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§2.1 圆的标准方程

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§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程

1.两点间距离公式 已知P1(x1,y1), P2(x2,y2),则

P1 P2 ?

? x2 ? x1 ?

2

? ? y2 ? y1 ?

2

2.点到直线的距离公式

d?
y S

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d P0 (x0,y0) O R x
要化为一般式

生 活 掠 影
一石激起千层浪

福建土楼

奥运五环

小憩片刻
乐在其中

初中学习的圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

C

·

r

定点 定长

圆心 半径

在平面直角坐标系中,怎么用坐标的方法刻画圆呢?

1.掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆 的标准方程.(重点) 2.会用待定系数法求圆的标准方程.(难点)

探究点

圆的标准方程

思考1:直线可以用一个方程来表示,圆是否也
可以用一个方程来表示?你能推导出圆心为A(a,b), 半径为r的圆的方程吗?

设点M (x,y)为圆A上任一点, 则 |MA|= r 圆上所有点的集合 P = {M||MA|=r } o

y
r A (a,b)

M

(x,y)

x
2 2

( x - a ) + ( y - b) = r

2

2

? x ? a? ? ? y ? b?

?r

2

圆的标准方程 圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O C x

(x ?a) ? (y ? b)

2

2

? r (r ? 0)

2

r 若圆心为O(0,0),则圆的方程为: x ?y ?

2

2

2

x,y的系数相同

思考2:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有几个待 确定的量?要求它们需几个独立的条件? 提示:三个待确定的量a,b,r;要求它们需三个独 立的条件.

例1. 求以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的方程. 解:将圆心C(4,-6)、半径等于3代入圆的标准 方程,可得所求圆的方程为

(x ? 4) ? ( y ? 6) ? 9.
2 2

例2.已知两点M1(4, 9)和M2(6, 3),求以M1M2为直 径的圆的方程. 解:根据已知条件,圆心C(a,b)是M1M2的中点,那 么它的坐标为
4+ 6 9+ 3 a= = 5, b = = 6, 2 2

圆的半径为 r = | CM1 |= (4 - 5) 2 + (9 - 6) 2 = 10. 所求圆的方程为 ( x - 5) + ( y - 6) = 10.
温馨提示:中点坐标:A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为
2 2

x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ). 2 2

例3. ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,

-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个

圆,三角形有唯一的外接圆.
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所 以它们的坐标都满足方程.

解:设圆方程为 (x ? a) ? (y ? b) ? r .
2 2 2

y

? (5 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 , 则 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? ( ?3 ? b) ? r , ?(2 ? a)2 ? ( ?8 ? b)2 ? r 2 . ?

?2a ? 4b ? 16, 所以 ? ? a ? b ? ?1.
? a ? 2, ? 得 ? b ? ? 3, ? r ? 5. ?
2
-8

所以,所求圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25.
2

【变式练习】已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,

-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的
标准方程.
y

O

x

解:因为A(1,1),B(2,-2),所以AB的中点 3 1 ?2 ? 1 D ( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 所以AB的垂直平分线的方程为 1 1 3 y ? ? ( x ? ), 2 3 2 x ? 3 y ? 3 ? 0. 即

y

O

D

x

x ? ? 3, ? 由 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 得 ? ? y ? ? 2. ? ? x ? y ? 1 ? 0,

所以C(-3,-2), r ? AC ? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2)2 ? 5. 所以所求圆的标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

【提升总结】待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2 =r2.

(2)根据已知条件,建立关于a,b,r 的方程组.
(3)解方程组,求出a,b,r 的值,并把它们代入所设的方 程中去, 就得到所求圆的方程.

探究点2

点与圆的位置关系

思考1:点与圆的位置关系有几种? 提示:三种.分别为点在圆内,点在圆上和点在 圆外三种情形.

思考2:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C:

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ,如何判断点M在圆外、圆上、
2 2 2

圆内?
提示: (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

例4.已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以P1P2为直径的 圆的方程,并判断M(6,3),Q(8,1)是在圆上,圆外 还是圆内?

解:由P1P2为直径可知圆心的坐标为(4,6),半径 为 5, 所以圆方程为(x-4)2+(y-6)2=5, 把M,Q两点坐标代入圆的方程 (6-4)2+(3-6)2=13>5 (8-4)2+(1-6)2=41>5 所以M,Q两点均在圆外.

1.求下列圆的圆心与半径 ⑴圆 (x-1)2+ (y-1)2=9.圆心 (1, 1),半径3.
⑵圆 (x-2)2+(y+4)2=2. 圆心 (2, -4) ,半径 2. ⑶圆(x+1)2+(y+2)2=m2. 圆心 (-1, -2) ,半径|m|. 2. 你能快速说出下列圆的标准方程吗?
2 2 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 (1)圆心C(-3,4),半径为5.
2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 (2)圆心C(2,-1),半径为3.

3.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值

范围是( A )
A.-1<a<1 B.0<a<1

C.a>1或a<-1

D.a=±1

【解析】由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所

以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1,所以-1<a<1.

4. ( 2013·山东高考)过点 (3,1)作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的 弦,其中最短的弦长为 __________
【解析】 半径为 r ? 2 ,圆心为 ? 2,2 ? ,圆心到点 ? 3,1? 的 距 离
2 22 ?

d ?
2
2

?3 ? 2?
? 2 2

2

? ?1 ? 2 ? ?
2

2

, 所 求 最 短 弦 长 为

? ?

【答案】 2

2

.

5.写出下列各圆的方程:

(1)经过点P(5,1),圆心为点C(6,-2);
(2)过A(2,5),B(0,-1)点,且以 AB 为直径的圆. 答案:(1) ( x - 6) + ( y + 2) = 10
2 2 ( x 1) + ( y 2) = 10 (2)

2

2

6.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方
程,并判断点M(5,-7),N( 0,-1)是否在这

个圆上?

( x - 2)2 + ( y + 3)2 = 25
点M在圆上,点N在圆内.

7.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的标准方程. 解:设圆的标准方程为(x-a)? +(y-b)? =r? ,根据

已知条件可得
(1-a)?+(-1-b)?=r?,① (-1-a)?+(1-b)?=r?,② a+b-2=0, ③

联立①,②,③,解得a=1,b=1,r=2.
所以所求圆的标准方程为(x-1)?+(y-1)?=4.

1.圆的方程的推导步骤: 建系设点→写条件→列方程→化简→说明 2.圆的方程的特点: 点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径. 3.求圆的方程的两种方法:待定系数法和直接法. 4.点与圆的位置关系.

不是真正的朋友,再重的礼品也敲不开

心扉.
——培根


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