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数列求和习题课

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第二课时 数列求和习题课

【选题明细表】 题号 知识点、方法 易 公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 并项求和法 1 2 4、5 9 10 6 3 中 7、8

基础达标 1.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于( C ) (A)2 (B)4 (C) (D)

解析: =

=

= .故选 C.

2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+(2n-1),则数列{an}的前 n 项和为 ( C )

(A)2n+n2-1

(B)2n+1+n2-1

(C)2n+1+n2-2 (D)2n+n2-2 解析:Sn= + =2n+1-2+n2.故选 C. ,其前 n 项和

3.(2012 年高考福建卷)数列{an}的通项公式 an=ncos 为 Sn,则 S2012 等于( A ) (A)1006 (B)2012 (C)503 (D)0 ,∴a1=0,

解析:∵an=cos

a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,…. ∴a4n-3=a4n-1=0,a4n-2=-(4n-2),a4n=4n. ∴a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=2, 又 2012=4×503, ∴a1+a2+…+a2012= =2×503=1006. 故选 A. 4.数列{an}的通项公式 an= (A) (B) (C) (D) =( ), ,则其前 n 项和 Sn 为( B )

解析:∵an=

∴Sn= [(1- )+( - )+…+( 5.数列{an}的通项公式 an= ( C )

-

)]=

.故选 B.

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为

(A)11 (B)99 (C)120 (D)121 解析:∵an= = - , - )=10,

∴Sn=( -1)+( - )+(2- )+…+( 即 -1=10,

∴n=120.故选 C. 6.若 f(x)= ,则 f( )+f( )+f( )+f( )= = = , .

解析:∵f(1-x)= ∴f(x)+f(1-x)=1,

设 S=f( )+f( )+f( )+f( )① S=f( )+f( )+f( )+f( )② ①+②得 2S=4, ∴S=2. 答案:2

7.(2012 西安中学检测)如果函数 f(x)满足:对于任意的实数 a、b 都 有 f(a+b)=f(a)f(b),且 f(1)=2,则 + = . + + + +…

解析:∵f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2, ∴f(n+1)=2f(n), ∴{f(n)}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴f(n)=2n. 又 = =f(n),

∴原式=f(1)+f(2)+…+f(10) =2+22+23+…+210= =211-2=2046. 答案:2046 能力提升 8.观察下表: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 则第 行的各数之和等于 20092.

解析:设第 n 行的各数之和等于 20092,则此行是一个首项 a1=n,项数为 2n-1,公差 d=1 的等差数列. ∴S=n×(2n-1)+ 解得 n=1005. 答案:1005 9.(2012 温州中学高二月考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1). (1)设 bn=an-1(n=1,2,3,…),求证:数列{bn}是等比数列. (2)设 cn= ,求证:数列{cn}的前 n 项和 Sn< . =20092,

证明:(1)由 an+1=2an-1,得 an+1-1=2(an-1), 即 bn+1=2bn, ∵b1=3-1=2≠0, ∴{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 bn=2n, ∴an-1=2n,即 an=2n+1. ∴cn= = ∴Sn= =. + <. +…+

10.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 a1=1,b1=2,a2=2,b2=4. (1)求 an、bn; (2)若 cn=an+bn,求 c1+c2+c3+…+c10. (3)若 dn=an·bn,求{dn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)an=n,bn=2n. (2)c1+c2+c3+…+c10 =(a1+a2+a3+…+a10)+(b1+b2+b3+…+b10) =(1+2+3+…+10)+(2+22+…+210) = + =2101.

(3)Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1, ∴Sn=(n-1)×2n+1+2.


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