

② - ①,得: S

64

? 2 ?1
64

说明: 2 ? 1超过了1.84 ?10 ,假定千粒麦 子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了 7000亿吨,目前世界小麦年度总产量约为 6亿吨,所以国王不能满足发明者的要求.
64
19

思考:已知等比数列{an}其公比为q,怎 样求其前n项和 Sn=a1+a2+…+an ?

分析:由等比数列的通项公式可知,任一项 皆可用首项及公比来表示,因此上式可变为: Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①
如果将等式①两边同乘q,则得到一个新的等式

qSn=

a1q+a1q2+a1q3 + …+a1qn—1 +a1qn
n



n S -q S =a a q ①-②得: n n 1 1

n a a q ⑴当q≠1时 Sn= 1 1 ? a1 ?1 ? q ? 1? q 1 q

(1-q)Sn=a1-a1qn

⑵当q=1时

Sn=na1

三、总结升华,得出结论
等比数列的前n项和公式 ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? n-1 a = a q Sn ? ? 1 ? q n 1 ?na (q ? 1) ? 1
a1 ? a1q a1 - a1q ? 或当q≠1时 S n ? 1? q 1? q a1 - an q
n n ?1

q

即S n =

注:1.以上推导公式的方法我们称之为“错位相减 法”2. . 当公比q不确定时应分q=1和q≠1两种情况讨论.

1- q

(q ≠ 1)

四、知识训练,深化目标 1 1 1 例1.求等比数列 , , , ?的前8项和. 2 4 8
1 1 解:(1)因为 a1 = , q = 2 2

所以当n=8时有等比数列的前n项
8? ? 1 ?1? ?1 ? ? ? ? 2? 2 ? ? ? 255 ? ? Sn ? ? 和知: 1 256 1? 2

例1、求下列等比数列前8项的和

1 (2)a1 ? 27, a9 ? ,q ? 0 243
1 1 ( 2) ? 27 ? q 8 由a1 ? 27, a9 ? , 可得 : 243 243 1 又由q ? 0, 可得: q ? ? 3 8

1 1 1 (1) , , ,? 2 4 8

于是当 n ? 8时

Sn

? ? 1? 27?1 ? ? ? ? ? 3? ? ? ? 1 1 ? (? ) 3

? ? ? ? ? 1640 81

?a n ?中,求满足下列条件的量 : 例2、在等比数列
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

(3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?314 .求q和n
1 1 a1 ? an q ( 1 ) ? a ? a ? 2 解: 2 q ? 2 , n ? 5 , a ? 1 3 ? ?512 1 (3)将a1 ? ,a , S ? ? 341 代入 S ? 可得 n n n 1? q 2 2 2 n ?q ? 1 即q ? ?1 a 1 ? q n ?1 1 说明: 在利用公式,一定要注 意 q的取值,应把它 .1 代入a n1? a q , s ? 得: ? ( ? 512 ) q 1 n ? ? .解得: q? ?2 S ? na ? 2n 1 ? q 当 q341 ? 1时,数列为常数列 2 , 2 , 2 , ? ,所以 n 1 1 ?q 4 作为第一要素来考虑。 1 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 n n 2n ?1 a1 (1 2. 在五个变量 ? q ) 2 [ 1 ? ( ? 1 ) ] ( ?2) n ?1 n a , q , n , a , S 中,只知三可求二, 1 n n 因为 a ? a q , 所以 ? 512 ? 1 ? n时, 1 当q ? ? 1 S n5 ? 1?q ? 1?( ?1) ? 1 ? (?1) 1 并且要根据具体题意, 选择适当的公式。 ? 1 ?10 2 解得: n ? 1 31 s5 ? 2 ? ? 25 ? 1 ? 1? 2 2 2

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2

?

?

?

?

?

?

例3: 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销 售量
比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起,大约 几年 可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位) ?
分析:本例相当于在等 比数列?an ? ,求满足S n ? 30000 的n值。
解: 由题意可知,从今年起,每年的销售量成等比数列 a1 ? 5000 , q ? (1 ? 10%) ? 1.1, S n ? 30000

由公式得: 30000?
整理得 1.1n ? 1.6

5000 (1?1.1n ) 1?1.1

两边取对数,得 n lg1.1 ? lg1.6,

用计算器算得n ?

lg1.1 lg1.6

?

0.2 0.041

?5

答:从今年起,大约 5年可使总销售量达到 30000 台。

五、课堂演练 ,巩固提高
1、求等比数列 1, x, x 2 , x 3 ,?的前n项和sn ?
解:由已知条件得, a1 ? 1, q ? x

当 x ? 1 时,S n ?
1? x n ? ? 1? x 所以S n ? ? ? ?n

1?(1? x n ) 1? x

?

1? x n 1? x

当 x ? 1 时,S n ? na1 ? n

( x ? 1) ( x ? 1)

六.归纳
(1).内容总结:

总结

①等比数列的前n项和公式及其推导. ②在已知 a1、an、n、q、sn 五个中的三 个会能灵活运用公式求其他俩个. (2).方法总结:
错位相减法
(3).体现的数学思想:

分类讨论的思想.(q ? 1或q ? 1) 方程的思想.(知三求二)

复习等比数列的前n项和公式

?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n ? 1-q ?

q ?1 , q ? 1。 或

?na1 ? S n ? ? a1 ? a n q ? 1-q ?

q ?1 , q ? 1。

合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 ? a1 q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q

令A ? ?

a1 ? 0 则:S n ? Aq n - A 1-q

这个形式和等 比数列等价吗?

等比数列前n项和的性质一:
n 数列{a n }是等比数列 ? S n ? Aq - A( A ? 0) 类似结论: 相反 数列{a n }是等比数列 数 ? S n ? Aan ? B( AB ? 0, A ? 1)

1、若等比数列{a n }的前n项和S n ? 4 n ? a,求a的值。
提示: S n ? Aq n - A( A ? 0) 系数和常数互为相反数

? a ? ?1
1、若等比数列{a n }的前n项和S n ? 3 n ?1 ? 2a,求a的值。
1 1 1 n 化简到:S n ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 3 3 6

我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?a n ?为等差数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等差数列。

新的等差数列首项为S k,公差为k 2 d。
那么,在等比数列重,也有类似的性质吗?

等比数列前n项和的性质二:
如果?a n ?为等比数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。

新等比数列首项为S k,公比为q k 。

怎么 证明?

2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S m ? 10,S 2 m ? 30, 求S 3m的值。
解:? S m,S 2 m - S m,S 3m - S 2 m 成等比数列

? ( S 2 m - S m ) 2 ? S m ? ( S 3m - S 2 m ) 即: (30 - 10) 2 ? 10 ? ( S 3m - 30)
解得:S 3m ? 70

等比数列前n项和的性质三:

如果?an ?为公比为 q的等比数列 ,对任意m、p ? N ? 有:

S m? p ? S m ? q S p
m

2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S10 ? 20, S 20 ? 80,则S 30 ?
解:
10

260



s20 ? s10 q ? ?3 s10
20

s q s 30 ?s 20 ? 10 ?s 20? 10


s30 ? s10? 20 ? s10 ? q10 s20

等比数列前n项和的性质四:
若等比数列?a n ?共有2n项,则:
怎么 证明?

S偶 S奇

?q

3、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的公比和项数?
提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S 奇 ? 170 ? 85 ? 255
由等比数列前n项和公式得:
1 ? 2n 255 ? 1-2

?n?8

等比数列前n项和的性质: ① 数列{ a n }是等比数列 ? S n ? Aq n - A( A ? 0)
② ?a n ?为等比数列 ? S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。
且新等比数列首项为S k,公比为q k 。
? ③ 如果?a n ?为公比为q的等比数列,对?m、p ? N 有:

S m? p ? S m ? q m S p


若等比数列?a n ?共有2n项,则:

S偶 S奇

?q


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