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2019年高中数学人教A版选修1-1学业分层测评9 双曲线及其标准方程 Word版含解析

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学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 x2 y2 1.双曲线25- 9 =1 的两个焦点分别是 F1,F2,双曲线上一点 P 到 F1 的距离是 12,则 P 到 F2 的距离是( A.17 C.7 或 17 B.7 D.2 或 22 )

x2 y2 【解析】 由双曲线方程25- 9 =1 得 a=5, ∴||PF1|-|PF2||=2×5=10. 又∵|PF1|=12,∴|PF2|=2 或 22. 故选 D. 【答案】 D

2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程 为( ) y2 A.x - 3 =1
2

x2 2 B. 3 -y =1 x 2 y2 D. 2 - 2 =1

x2 C.y - 3 =1
2

【解析】 由双曲线定义知, 2a= ?2+2?2+32- ?2-2?2+32=5-3=2, ∴a=1. 又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,

y2 因此所求双曲线的标准方程为 x - 3 =1.
2

【答案】

A

3.设动点 M 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)的距离的差等于 6, 则 P 点的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x<0) ) y 2 x2 B. 9 -16=1 x 2 y2 D. 9 -16=1(x>0)

【解析】 由双曲线的定义得,P 点的轨迹是双曲线的一支.由
? ?2c=10, x2 y2 ? 已知得 ∴a=3, c=5, b=4.故 P 点的轨迹方程为 9 -16= ?2a=6, ?

1(x>0),因此选 D. 【答案】 D

x2 y2 4.已知双曲线 6 - 3 =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上, 且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为( 3 6 A. 5 6 C.5 5 6 B. 6 5 D.6 )

【解析】 不妨设点 F1(-3,0),

容易计算得出 |MF1|= 3 6 = 2 2,

|MF2|-|MF1|=2 6.

5 解得|MF2|=2 6. 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中, 1 1 由2|MF1|· |F1F2|=2|MF2|· d, 6 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为5.故选 C. 【答案】 C x2 y 2 x2 y2 5. 椭圆 4 +a2=1 与双曲线 a - 2 =1 有相同的焦点, 则 a 的值是 ( ) 1 A.2 1 C.1 或2 B.1 或-2 D.1

【解析】 由于 a>0,0<a2<4,且 4-a2=a+2,所以可解得 a =1,故选 D. 【答案】 二、填空题 6.经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7),且焦点在 y 轴上的双 曲线的标准方程是________. 【解析】 【导学号:26160046】 D

设 双 曲 线 的 方 程 为 mx2 + ny2 = 1(mn<0) , 则

?m=-75, ? ?9m+28n=1, ? 解得? 1 ? ?72m+49n=1, ? ?n=25,
=1. y2 x2 【答案】 25-75=1

?

1

y2 x2 故双曲线的标准方程为25-75

x2 y2 7.已知方程 + =1 表示的曲线为 C.给出以下四个判断: 4-t t-1 ①当 1<t<4 时,曲线 C 表示椭圆;②当 t>4 或 t<1 时,曲线 5 C 表示双曲线;③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<2; ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 t>4. 其中判断正确的是________(只填正确命题的序号). 5 【解析】 ①错误,当 t=2时,曲线 C 表示圆;②正确,若 C 为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1 或 t>4;③正确,若 C 为焦点 5 在 x 轴上的椭圆,则 4-t>t-1>0.∴1<t<2;④正确,若曲线 C 为
? ?4-t<0 焦点在 y 轴上的双曲线,则? ,∴t>4. ?t-1>0 ?

【答案】 ②③④ x2 y2 8.已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,点 A(1,4),P 是双曲线 右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. 【解析】 设右焦点为 F′,依题意,

|PF|=|PF′|+4,∴|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+ 4≥|AF′|+4=5+4=9. 【答案】 9 三、解答题 x2 y2 9.求以椭圆16+ 9 =1 短轴的两个端点为焦点,且过点 A(4,-

5)的双曲线的标准方程. x2 y2 【解】 由16+ 9 =1,得 a=4,b=3,所以短轴两端点的坐标 为(0,± 3),又双曲线过 A 点,由双曲线定义得 2a=| ?4-0?2+?-5-3?2- ?4-0?2+?-5+3?2| =2 5,∴a= 5,又 c=3, 从而 b2=c2-a2=4, 又焦点在 y 轴上, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 5 - 4 =1. 10.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦 1 点和右焦点,且三个内角 A,B,C 满足关系式 sin B-sin A=2sin C. (1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程. 【解】 x2 2 (1)将椭圆方程化为标准形式为 5 +y =1.

∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4. 1 (2)∵sin B-sin A=2sin C, 1 ∴由正弦定理得|CA|-|CB|=2|AB|=2<|AB|=4, 即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, y2 ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x - 3 =1(x>1).
2

[能力提升]

1.已知 F1,F2 分别为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则|PF1||PF2|=( A.2 C.6 B.4 D.8 )

【解析】 由题意, 得||PF1|-|PF2||=2, |F1F2|=2 2.因为∠F1PF2 = 60° ,所以 |PF1|2+ |PF2|2- 2|PF1|· |PF2|· cos 60° = |F1F2|2,所以 (|PF1| 1 -|PF2|)2+2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|×2=8,所以|PF1|· |PF2|=8-22=4. 【答案】 B 2.(2016· 临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0), → · → → |MF → | F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF 1 MF2 =0 ,|MF1 |· 2 =2,则该双曲线的方程是( x2 2 A. 9 -y =1 x2 y2 C. 3 - 7 =1 ) y2 B.x - 9 =1
2

x 2 y2 D. 7 - 3 =1

【解析】 由双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a,两边平方得:|MF1|2 →· → +|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,因为MF 1 MF2=0,故△MF1F2 为直角三 → |· → 角形,有 |MF1|2+ |MF2|2= (2c)2=40,而|MF 1 | MF2 | = 2 ,∴ 40 - 2×2 x2 2 =4a ,∴a =9,∴b =1,所以双曲线的方程为 9 -y =1.
2 2 2

【答案】

A

3. 若 F1, F2 是双曲线 8x2-y2=8 的两焦点, 点 P 在该双曲线上, 且△PF1F2 是等腰三角形,则△PF1F2 的周长为________. y2 【解析】 双曲线 8x -y =8 可化为标准方程 x - 8 =1,所以 a
2 2 2

=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点 P 在该双曲线上,且△PF1F2 是等腰

三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6,或|PF2|=|F1F2|=6,当|PF1|=6 时,根 据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4, 所以△PF1F2 的周长为 6+6+4=16;同理当|PF2|=6 时,△PF1F2 的周长为 6+6+8=20. 【答案】 16 或 20 4.如图 2-2-2,已知双曲线中 c=2a,F1,F2 为左、右焦点,P 是双曲线上的点,∠F1PF2=60° ,S△F1PF2=12 3.求双曲线的标准 方程. 【导学号:26160047】

图 2-2-2 x2 y2 【解】 由题意可知双曲线的标准方程为a2-b2=1. 由于||PF1|-|PF2||=2a, 在△F1PF2 中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos 60° = = 2|PF1|· |PF2| ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1|· |PF2|-|F1F2|2 , 2|PF1|· |PF2| 所以|PF1|· |PF2|=4(c2-a2)=4b2, 1 3 所以 S△F1PF2=2|PF1|· |PF2|· sin 60° =2b2·2 = 3b2, 从而有 3b2=12 3,所以 b2=12,c=2a,结合 c2=a2+b2,得 a2=4. x2 y2 所以双曲线的标准方程为 4 -12=1.


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