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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.2 综合法与分析法1.2.1_图文

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§2 综合法与分析法 2.1 综合法 了解综合法的思考过程,会用综合法证明一些数学问题. 综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演 绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们 把这样的思维方法称为综合法. 【做一做】 已知 a,b,c 是互不相等的正实数,求证 : +- +- + > +- + 3. 证明 :因为 a,b,c 是互不相等的正实数, 所以 >2 +- +- +- + + = + + + + + ?3 ·+ 2 · +2 · ? 3 =6-3=3,故原不等式成立 . 题型一 题型二 题型三 题型一 用综合法证明不等式 1 【例 1】 已知 x>0,y>0,x+y=1,求证 : 1 + 1+ 1 ≥9. 分析 :观察要证明的不等式,可以先由条件入手 ,将 x+y=1 代入要 证明的不等式 ,用综合法可证 ;也可先由基本不等式入手,用综合法证 明不等式 . 题型一 题型二 题型三 证法一 :∵x+y=1,∴ 2+ 2+ =5+2 + 1 1+ 1+ 1 = + 1+ + 1+ = . ∵x>0,y>0,∴ > 0, > 0. ∴ + ≥2, 当且仅当 = , 即x=y= 时,等号成立 . 则有 1+ 1 1 1+ 1 2 ≥5+2×2= 9 成立 . 题型一 题型二 题型三 证法二:∵x>0,y>0,1=x+y≥ 2 , 当且仅当x=y= 时,等号成立 , ∴xy≤4. 1 1 2 1 故 1+ + 1 + 1 1 1 1 1+ =1+ + + 2 ≥1+8= 9 成立 . =1+ =1+ 反思此题用综合法证明时,可以先从条件出发,也可以先从基本不 等式出发,通过换元、拼凑等方法构造定值.若连续两次或两次以 上利用基本不等式,则需要注意这几次利用基本不等式时等号成立 的条件是否相同. 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1】 已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,求证: (1)a2+b2+c 2≥ ; (2) + + ≤ 3. 分析 :结合已知条件 ,利用基本不等式证明. 证明 :(1)∵a+b+c=1,∴(a+b+c)2=1. 即 a2+b2+c2+2ab+ 2bc+ 2ac=1. ∵2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2, 1 3 ∴3(a +b +c )≥1,即 a +b +c 当且仅当 a=b=c= 2 2 2 2 2 2 1 时,等号成立 . 3 1 ≥ . 3 题型一 题型二 题型三 (2)( + + )2 = + + + 2 + 2 + 2 , ∵a>0,b>0,c> 0, ∴2 ≤a+b,2 ≤a+c,2 ≤b+c, ∴( + + )2≤3(a+b+c). ∵a+b+c=1,∴( + + )2≤3,即 + + ≤ 3. 当且仅当 a=b=c= 1 时,等号成立 . 3 题型一 题型二 题型三 题型二 用综合法证明几何问题 【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C 与AB的中点,A1B交AB1于点G. 求证:(1)A1B⊥AD; (2)CE∥平面AB1D. 分析:(1)为了证明A1B⊥AD,可证A1B⊥平面AB1D,连接DG,显然 A1B⊥AB1,所以证明A1B⊥DG,可利用△A1DB是等腰三角形以及点 G是A1B的中点得证. (2)要证CE∥平面AB1D,只需证CE与平面AB1D内的一条直线(DG) 平行即可. 题型一 题型二 题型三 证明:(1)连接A1D,DG,BD. 如图,∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱, ∴四边形A1ABB1为正方形, ∴A1B⊥AB1. ∵D是C1C的中点,∴△A1C1D≌△BCD. ∴A1D=BD. 易知G为A1B的中点,∴A1B⊥DG. 又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D. ∵AD?平面AB1D,∴A1B⊥AD. 题型一 题型二 题型三 (2)连接GE, ∴ GE ∥A1A, ∴GE⊥平面ABC. ∵DC⊥平面ABC, ∴GE∥DC. ∵GE=DC= ∴EC∥GD. 1 , 2 ∴ 四边形GECD 为平行四边形, 又EC?平面AB1D,DG?平面AB1D, ∴EC∥平面AB1D. 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1 上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE. 题型一 题型二 题型三 证明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴CC1⊥平面ABC. ∵AD?平面ABC,∴CC1⊥AD. 又AD⊥DE,CC1?平面BCC1B1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E, ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCC1B1. 题型一 题型二 题型三 (2)∵A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,∴A1F⊥B1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1, ∴CC1⊥A1F. 又CC1?平面BCC1B1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,∴A1F⊥ 平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,故A1F∥AD. 又AD?平面ADE,A1F?平面ADE, ∴A1F∥平面ADE. 题型一 题型二 题型三 题型三 用综合法解答数列问题 【例 3】 已知{an}是各项

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