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2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT

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第三节

空间点、直线、平面之间的关系

?考纲解读
理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的
公理和定理. 公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点 都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一角的两边分别平行,那么这两个 角相等或互补.

?知识点精讲
一、平面的基本性质 平面的基本性质如表8-4所示. 表 8-4

名称

图形

文字语言
如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这 条直线上所有的点都在 此平面内.

符号语言
A?l ? B ?l ? ? ? ? l ?? A ?? ? B ?? ? ?

公理 1

公理 2

A、 B、 C 不共线? 过不在同一直线上的三 A 、 C?? B、 点有且只有一个平面. 且? 是唯一确定的.

推 论

1 公 理 推 2 论 的 推 2 论 推 论 3

经过一条直线 和该直线外一 点有且只有一 个平面 两条相交直线 确定一个平面

若点 A ? a,则 A 和 a 确定一个平面 ?

有一个平面 ? 使 a ? ? , b ??

a b ? P ?有且只

两条平行直线 确定一个平面
?

a∥b ? 有且只有 一个平面 ? ,使 a ?? , b ??
若 P ?? ,且 P ? ? , 则 ? ? ? a ,且 P ??

公理3

如果两个不重 合的平面有一 个公共点,那 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线

二、空间直线与直线的位置关系
1.位置关系如表8-5所示 表 8-5 位置关系 相交(共面) 平行(共面) 异面

图形 符号 公共点个数
a b?P

?

a∥b
0
两条平行直线
确定一个平面

a ? ? A, b ? ? , A ? b

1
两条相交直线确定
一个平面

0
两条异面直线不同在
任何一个平面内

特征

2.公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线平行. 3.公理:空间中若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等(同向)

或互补(反向).

三、空间中的直线与平面的位置关系,如表8-6所示
直线 l 与平面 ? 的关系有两类:1.线在平面内: l ? ? ,2.线在面外: l ? ?,

?l ? ? 而线在平面 ? 外又分为两种情况。即线面位置: ? . ?l∥? ? l ?? ? ? 表 8-6 ?l ? ? P ?

位置关系

包含(面内线) 相交(面外线) 平行(面外线)

图形
?

符号
公共点个数

l ??
无数个

a

b?P

l∥?
0

1

四、空间中的平面与平面的位置关系,表8-7所示. 表 8-7

位置关系

平行

相交(但不垂直)

垂直

图形

?

符号

?∥?
0

?

? ?l

? ? ?, ?

? ?l

公共点个数

无数个公共点且都 在唯一的一条直线 上

无数个公共点且都 在唯一的一条直线 上

题型99 证明“点共面”,“线共面”或“点共线”,及“线共点” 【例8.17】如图8-38所示,平面 ABEF ? 平面 ABCD , 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, 1 1 BE∥ AF . BC∥ AD, ?BAD ? ?FAB ? 90 , 2 2 C , D, F , E 四点共面. 求证: 【解析】如图8-39所示,延长 DC 交 AB 1 的延长线于点 G,由 BC∥ AD, 2 GB GC BC 1 ? ? ? , 得 延长 FE GA GD AD 2 G ' ,同理可得 交AB 的延长线于 G ?B GB G?E G?B BE 1 ? ? ? ? ,故 ? ? ? G A GA G F G A AF 2 即 G ' 与G 重合.因此,直线CD 和EF 相交 于点 G ,即 C , D, F , E 四点共面.
G(G')

图 8-38
F

E A B C D

图 8-39

D1 A1 F D

C1

B1

C
E

【解析】(1)如图所示,

A
D1 A1 F D

B
C1

B1

C
E

A

B

D1 A1 F D

C1

B1

如图所示,

C
E

A
P

B

【解析】
A B C P α Q R

题型100 异面直线的判定 【例8.20】一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位 置关系是( ). A. 平行或异面 B. 相交或异面 C. 异面 D. 相交

【解析】 假设 a 与 b 是异面直线,而 c∥a ,则c 显然与 b 不平行(否则

c∥b ,则有 a∥b ,矛盾). 因此 c 与b 可能相交或异面.
故选B.

第四节 直线、平面平行的判定与性质
?考纲解读
1. 理解空间直线和平面位置关系的定义.
2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平 行的有关性质与判定,理解以下判定定理:

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面
平行. 如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行,那么两个平面平行.

理解以下性质定理,并能够证明:
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一平面与此平面的 交线和该直线平行.

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.

?知识点精讲
一、直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系如表8-8所示.
表 8-8 位置关系 直线在平面内 公共点个数

直线上有两个点在平面内,则 所有点都在平面内
直线与平面有且仅有一个交点

直线和平面相交

直线在平面外 直线和平面平行 直线与平面没有公共点

二、直线和平面平行 1. 定义:直线与平面没有公共点,则称此直线 l 与平面? 平行,记作 l∥? . 2. 判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)如表8-9所示. 表 8-9 文字语言 如果平面外的一条直线 和这个平面内的一条直 判定定理
l∥l1 ? ? l1 ? ? ? ? l∥? l ?? ? ?

图形语言

符号语言

线平行那么这条直线和
这个平面平行(简记为 “线线平行 ? 线面平

行”)

3. 性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)如表8-10所示.

表 8-10
文字语言 如果一条直线和一个平面 图形语言 符号语言

性质定理

平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么 这条直线就和交线平行

l∥? l?? a

? ? ? ? l∥l ? ? ? l ?? ?

三、两个平面平行 1.定义:没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为对于平面 ? 和 ? , 若 ? ? ? ?,则?∥? .
2.判定定理(文字语言、图形语言、符号语言) 两平面平行的判定定理如表8-11所示.

表 8-11 序号 文字语言 图形语言 符号语言

如果一个平面内有两条
相交的直线都平行于另 判定定理1 一个平面,那么这两个

平面平行(简记“线面平
行 ? 面面平行”) 如果两个平面同垂直于

a ?? ? b ?? ? ? ? a b ? P ? ? ?∥? ? a∥? ? b∥? ? ?
l ??? ? ? ?∥? l ? ??

判定定理2

一条直线,那么这两个
平面平行

判定定理3

平行于同一个平面的两 个平面平行

?∥? ? ? ? ?∥? ?∥? ?

3. 性质定理(文字语言、图形语言、符号语言) 两平面平行的性质定理如表8-12所示. 表 8-12 序号 文字语言 如果两个平面平行,那么在 性质定理1 一个平面内所有直线都平行 于另一平面 如果两个平行平面同时和第 图形语言 符号语言

? ∥? ? ? ? a∥? a ???

性质定理2

三个平面相交,那么它们的
? 交线平行(简记“面面平行
?

?∥? ? ? ? ? ? a ? ? a∥b ? ? ? b? ?
?∥? ? ? ? l∥? l∥? ?

线线平行”) 如果两个平行平面中有一个 性质定理3 垂直于一条直线,那么另一 个平面也垂直于这条直线
?
?

?题型归纳及思路提示
题型101 证明空间中直线、平面的平行关系
? , ? , ? 是三个不同平面,下列命 【例8.22】已知 m, n ,是两条不同直线,
题正确是( ). B .若? ? ? , ? ? ? , 则?∥?

A. 若 m∥? ,n∥? , 则 m∥n

C. 若 m∥? , m∥? ,则 ?∥?
【解析】

D. 若m ? ? , n ? ? , 则 m∥n

A B C

D

A1

D1 C1

B1

?
E B F

A H D G C

【分析】 线面平行的判定定理与性质定理相互转化.

【解析】

【例8.24】如图8-55所示,四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边
E , F 分别是 AB 和 PD 的中点. 求证:AF∥平面 PCE . 形,

【解析】如图8-56所示,取 PC 的中点 G ,连接 EG 、FG,由 F为 PD的中 1 1 AE ∥ CD ,所以FG∥AE . FG ∥ CD 点,得 . 由已知有 2 2 故四边形 AEGF 是平行四边形,因此AF∥EG ,又EG ?平面 PCE ,

AF ? 平面PCE ,所以 AF∥ 平面PCE .

图 8-55

图 8-56

【例8.25】 如图8-60(a)所示,三棱柱中 ABC ? A1B1C1 ,D 是 BC 的中点,
AB1D. AC 求证: 1 ∥平面 【分析】要证明线面平行,可通过线线平行 ? 线面
A1 B1 A B C D 图 8-60(a) A1
B1 C1 A C D 图 8-60(b)

平行,关键是在平面内找到一条直线与

C1

已知直线平行.
【解析】如图8-60(b)所示,连接 A1 B,设

A1B

AB1 ? E, 连接DE .因为 ABC ? A1B1C1

是三棱柱,所以四边形 A1 B1BA 是平行
四边形,故E 为 A1 B 的中点.又因为D 是 BC 的中点,所以DE 是 △BA1C 的中

E

位线,所以DE∥A1C .因为 DE ? 平面AB1D ,

A1C ? 平面AB1D ,所以 AC 1 ∥平面 AB1 D .
.

B

【例8.26】如图8-64所示,四边形 ABCD与 BDEF 均为平行四边形. 求证:FC∥平面 EAD . 【解析】因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为平行四边形,所以BC∥AD ,

BF∥DE ,又 BC ? 平面EAD , 平面EAD. AD ?平面 EAD ,故 BC∥
又 BF ? 平面 EAD ,DE ? 平面 EAD,故 BF∥平面 EAD ,
又 BC
BF ? B , BC , BF ?平面FBC ,所以平面 FBC∥ 平面 EAD.

又 FC ? 平面 FBC ,所以FC∥平面 EAD .

【例8.27】如图8-66所示,已知三棱柱

ABC ? A1B1 C1 中,

分别是 D, E ,F

BC , BB1 , AA1 的中点.求证:平面 B1 FC∥平面 EAD .
【解析】因为在三棱柱ABC ? A1B1C1中,D, E , F

分别是 BC , BB1 , AA1 的中点,所以 AF∥B1E.
故四边形 AFB1E 是平行四边形,即

AE∥B1F .又 AE ? 平面 B1FC ,B1 F ? 平面 B1FC
故AE∥ 平面 B1FC ①. 因为在 △BCB1 中,DE 是中位线,故 DE∥CB1.

CB1 ? 平面 B1FC , 又 DE ?平面 B1FC ,
故 DE∥平面B1FC ② . 由 ① ②及 AE
DE ? E , AE , DE ? 平面 EAD ,

得平面 B1 FC∥平面 EAD .

P

E

【解析】
C A M O B

题型102 与平行有关的探究开放性问题

P

D O B

M C

【解析】

(3)证法一:不存在.下面用反证法证明.

P

证法二:如图所示,

A B

N D O

M C

故假设不成立,


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