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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习3-4章课件3-1导数的概念及运算

时间:2013-03-24


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章

导 及 应 数 其 用

第三章

导数及其应用

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高考导航

第三章

导数及其应用

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●课程标准 1.导数概念及其几何意义 () 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时 1 变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就 是导数,体会导数的思想及其内涵. () 通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2

第三章

导数及其应用

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2.导数的运算 1 () 能根据导数定义,求函数y=c,y=x,y=x ,y= x ,y 1
2

= x的导数. () 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 2 算法则求简单函数的导数,(理)能求简单的复合函数(仅限于形 如fx +b 的导数. ( a ) () 会使用导数公式表. 3

第三章

导数及其应用

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3.导数在研究函数中的应用 () 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导 1 数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的 多项式函数的单调区间. () 结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件 2 和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、 极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小 值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

第三章

导数及其应用

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4.生活中的优化问题举例. 例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问 题,体会导数在解决实际问题中的作用. 5.(理)定积分与微积分基本定理 () 通过实例(如 曲 梯 的 积 变 做 等 1 求边形面、力功 ),从问题

情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基 本思想,初步了解定积分的概念. () 通过实例(如 速 动 体 某 时 内 速 与 程 2 变运物在段间的度路 的关系),直观了解微积分基本定理的含义.

第三章

导数及其应用

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●命题趋势 1.求导数及切线方程. 2.用导数研究函数的单调性,求函数的极值与最值. 3.已知函数的单调性或极值等讨论字母参数. 4.导数的实际应用与综合应用. 5.(理)定积分与微积分基本定理的应用.

第三章

导数及其应用

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●备考指南 1.熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义,熟记求导公式、导 数的四则运算法则、(理)复合函数求导法则,并能运用上述公 式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重点必考内容,要

熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的切线问题.

第三章

导数及其应用

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2. 练 握 数 应 熟掌导的用 主包利导确函的调、函的值 要括用数定数单性求数极与 最、 已函的调或值字参的或值围 值 知数单性极求母数值取范 特要意用数方解一函性的合问 别注能导的法决些数质综性题 3.(理)掌 定 分 概 、 质 掌 微 分 本 握积的念性,握积基定 理会定分决些面线成平图的积 ,用积解一平曲围的面形面和 变运的程变作等何物问. 速动路及力功几与理题 . .

第三章

导数及其应用

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第三章
第一节 导 的 念 运 数 概 及 算

第三章

导数及其应用

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第三章

第一节

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基础梳理导学

第三章

第一节

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重点难点

引领方向

重点:导数的概念、公式及运算法则,导数的应用 难点:1.积商的导数公式. 2.(理)复合函数的导数.

第三章

第一节

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夯实基础 稳固根基 一、导数及有关概念 1.函数的平均变化率 一般地,已知函数y=f) ,x0、x1是 义 内 同 两 ( x 定域不的 点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)- f(x0),则当Δx≠0时 商 ,
Δy f?x0+Δx?-f?x0? Δx =______.称为函数y Δx

=f) 从x0到x1的 均 化 . ( x 平变率

第三章

第一节

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2.() 平均速度 1 设物体运动路程与时间的关系是 s=f ,在 t0 到 t0+Δt ) ( t f?t0+Δt?-f?t0? Δs Δt 这 时 内物 运 的 均 度 段 间 ,体 动 平 速 是 v0 = =___. Δt () 瞬时速度 2 设物体运动路程与时间的关系是 s=f ,当 Δt 趋近于 0 ) ( t 时,函数 ) 在 t0 到 t0 +Δt 这 时 内 平 变 率 f ( t 段 间 的 均 化 f?t0+Δt?-f?t0? 趋 于 数我 把 个 数 为 近 常 ,们 这 常 称 Δt 速度.
第三章 第一节

Δs Δt =

t0 时 的 时 刻瞬

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3.导数 设函数 y=f) 在 x0 处 其 近 定 , 自 量 ( x 及附有义当变在 x0 附近改变量为 Δx 时 函 值 应 改 量 ,数相地变 - f(x0) .如果当 Δx 趋近于 x=

Δy=f 0+Δx) ( x Δy = Δx

0 时,平 均变化率

f?x0+Δx?-f?x0? 趋近于一个常数 l,那么常数 l 称为函数 f) ( x Δx 在点 x0 处 瞬 变 率 函 在 的时化.数点 为 f) 在 x=x0 处 导 , 称 数 ( x 的数又函 x0 处 瞬 变 率 常 的时化通称 f) 在 x=x0 处可导. ( x

第三章

第一节

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Δy 一般地,函数 y=f) 的导数 f ′() =li m ( x x Δx→0 Δx f?x+Δx?-f?x? =li m . Δx Δx→0 如果 f) 在开区间(a, ( x b)内每一点 x 都 可 的 则 是 导 ,称 在区间(a,b)内 导 在 间 可 .区 f) ( x

(a,b)内,f ′() 构成一个新的函 x

数,这个函数称为函数 f) 的导数. ( x

第三章

第一节

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4.导数的几何意义:函数 y=f) 在点 x0 处 导 ( x 的数 f ′(x0),是 线 就曲 y=f) 在点 P 0, 0)处的______ ( x ( x y _____ 切线的斜率 .

导数的物理意义: 物体的运动方程 s=s 在点 t0 处的导数 ) ( t

瞬时速度 s′(t0),就是物体在 t0 时刻的____________.

第三章

第一节

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二导公 、数式 1. 用 导 公 常的数式 C′=0 为 数 ); ( C 常 (xm)′=mxm-1(> x0


,m≠0 且 m∈Q);

(xn)′=nxn 1(n∈N+) ( s n i (s c o x)′=cs x; o x)′= s x; -n i

(ex)′=ex,(ax)′=axlna; 1 n x)′= x;(g ( l o l 1 ax)′= xlna.
第三章 第一节

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1 1 特别 f(x)= 时,f ′(x)=- 2, x x f(x)= x时,f ′(x)= . 2 x 2.两个函数的四则运算的导数 [f(x)± g(x)]′=f ′(x)± g′(x); [f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) . 特 别 [cf(x)]′ = cf ′(x)(c 为常数);
? f?x? ? f ? ? ?g?x??′= ? ?

1

′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). g2?x?

第三章

第一节

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3.(理)复合函数的导数 y′x=y′u·x′(其中 u 是 x 的函数) u 疑难误区 点拨警示

1.导数公式 () 要注意公式的适用范围.如(xn)′=nxn-1 中,n∈N+, 1 若 n∈Q 且 n≠0,则应有 x>. 0 () 注意公式不要用混, x)′=axlna,不 2 如(a 而 是 (ax)′=xax
-1

?u? u′ ? ? .还要特别注意(uv)′≠u′v′,?v?′≠ . v′ ? ?

第三章

第一节

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2. 深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、 “导 数”的区别与联系 () 函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数,不是变量. 1 () 函数的导数,是针对某一区间内任意点 x 而言的.函 2 数 f(x)在区间(a,b)内 一 都 导 是 对 区 每 点 可 ,指 于 间 (a,b)内的

每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f ′(x0).根据 函数的定义,在开区间(a,b)内 构 了 个 的 数 就 就成一新函,是 函数 f(x)的导函数 f ′(x).

第三章

第一节

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() 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 3 在点 x=x0 处的函数值,即 f ′(x0)=f ′(x)|x=x0. 3.要正确区分曲线 y=f(x)在点 P 处 切 , 过 的 线与 点 曲线 y=f(x)的切线. [例] 已函 知数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 处取得极值, 1 P的

若过点 A(1) 06 ,

作曲线 y=f(x)的 线 求 线 程 切,切方.

第三章

第一节

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解析:f ′(x)=3ax2+2bx-3, 由题意± 是方程 f ′(x)=0 的根, 1 2b 1 ∴-3a=0,-a=-1,故 a=1,b=0. 曲线方程为 y=x3-3x,点 A(1) 06 , 不曲上 在线.

3 设切点为 M(x0,y0),则 y0=x0-3x0.

∵f ′(x0)=3(x2-1), 0 ∴切线方程为 y-y0=3(x2-1 x-x0). ) ( 0

第三章

第一节

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∵点 A(1) 06 ,

在线, 切上

∴16-(x3-3x0)=3(x2-1 -x0), ) ( 0 0 0
3 化简得 x0=-8,解得 x0=-2.

∴切点为 M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0.

第三章

第一节

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点评: 在求切线方程时很容易将 A(1) 06 , 上的一点,得出如下错解:

理为线 解曲

y=f(x)

∵f ′(x)=3ax2+2bx-3,k=f ′() =-3, 0 ∴切线方程为 y-16=-3x,即 3x+y-16=0.

第三章

第一节

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4.(理)运用复合函数的求导法则 y′x=y′u· x, 注 u′ 应 意 以下几个问题 () 分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而 1 成,适当选定中间变量; () 分步计算中的每一步都 明 是 哪 变 求 , 2 要 确 对 个 量 导 而 其中特别要注意的是中间变量的导数, 求导后要把中间变量转 ....... 换成自变量的函数. .........

第三章

第一节

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思想方法技巧

第三章

第一节

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1.对函数求导时,一要熟记基本导数公式,特别是积、 商、对数的导数公式要记准,二要遵循先化简后求导的原 则. 2.利用导数求曲线的切线方程 求过某点的曲线的切线时,要先判断该点是否在曲线 上,然后依据不同情况有针对性的解答.

第三章

第一节

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() 当点P(x0,y0)在曲线C上时,过点P的C的 线 率 1 切斜 f ′(x0),切线方程为y-y0=f ′(x0( x-x0). ) ·

k=

() 当点P(x0,y0)不在曲线C上时,常常是先设出切点, 2 求出f(x)的 数 用 点 曲 上 切 过 导利切在线和线点 3.(理)复合函数求导法 复合函数求导时,可依据“从外到内层层剥皮”的方 法. P来求解.

第三章

第一节

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[例1]

求函数y=s n i

? π? ?2x+ ?的导数. 3? ?

第三章

第一节

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π 解析:第一步,将函数看作y=s u与u=2x+ 的复合函 n i 3 数. 第二步,将y对u求导,将u对x求导,再相乘,并把u用2x π + 替换. 3 ∵( u)′=cs s n i o ∴y′=2o cs
? π? u,?2x+3?′=2, ? ?

? π? ?2x+ ?. 3? ?

第三章

第一节

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考点典例讲练

第三章

第一节

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导数的概念

[例 1] ________.

f?a+Δx?-f?a-Δx? 若 f ′(a)=A,则 lim = Δx →0 Δx

第三章

第一节

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f?a+Δx?-f?a?+f?a?-f?a-Δx? 解析:原式=lim Δx Δx→0 f?a+Δx?-f?a? f?a-Δx?-f?a? =lim + lim Δx -Δx →0 -Δx→0 Δx =A+A=2A.

答案:2A

第三章

第一节

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设 f(x)为 导 数 且 足 可 函 ,满

f?1?-f?1-2x? lim = 1, 过 - 则曲 2x x→0 ( ) D. 2 -

线 y=f(x)上 (1,f() 处 切 斜 为 点 1 的线率 A.2 B. 1 - C.1

第三章

第一节

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f?1?-f?1-2x? f?1-2x?-f?1? 解析:lim =lim =-1, 2x -2x →0 →0 x x 即y′|x=1=-1, 则y=f(x)在点(1,f() 处的切线斜率为-1,故选B. 1
答案:B

第三章

第一节

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导数的几何意义

[例2]

4 已知点P在曲线y= x 上,角α为曲线在点P处 e +1 )

的切线的倾斜角,则α的取值范围是( π A.[0,4) π 3π C.(2, 4 ] π π B.[4,2) 3π D.[ 4 ,π)

第三章

第一节

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分析:曲线在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为该点处的导 数 y′|x=x0,倾 角 又斜 α 与斜率关系为 k=tn α, a α=y′|x a ∴tn

=x0,由导函数的值域可求出倾斜角 α 的取值范围.

第三章

第一节

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4ex 解析:∵y′=- x , ?e +1?2 4ex 4ex 4 ∴tn α=- x a =- x 2 =- , 1 ?e +1?2 ?e ? +2ex+1 ex+ex+2 1 ∵e >0,∴e +ex ≥2(当且仅当 x=0 时取等号),
x x

1 4 ∴e +ex+2≥4,∴0< ≤1,∴-1≤tn α<0, a 1 ex+ex+2
x

3π ∵α∈[0,π),∴α∈[ ,π),故选 D. 4
答案:D
第三章 第一节

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(文)曲 y=xs x 在 线 n i 点 所成三形面为 围的角的积 π2 A. 2 C.2 π
2

? π π? ?- , ?处 切 与 2 2? 的 线 ?

x轴直 、线

x=π

(

)

B.π2 1 D 2(2+π)2 .

第三章

第一节

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π 解析:∵y′=s x+xcs x,∴y′|x=- =-1,∴曲线 n i o 2 y=xs x n i
? π π? 在点?-2,2?处的切线方程为 ? ?

y=-x,所围成的三角

π2 形的面积为 .故选 A. 2

答案:A

第三章

第一节

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点评: 求曲线在某点处的切线方程, 应先求该点处的导数 值,得到切线斜率.再写出切线方程.

第三章

第一节

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(理)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f() 处的切线 1 l 与直线 3x-y+2=0 平 , 数 行若 列 S2 0 1 4 的值为( ) 1 { }的前 n 项和为 Sn,则 f?n?

2012 2013 A. B . 2013 2014 2014 21 01 C.2015 D 2012 .

第三章

第一节

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解析:∵f(x)=x2+bx,∴f ′(x)=2x+b, 由条件知 f ′() =3,∴b=1. 1 1 1 1 1 ∴f(x)=x +x,∴ = 2 =n- , f?n? n +n n+1
2

1 1 1 1 1 ∴Sn=(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 n n+1 n = , n+1 ∴S2 0 1 4 2014 =2015.

答案:C
第三章 第一节

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导数公式及运算法则

[例 3]

设 f0(x)=s x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?, n i )

fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2 (x)等于( 0 1 3 A.s x B.-s x n i n i C.cs x D.-cs x o o

第三章

第一节

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解析:f0(x)=s x, n i f1(x)=f0′(x)=( x)′=cs x, s n i o f2(x)=f1′(x)=(o x)′=-s x, cs n i f3(x)=f2′(x)=(-s x)′=-cs x, n i o f4(x)=f3′(x)=(-cs x)′=s x, o n i ∴4 为最小正周期,∴f2 (x)=f1(x)=cs x. o 0 1 3
答案:C

第三章

第一节

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()01 1 1· ( 2 ________.

黄 期 山 末 )已知 f(x)=x2+3xf ′() ,则 f ′() = 2 2

x x x () 函数 y=cs 2( 2-cs 2)的导数为________. 2 o s n i o ex+1 () 理)y= x 3 ( 的导数为____ ____ e -1 .

第三章

第一节

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解析:() ∵f ′(x)=2x+3f ′() , 1 2 ∴f ′() =4+3f ′() ,∴f ′() =-2. 2 2 2 x x x () ∵y=cs 2( 2-cs 2) 2 o s n i o x x 1 1 2x =cs s -cs = s x- (1+cosx) o n i o n i 2 2 2 2 2 1 1 =2( x-cs x)-2, s n i o 1 2 π ∴y′= (o x+s x)= s( x+ ). cs n i n i 2 2 4

第三章

第一节

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?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ () 理)y′= 3 ( ?ex-1?2 ex· x-1?-?ex+1?·x -2ex ?e e = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2

答 :) -2 案 ( 1

2 π () y′= 2 sin(x+4) 2

-2ex () 理)y′= x 3 ( ?e -1?2

第三章

第一节

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综合应用

[例 4]

(文)已知函数 f(x)=x3+x-16.

() 求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; 1 () 直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 2 的方程及切点坐标; () 如果曲线 y=f(x)的 一 线 直 3 某切与线 求切点坐标与切线的方程. 1 y=- x+3 垂直, 4

第三章

第一节

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解析:() ∵f ′(x)=3x2+1, 1 ∴f(x)在点(2,-6)处 切 的 率 的线斜为 ∴切线的方程为 13x-y-32=0. () 解法 1:设切点为(x0,y0), 2
2 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)=3x0+1, 3 ∴直线 l 的方程为 y=(3x2+1 x-x0)+x0+x0-16, ) ( 0

k=f ′() =13. 2

又∵直线 l 过原点(0 0) ,



∴0=(3x2+1 -x0)+x3+x0-16, ) ( 0 0
3 整理得,x0=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13.

第三章

第一节

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∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 解法 2:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x3+x0-16 0 则 k= = , x0 x0-0 x3+x0-16 0 又∵k=f ′(x0)=3x2+1,∴ =3x2+1, 0 0 x0 解之得,x0=-2,∴y0=-26,k=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

第三章

第一节

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x () ∵切线与直线 y=- +3 垂直, 3 4 ∴切线的斜率 k=4.
2 设切点坐标为(x0,y0),则 f ′(x0)=3x0+1=4,

?x =1 ? 0 ∴x0=± 1,∴? ?y0=-14 ?

?x =-1 ? 0 ,或? ?y0=-18 ?

. y=4x

∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 线 程 切方为 -18 或 y=4x-14. 即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0.

第三章

第一节

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(理)02 ( 1· 2

洛 市 范 中 考 阳 示 高 联

b )已知 f(x)=ax+ +2- x

2a(a>) 的图象在点(1,f() 处的切线与直线 y=2x+1 平行. 0 1 () 求 a,b 满足的关系式; 1 () 若 f(x)≥2 x 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 2 n l

第三章

第一节

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[解析]

b () f ′(x)=a- 2, 1 x

由题意知 f ′() =2,∴a-b=2. 1 a-2 () 设 g(x)=f(x)-2 x=ax+ x +2-2a-2 x, 2 n l n l a-2 2 ax2-2x-?a-2? g′(x)=a- 2 - = x x x2 a-2 a?x-1??x+ a ? = x2

第三章

第一节

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a-2 当- <1,即 a>1 时, a g(x)在[1,+∞)上单调递增, g(x)m =g() =a+a-2+2-2a=0, 1 n i ∴g(x)≥0,即 f(x)≥2 x 在[1,+∞)上恒成立, n l ∴a>1 符合题意, a-2 当- a =1 即 a=1 时, g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴a=1 符合题意,

第三章

第一节

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a-2 当- >1,即 0<a<1 时, a a-2 g(x)在[1,- )上 调 减 在 单递, a 递增, a-2 ∵g() =0,∴当 x∈[1,- 1 )时,g(x)0 , < a ∴0<a<1 不合题意, 综上所述,a≥1. a-2 (- ,+∞)上 调 单 a

第三章

第一节

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(文)01 ( 1· 2

1 3 1 2 5 镇模 江 拟 )曲线 y= x + x 在 F(1, )处 切 点 的线 3 2 6 ( )

与坐 两标 轴成三形面为 围的角的积 4 9 4 9 A. B . 3 6 14 4 4 9 4 9 C.1 D 7 8 . 2

第三章

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解析:∵y′=x2+x,∴y′|x=1=2,∴k=2; 函 则 数 y= 1 3 1 2 5 5 3 x + 2 x 在点F(1, 6 )处的切线方程为y- 6 =2(x-1),与坐标 7 7 轴的交点坐标为(0,- ),( ,0), 6 12 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 7 7 49 S=2×|-6|×12=144.
答案:B

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(理)01 ( 1· 2

临沂模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一 )

点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( A.1 B . 2 C. D . 2 2 3

第三章

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1 1 解析:y′=2x- ,令2x- =1, x x ∵x>0,∴x=1, ∴点P(1 1) , |1-1-2| = 2. 2 到直线y=x-2的距离最小,最小值为d=

答案:B

第三章

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课堂巩固训练

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一、选择题 1. (01 (文) 1· 2 方程为( ) 重庆文)曲线 y=-x3+3x2 在点(2 1) , 处的切线

A.y=3x-1 B .y=-3x+5 C.y=3x+5 D .y=2x

[答案]

A

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[解析]

∵y′=-3x2+6x,∴曲 在 线 点 (2 1) ,

处 切 的 的 线

斜率 k=-3+6=3,∴切线方程为 y-2=3(x-1). 即 y=3x-1.

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(理)01 ( 1· 2

s x n i 1 π 湖南文)曲线 y= - 在点 M( , 0)处的 4 s x+cs x 2 n i o ) 1 B.2 2 D. 2

切线的斜率为( 1 A.-2 2 C.- 2
[答案] B

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[解析]

cs x?s x+cs x?-s x?cs x-s x? o n i o n i o n i ∵y′= ?s x+cs x?2 n i o

1 π 1 = ,∴y′|x= = . 4 2 ?s x+cs x?2 n i o

第三章

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2.(文)01 ( 1· 2

信高月 阳中考

)已知二次函数f(x)的图象如图 )

所示,则其导函数f ′(x)的图象大致形状是(

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[答案]

B

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[解析]

因 二 函 在 为 次 数

(-∞,0)上 增 在 递 ,

(0,+∞)

上 减所 其 函 在 递 ,以 导 数 于 0,故选 B.

(-∞,0)上大于 0,在(0,+∞)上小

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(理)02 ( 1· 2 ′(x), 函 且数

重庆文)设 数 函

f(x)在 R 上 导 其 函 为 可,导数

f

f(x)在 x=-2 处 得 小 , 函 取 极 值则 数 )

y=xf ′(x)

的图象可能是(

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[答案] C

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[解析]

本考导的用函的象 题查数应,数图. f ′(-2)=0 且在 x=-2

由 f(x)在 x=-2 处 极 值 取小知

的左侧 f ′(x)0 ,而 x=-2 的右侧 f ′(x)0 ,因此,x<-2 < > 时,y=xf ′(x)0 ,x=-2 时,y=xf ′(x)=0,-2<x<0 时, > y=xf ′(x)0 , < x=0 时, y=xf ′(x)=0, x>0 时, y=xf ′(x)0 , > 故选 C. [点评] 函、数不式合题对生用数 数导、等综命,学应函

能力提出了较高要求.

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3.(01 21·

通模、 东沂检 州拟山临质
3

)已 直 知线

ax-by-2 )

=0 与曲线 y=x 在点 P(1 1) , 2 2 A. B.- 3 3 1 1 C.3 D.-3

a 处的切线互相垂直,则b为(

[答案]

D

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[解析]

由 y=x3 得 y′=3x2, 的线斜为 切的率 3.

即该曲线在点 P(1 1) ,

a a 1 由 3×b=-1,得b=-3.

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二、填空题 4.(文)曲线 y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴 直 , 1 线 x=a 所围成的三角形的面积为6,则 a=________.

[答案]

± 1

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[解析]

因为 y ′=3x2,所以曲线在(a,a3)处切线斜率为 3a2,

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切 方 为 线 程 : 的阴影部分.

y-a3=3a2(x-a)所 成 角 如 图 围 三 形 右

所示

设切线与 x 轴交于 A 点,则

?2 ? A?3a,0?;x=a ? ?

与x轴于 交

点 B(a,0);设切线与 x=a 交于 M(a,a3), 2a? 3 1 1? S△ABM=2?a- 3 ?· =6,得 a=± a 1 . ? ?

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(理)若 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2+2f ′() x+3,则?3f(x)dx 2 ? ?
?0

=________.

[答案]

-18

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[解析]

∵f(x)=x2+2f ′() x+3, 2

∴f ′(x)=2x+2f ′() ,∴f ′() =4+2f ′() , 2 2 2 ∴f ′() =-4,∴f(x)=x2-8x+3, 2 ∴ f(x)dx= [点评]
?3 ? ? ?0

?1 ?? 3 2 ? x -4x +3x??3=-18. 0 ?3 ??

注意 f ′() 是一个常数. 2

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