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2011年高考试题——数学理(重庆卷)精校版

时间:2011-10-23


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类)
数学试题卷(理工农医类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选其他答案标号。 3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。
[来源:高考资源网 KS5U.COM]

一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项 中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数 (A) ?

i 2 ? i3 ? i 4 ? 1? i
(B) ?

1 1 ? i 2 2 1 1 (C) ? i 2 2
(2)
n

1 1 ? i 2 2 1 1 (D) ? i 2 2

x ? ??n 是 n x ? ?? ? ?n 的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (3)已知 lim(
x ??

(A) ??
n

? ax ?? ? ) ? ? ,则 a ? x ?? ?x
(B) 2 (C) 3
5

(D) 6
6

(4) (1 ? 3x) (其中n ? N 且n≥6) 的展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n = (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

ln(2 ? x) 在其上为增函数的是 ? (5)下列区间中,函数 f ( x) =?
(A) ?,1 ] ((B) ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

(C) ? 0,

? 3 ? 2

?

(D) ?1, 2 ?

( (6)若 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则
2 2

ab 的值为 (A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C) 1

(D)

2 3

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(7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= (A)

7 2
2 2

(B)4

1 4 ? 的最小值是 a b 9 (C) 2

(D) 5

(8)在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD ,则 四边形 ABCD 的面积为 (A) 5 2 (B) 10 2 (C) 15 2 (D) 20 2

(9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半 4

径为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 (A)

2 4

(B)

2 2
2

(C) 1

(D)

2

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(10)设 m,k 为整数,方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的 最小值为 (A)-8 (B)8

(C)12

(D) 13

二填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上 (11)在等差数列 {an } 中, a3 ? a1 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ (12)已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ (13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 __________ (14)已知 sin ? ?

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 的值为__________ ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

(15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C
2

的半径能取到的最大值为__________ 三解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分) 设 a ? R ,f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
3

? ?? ? ? x ? 满足 f ( ? ) ? f (0) , 求函数 f ( x) 3 ?2 ?

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在?

? ? 11? ? 上的最大值和最小值 ? ? 4 24 ? ?

(17) (本小题满分 13 分)(Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望。 (18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x) ? x ? ax ? bx ?? 的 导 数 f ' (x ) 满 足 f ' ( ) ? ?a , f ' ( )? ? , 其 中 常 数 ? ? b
? ?

a, b ? R 。
(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e
?x

,求函数 g ( x) 的极值。

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 如题 (19) 在四面体 ABCD 中, 图, 平面 ABC ? 平面 ACD ,AB ? BC ,AD ? CD , ?CAD ? ??? 。 (Ⅰ)若 AD ? ? , AB ? ?BC ,求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ) 若二面角 C ? AB ? D 为 ??? ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

题(19)图 (20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? . ?

OP ? OM ? ?ON , (Ⅱ) 设动点 P 满足: 其中 M , N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON
的斜率之积为 ?

uur u

uuur

uuu r

? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF? ? PF? 为定值?若存在,求 ?
[来源:高考资源网 KS5U.COM]

F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

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x ? ?2 2

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设实数数列 ? an ? 的前 n 项和 sn ,满足 sn ?1 ? an ?1sn (n ? N )
?

(Ⅰ)若 a1 , s1 , ?2a2 成等比数列,示 S1 和 a3 ; (Ⅱ)求证:对 k ? 3 有 0 ? ak ?1 ? an ?

4 3

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