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正态分布讲解(含标准表)

时间:2015-04-25


2.4正态分布
复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设 想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线 叫做总体密度曲线.
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于 总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征 的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:

?? ,? ( x) ?
式中的实数

1 e 2??

?

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)
?? ,? ( x) 的 图 象 为

?

、 ? (?

? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 ,

正 态 分 布 密 度 曲 线 ,简 称 正 态 曲 线 . 讲解新课:

1

一般地,如果对于任何实数 a

? b ,随机变量 X 满足
b

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a
则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确定,因此正态分布 常记作 N (? , ?
2

) .如果随机变量

X 服从正态分布,则记为 X~ N (? , ?

2

).

经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从 或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的 结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞 的结果,所以它近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长 度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位 面积产量等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子 管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正态分布.因此,正 态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位. 说明:1 参数 ? 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计; ? 是衡量随机变 量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. 2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家高斯在研 究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布. 2.正态分布 N (? , ?
2

) )是由均值μ

和标准差σ 唯一决定的分布
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通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

2

3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线
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的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态
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曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质 4.正 态 曲 线 的 性 质 : (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称
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(3)当 x=μ 时,曲线位于最高点

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(4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数);当 x>μ 时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、右两
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边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定
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σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比 教学
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5 . 标 准 正 态 曲 线 : 当 μ =0 、 σ =l 时 , 正 态 总 体 称 为 标 准 正 态 总 体 , 其 相 应 的 函 数 表 示 式 是

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

,(-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线 准正态分布的概率问题

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标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标
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3

讲解范例: 例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ
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(1)

f ( x) ?

1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

(2)

f ( x) ?
f ( x) ?

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

(3)

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?

答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 例 2 求 标 准 正 态 总 体 在 ( -1 , 2 ) 内 取 值 的 概 率 . 解:利用等式

p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有

p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1

?? ?

= ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 . 1.标准正态总体的概率问题:
y

x

对于标准正态总体 N(0,1), ?( x0 ) 是总体取值小于 x0 的概率, 即

?( x0 ) ? P( x ? x0 ) ,
图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) ? 0,
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其中 x0

只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中

不难发现:当 x0

? 0 时, ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5

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2. 标 准 正 态 分 布 表 标准正态总体

N (0,1) 在 正 态 总 体 的 研 究 中 有 非 常 重 要 的 地 位 , 为 此 专 门 制 作 了 “ 标 准 正 态

分布表”.在这个表中,对应于

x0

的值

?( x0 )

是指总体取值小于

x0

的概率,即

?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , ( x0 ? 0) .
4



x0 ? 0 , 则 ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) .
利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任意区间

( x1 , x 2 ) 内 取 值 的 概 率 , 即 直 线

. x ? x1 , x ? x2 与 正 态 曲 线 、 x 轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 P( x1 ? x ? x 2 ) ? ?( x 2 ) ? ?( x 1) 3.非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过 F ( x )
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? ?(

x??

?

) 转化成标准正态总体,然后

查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差, 然后进行相应的
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转化

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4.小概率事件的含义 发生概率一般不超过 5%的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生 在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序,即“三步曲” 一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体; 二是确定一次试验中的 a 值是否落入(μ -3σ ,μ +3σ ); 三是作出判断 讲解范例: 例 1. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2). 解 : (1) P (-2.32< x <1.2)= ? (1.2)- ? (-2.32) = ? (1.2)-[1- ? (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P ( x >2)=1- P ( x <2)=1- ? (2)=l-0.9772=0.0228.
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假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几乎不可能
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例 2.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率: (1)在 N(1,4)下,求 F (3)
2
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(2)在 N(μ ,σ )下,求F(μ -σ ,μ +σ ); F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ );F(μ -2σ ,μ +2σ ); F(μ -3σ ,μ +3σ ) 解:(1) F (3) = ? ( (2)F(μ F(μ

? ? ?? ? ? ) =Φ (-1)=1-Φ (1)=1-0.8413=0.1587 -σ )= ? ( ?

3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? ) =Φ (1)=0.8413 +σ )= ? (

F(μ -σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413-0.1587=0.6826 F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ )=F(μ +1.84σ )-F(μ -1.84σ )=0.9342 F(μ -2σ ,μ +2σ )=F(μ +2σ )-F(μ -2σ )=0.954 F(μ -3σ ,μ +3σ )=F(μ +3σ )-F(μ -3σ )=0.997 对于正态总体 N (? , ?
2

) 取值的概率:

5

68.3%
x

95.4%
x

99.7%
x







在区间(μ -σ ,μ +σ )、(μ -2σ ,μ +2σ )、(μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率分别为 68.3%、 95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的
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一部分

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例 3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数, 而且该函数的最大值为

1 2?

, 求总体落入区间 (-

1.2,0.2)之间的概率

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解:正态分布的概率密度函数是

f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? (??,??) ,它是偶函数,说明μ



0,

f ( x) 的最大值为 f ( ? ) =

1 2? ?

,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分布

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P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
教学反思: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增
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大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体
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密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破 口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
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2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成:
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? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??) ,

(σ >0)

由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把它记为 N (? , ?
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2

)

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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值
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从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负两
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个方向都是以 x 轴为渐近线的

4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正态分布是 由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究 带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究 N (0 ,1 ),其他的正态分布都可以通过
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F ( x) ? ? (

x??

?
e

) 转化为

N(0,1),我们把 N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为

F ( x) ?

1 2?

1 ? x2 2

,x∈(-∞,+∞),从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的图形特征,

归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要
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了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质。

6





附表 1. 标准正态分布表

x

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.500 0

0.504 0

0.508 0

0.512 0

0.516 0

0.519 9

0.523 9

0.527 9

0.531 9

0.535 9

0.1

0.539 8

0.543 8

0.547 8

0.551 7

0.555 7

0.559 6

0.563 6

0.567 5

0.571 4

0.575 3

0.2

0.579 3

0.583 2

0.587 1

0.591 0

0.594 8

0.598 7

0.602 6

0.606 4

0.610 3

0.614 1

0.3

0.617 9

0.621 7

0.625 5

0.629 3

0.633 1

0.636 8

0.640 4

0.644 3

0.648 0

0.651 7

0.4

0.655 4

0.659 1

0.662 8

0.666 4

0.670 0

0.673 6

0.677 2

0.680 8

0.684 4

0.687 9

0.5

0.691 5

0.695 0

0.698 5

0.701 9

0.705 4

0.708 8

0.712 3

0.715 7

0.719 0

0.722 4

0.6

0.725 7

0.729 1

0.732 4

0.735 7

0.738 9

0.742 2

0.745 4

0.748 6

0.751 7

0.754 9

0.7

0.758 0

0.761 1

0.764 2

0.767 3

0.770 3

0.773 4

0.776 4

0.779 4

0.782 3

0.785 2

0.8

0.788 1

0.791 0

0.793 9

0.796 7

0.799 5

0.802 3

0.805 1

0.807 8

0.810 6

0.813 3

0.9

0.815 9

0.818 6

0.821 2

0.823 8

0.826 4

0.828 9

0.835 5

0.834 0

0.836 5

0.838 9

1.0

0.841 3

0.843 8

0.846 1

0.848 5

0.850 8

0.853 1

0.855 4

0.857 7

0.859 9

0.862 1

1.1

0.864 3

0.866 5

0.868 6

0.870 8

0.872 9

0.874 9

0.877 0

0.879 0

0.881 0

0.883 0

1.2

0.884 9

0.886 9

0.888 8

0.890 7

0.892 5

0.894 4

0.896 2

0.898 0

0.899 7

0.901 5

1.3

0.903 2

0.904 9

0.906 6

0.908 2

0.909 9

0.911 5

0.913 1

0.914 7

0.916 2

0.917 7

1.4

0.919 2

0.920 7

0.922 2

0.923 6

0.925 1

0.926 5

0.927 9

0.929 2

0.930 6

0.931 9

7

1.5

0.933 2

0.934 5

0.935 7

0.937 0

0.938 2

0.939 4

0.940 6

0.941 8

0.943 0

0.944 1

1.6

0.945 2

0.946 3

0.947 4

0.948 4

0.949 5

0.950 5

0.951 5

0.952 5

0.953 5

0.953 5

1.7

0.955 4

0.956 4

0.957 3

0.958 2

0.959 1

0.959 9

0.960 8

0.961 6

0.962 5

0.963 3

1.8

0.964 1

0.964 8

0.965 6

0.966 4

0.967 2

0.967 8

0.968 6

0.969 3

0.970 0

0.970 6

1.9

0.971 3

0.971 9

0.972 6

0.973 2

0.973 8

0.974 4

0.975 0

0.975 6

0.976 2

0.976 7

2.0

0.977 2

0.977 8

0.978 3

0.978 8

0.979 3

0.979 8

0.980 3

0.980 8

0.981 2

0.981 7

2.1

0.982 1

0.982 6

0.983 0

0.983 4

0.983 8

0.984 2

0.984 6

0.985 0

0.985 4

0.985 7

2.2

0.986 1

0.986 4

0.986 8

0.987 1

0.987 4

0.987 8

0.988 1

0.988 4

0.988 7

0.989 0

2.3

0.989 3

0.989 6

0.989 8

0.990 1

0.990 4

0.990 6

0.990 9

0.991 1

0.991 3

0.991 6

2.4

0.991 8

0.992 0

0.992 2

0.992 5

0.992 7

0.992 9

0.993 1

0.993 2

0.993 4

0.993 6

2.5

0.993 8

0.994 0

0.994 1

0.994 3

0.994 5

0.994 6

0.994 8

0.994 9

0.995 1

0.995 2

2.6

0.995 3

0.995 5

0.995 6

0.995 7

0.995 9

0.996 0

0.996 1

0.996 2

0.996 3

0.996 4

2.7

0.996 5

0.996 6

0.996 7

0.996 8

0.996 9

0.997 0

0.997 1

0.997 2

0.997 3

0.997 4

2.8

0.997 4

0.997 5

0.997 6

0.997 7

0.997 7

0.997 8

0.997 9

0.997 9

0.998 0

0.998 1

2.9

0.998 1

0.998 2

0.998 2

0.998 3

0.998 4

0.998 4

0.998 5

0.998 5

0.998 6

0.998 6

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3

0.998 7

0.999 0

0.999 3

0.999 5

0.999 7

0.999 8

0.999 8

0.999 9

0.999 9

1.000 0

8


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