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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第1节函数及其表示课件理

时间:2017-03-24


第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选
修2-2)

六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图 命题特点 1.高考在本篇一般命制 2~3 道小题,1 道 解答题,分值占 22~27 分. 2.高考基础小题主要考查函数奇偶性的 判断,比较大小,分段函数求值等. 3.高考综合性较强的小题考查导数、不 等式以及函数的零点的综合等;考查数 形结合的思想. 4.解答题一般都是两问的题目,第一问 考查求曲线的切线方程,求函数的单调 区间,由函数的极值点或已知曲线的切 线方程求参数,属于基础问题.第二问利 用导数证明不等式,不等式恒成立求参 数的取值范围,求函数的零点等问题.考 查函数的思想,转化的思想及分类讨论 的思想.

第1节 函数及其表示

最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求 一些简单函数的定义域和值 域;了解映射的概念.

2.在实际情境中,会根据不同的需 要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单 应用(函数分段不超过三段).

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗?
提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了,在函 数的三个要素中定义域和对应关系是关键. 2.分段函数是一个函数还是几个函数? 提示:是一个函数.只不过是在自变量不同的取值范围上,对应关系不 同而已. 3.函数与映射之间有什么关系?

提示:函数是特殊的映射,映射是函数的推广,只有集合A,B为非空数集
的映射才是函数.

知识梳理
1.函数的概念
设A,B都是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B

为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数f(x)的 定义域 ,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的 值域 ,显然,值域是集合B的子集,函 数的 定义域 、值域和对应关系构成了函数的三要素.
2.函数的表示法 (1)基本表示方法: 解析法 、图象法、列表法. (2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为 分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的 并集 , 值域是各段值域的 并集 .

3.映射 设A,B都是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那 么就称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射. 【重要结论】 1.定义域与对应关系完全一致的两个函数是相等函数.

2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点.

夯基自测
1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( D )

解析:根据函数的定义,对定义域内的任意一个x必有唯一的y值和它对应.

2.函数 f(x)= (A)(-1,2) (C)(-1,0)

ln ? 2 ? x ? x 2 ? x ?x

的定义域为(

C

)

(B)(-1,0)∪(0,2) (D)(0,2)

2 ? ?2 ? x ? x ? 0, 解析:f(x)有意义,则 ? ? ? x ? x ? 0.

??1 ? x ? 2, 解之得 ? 所以-1<x<0, ? x ? 0,
所以 f(x)的定义域为(-1,0).故选 C.

3.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( (A)g(x)=2x+1 (C)g(x)=2x-3 (B)g(x)=2x-1 (D)g(x)=2x+7

B )

解析:法一 因为g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, 所以g(x)=2x-1. 法二 因为g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2. 所以g(t)=2(t-2)+3=2t-1. 所以g(x)=2x-1.

? 2 ? 3 sin πx, x ? 0, 4.已知 f(x)= ? 则 f( )的值为( 3 ? ? f ? x ? 1? ? 1, x ? 0,

B

)

1 (A) 2

1 (B)2

(C)1

(D)-1

解析:f(

2 1 )=f(- )+1 3 3

π = 3 sin(- )+1 3

=-

1 . 2

故选 B.

5.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射. ②若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ③f(x)= x ? 1 + 1 ? x 是函数. ④函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线.
2 ? ? 1 ? x ? ?1 ? x ? 1? , ⑤若 f(x)= ? 则 f(-x)= ? ? x ? 1? x ? 1或x ? ?1? , 2 ? ? 1 ? x ? ?1 ? x ? 1? , ? ? ?? x ? 1? x ? 1或x ? ?1? .

其中真命题有

.(写出所有真命题的序号)

解析:①正确,但映射不一定是函数,②不正确,如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域 与值域完全相同,但不是相等函数,③正确,f(x)是定义域为{1},值域为{0}的 函数,④不正确,函数 y=2x(x∈N)的图象是分布在射线 y=2x(x≥0)上的无数个 孤立的点.⑤正确,当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1,f(-x)= 1 ? ? ? x ? = 1 ? x 2 ;当
2

x>1 或 x<-1 时,-x>1 或-x<-1,f(-x)=-x+1.
答案:①③⑤

考点专项突破
考点一 函数的定义域

在讲练中理解知识

x2 ? 5x ? 6 【例 1】 (1)(2015 高考湖北卷)函数 f(x)= 4 ? x +lg 的定义域 x?3

为(

) (B)(2,4] (D)(-1,3)∪(3,6]

(A)(2,3) (C)(2,3)∪(3,4]

?4 ? x ? 0, ? 解析:(1)依题意知 ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0, ? ? x?3

??4 ? x ? 4, 即? ? x ? 2, 且x ? 3,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选 C. 答案: (1)C

(2)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y1=f(2x)-ln(x-1)的定义域 为( ) (B)(1,2] (C)[1,8] (D)(1,8] (A)[1,2]

?0 ? 2 x ? 4, 解析:(2)由题意知 ? ? x ? 1 ? 0,
解得 1<x≤2.
答案: (2)B

(3)若函数 f(x)= 2 为 .
x 2 ? 2 ax ? a

x 2 ? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围

解析:(3)因为函数 f(x)的定义域为 R, 所以 2 即2 -1≥0 对 x∈R 恒成立,
x 2 ? 2 ax ? a

≥1,x2+2ax-a≥0 恒成立,

因此有Δ=(2a)2+4a≤0, 解得-1≤a≤0.
答案:(3)[-1,0]

反思归纳

求函数定义域的三种类型及求解策略

(1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b] 时的值域. (3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求. 提醒:所求定义域须用集合或区间表示.

【即时训练】 (1)(2016 济南一模)函数 y= log3 ? 2 x ? 1? 的定义域为( (A)[1,+∞) (C)( (B)(1,+∞)

)

1 1 ,+∞) (D)( ,1) 2 2

解析:(1)要使函数 y= log3 ? 2 x ? 1? 有意义, 须有 log3(2x-1)≥0, 解得 x≥1, 所以函数 f(x)的定义域是[1,+≦).故选 A.
答案:(1)A

(2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2 016],则函数 g(x)= (A)[-1,2 015] (B)[-1,1)∪(1,2 015] (C)[0,2 016] (D)[-1,1)∪(1,2 016]

f ? x ? 1? x ?1

的定义域是(

)

(3)如果函数 f(x)=ln(-2x+a)的定义域(-∞,1),则实数 a 的值为

.

?0 ? x ? 1 ? 2016, 解析:(2)由 ? ? x ? 1 ? 0,
解得-1≤x≤2 015,且 x≠1. 故选 B.

(3)因为-2x+a>0,所以 x< 所以
a =1,所以 a=2. 2

a , 2

答案:(2)B (3)2

考点二 求函数的解析式

【例 2】 (1)已知 f( x +1)=x+2 x ,求函数 f(x)的解析式;
解:(1)法一 代入原式,有 f(t)=(t-1) +2(t-1) =t2-2t+1+2t-2 =t2-1, 所以 f(x)=x2-1(x≥1). (教师备用)法二 因为 x+2 x =( x )2+2 x +1-1 =( x +1)2-1, 所以 f( x +1)=(
x +1) -1( x +1≥1),
2 2

设 t= x +1,则 x=(t-1)2(t≥1).

即 f(x)=x2-1(x≥1).

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;

解析:(2)因为 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax+b(a≠0), 所以 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即 ax+(5a+b)=2x+17,

?a ? 2, 因此应有 ? ?5a ? b ? 17, ?a ? 2, 解得 ? ?b ? 7.
故 f(x)的解析式是 f(x)=2x+7.

?1? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f ? ? =3x,求 f(x)的解析式. ?x? ?1? 解析:(3)因为 2f(x)+f ? ? =3x, ① ?x?
所以将 x 用
1 3 ?1? 替换,得 2f ? ? +f(x)= , x x ?x?



1 由①②解得 f(x)=2x- (x≠0), x

即 f(x)的解析式是 f(x)=2x-

1 (x≠0). x

反思归纳

求函数解析式常用方法:

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表

达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待 定系数法; (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意 新元的取值范围;

?1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f ? ? 或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再 ?x?

构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

【即时训练】 (1)已知f(2x+1)=4x2+2x+1,求f(x)的解析式; (2)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x)的解析式.
解:(1)法一 令 t=2x+1,则 x= 所以 f(t)=4[
1 (t-1), 2

1 1 2 2 2 (t-1)] +2× (t-1)+1=(t-1) +(t-1)+1=t -t+1, 2 2

即 f(x)=x2-x+1. (教师备用)法二 因为 f(2x+1)=4x +2x+1=4x +4x+1-2x-1+1=(2x+1) -(2x+1)+1, 所以 f(x)=x2-x+1.
2 2 2

(2)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 以-x 代替 x 得 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). 由①②消去 f(-x),得 f(x)= ②
2 1 lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3

考点三

分段函数及应用(高频考点)

考查角度 1:已知分段函数解析式,求函数值. 高考扫描:2015 高考新课标全国卷Ⅱ
? x 2 ? 1, x ? 1, ? 【例 3】 (2015 厦门模拟)设函数 f(x)= ? 2 ? , x ? 1, ?x

则 f(f(3))等于( (A)
1 5

) (C)
2 3

(B)3

(D)

13 9

解析:f(f(3))=f(

2 2 13 )=( )2+1= .故选 D. 3 3 9

反思归纳

根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式,若涉

及复合函数值,从内到外逐步求值,注意相应自变量所在的区间.

考查角度 2:已知分段函数解析式与方程(或不等式),求参数的值(或范围). 高考扫描:2014 高考新课标全国卷Ⅰ,2015 高考新课标全国卷Ⅰ
x ?1 ? ?2 ? 2, x ? 1, 【例 4】 (1)(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)= ? 且 ? ?? log 2 ? x ? 1? , x ? 1,

f(a)=-3,则 f(6-a)等于( (A)7 4

)
3 4

(B)-

x ?1 ? ?2 ? 2, x ? 1, 解析:(1)因为 f(x)= ? f(a)=-3, ? log x ? 1 , x ? 1, ? ? 2? ?

5 4

(C)-

(D)-

1 4

? ? ?a ? 1, ?a ? 1, 所以 ? 或 ? a ?1 解得 a=7, ? ?2 ? 2 ? ?3, ?? log 2 ? a ? 1? ? ?3 ?

所以 f(6-a)=f(-1)=2 答案: (1)A

-1-1

7 -2=- ,故选 A. 4

?e x ?1 , x ? 1, ? (2)(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)= ? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 3 ? ?x , x ? 1

x 的取值范围是

.

? ? x ? 1, 解析:(2) ? x ?1 ? ? ?e ? 2

? x ? 1, ? x ? 1, ? ? ? ? x ? 1 ? ln 2 ? x ? 1 ? ln 2

所以 x<1,
x ?1 ? ? 或? 1 ? 3 ? ?x ? 2

? x ? 1, ? 1≤x≤8. ? ?x ? 8

综上所述,x≤8.
答案: (2)(-∞,8]

反思归纳

(1)与分段函数有关的不等式问题,充分考虑分段函数

的单调性,通过分类讨论化为不等式组求解; (2)已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题,一般画出分 段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标 的范围,列出函数满足的不等式,从而解出参数范围.

备选例题
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0, 【例 1】已知函数 f(x)= ? 2 若 f(-a)+f(a)≤0,则 a 的取值范围是 ? ? x ? 2 x, x ? 0,

(

)

(A)[-1,1] (B)[-2,0] (C)[0,2] (D)[-2,2]

解析:当a≥0时,不等式可化为 a2-2a+(-a)2+2(-a)≤0,

解得0≤a≤2,
当a<0时,不等式可化为(-a)2-2(-a)+a2+2a≤0,解得-2≤a≤0. 又a<0, 所以-2≤a<0, 综上,a的取值范围是[-2,2].

【例2】 某商店销售某种商品,当销售量x不超过30件时,单价为a元,其 超出部分按原价的90%计算,则表示销售额y与销售量x之间的函数关系 是 .

解析:由题意知:销售量为 x,销售额为 y, 当 0≤x≤30 时,y=ax, 当 x>30 时,y=30a+(x-30)×90%·a=0.9ax+3a. 故销售额 y 与销售量 x 之间的函数关系为

?ax,0 ? x ? 30, y= ? ?0.9ax ? 3a, x ? 30.
?ax,0 ? x ? 30 答案:y= ? ?0.9ax ? 3a, x ? 30

易混易错辨析

用心练就一双慧眼

忽视分段函数所给出的自变量的取值范围致错

?2 x ? a, x ? 1, 【典例】(2016 郑州模拟)已知实数 a≠0,函数 f(x)= ? 若 ?? x ? 2a, x ? 1,
f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为(
3 (A)2 3 (B)4

)

(C)-

3 3 或2 4

(D)

3 3 或2 4

解析:当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 由 f(1-a)=f(1+a), 得 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得 a=由于3 <0, 2 3 , 2

所以不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 由 f(1-a)=f(1+a), 得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a, 解得 a=3 3 3 ,- <0,符合题意,解得 a=- .故选 B. 4 4 4

易错提醒: (1)缺少分类讨论的意识,未对a进行讨论,误认为1-a<1,1+a>1,

只对一种情况求解.
(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合讨论时的范围.


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