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湖北省枣阳市高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

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湖北省枣阳市高级中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1. 不等式 ( a -2)x +2( a -2) x -4<0,对一切 x ∈R 恒成立, 则 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-∞,2)
2 2.集合 A ? 0, 2, a , B ? ?1, a? ,若 A ? B ? ?1 ? ,则 a 的值为(

?

?

)

A. 0

B. 1

C.-1

D. ?1

3. 已知数列 ?an ? : , ? 前 n 项和为( )

1 2

1 3

? 1 ? 2 1 2 3 1 2 3 4 , ? ? , ? ? ? , ?, 那么数列 ?bn ? = ? ? 3 4 4 4 5 5 5 5 ? a n a n ?1 ?

1 ) n ?1 1 C. 1 ? n ?1
A. 4(1 ?
2

1 1 ? ) 2 n ?1 1 1 ? D. 2 n ?1
B. 4(

4.函数 y ? 9 ? ? x ? 5 ? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不 可能成为该数列的公比的数是( A. ) C. 3 D. 5

3 4

B. 2

第二部分 (非选择题 共 110 分)
2 5.若命题 p : ?? ? R , cos(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : ? x ? R , x ? 1 ? 0 . 则下面结论

正确的是 ( A. p 是假命题

) B. q 是真命题
?

C. p ? q 是假命题

D. p ? q 是真命题

2 2 6 . 在 ?? 1,1? 上 任 取 两 数 x 和 y 组 成 有 序 数 对 ? x, y ? , 记 事 件 A 为 “ x ? y ? 1 ”, 则

P( A) ? (
A、

) B、

? 4

? 2

C、 ?

D、 2?

7.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C .5 D.6 8.以下命题正确的是 (A)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是棱台;

1

(B)在 ?ABC 中,若 sin A= (C)“ e
x ?1

1 3 ,则 tan A= ; 2 3

? 1”是“ log3 ( x ? 2) ? 1 ”的必要不充分条件;
c c ? ”的逆命题是真命题. a b

(D)“若 a ? b ? 0 且 c ? 0 ,则

9 .设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底 角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
1
A. 2 10.( 原创题) 已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? ,当 x1 ? x2 ? 0,

2
B. 3

?
C. ?

?
D. ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则满足 x2 ? x1

?1? f? ?x? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( ? ?
A. ?? 1,1? 11.设等差数列 A.18 B. ?0,1?

) D. ?? ?,?1? ? ?1,??? ( )

C. ?? 1,0? ? ?0,1?

?an ?的前 n 项和为
C.45

S n ,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 S 9 等于
D.60

B.36

12.设集合 U ? {1 ,,, 2 3 4} , A ? {1 , 3} , B ? {3, 4} ,则 CU ( A ? B) ? ( A. {1 ,, 3 4} B. {1, 4} C. {2} D. {3}



第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.若 1 ? m ? 2 ,则 a ? 2 , b ? log1 m, c ? 0.2 则这三个数从大到小的顺序是
m m 2



14.下列命题: (1)若函数 f ( x) ? lg( x ? 为奇函数,则 a ? 1 ; x 2 ? a)

(2)函数 f ( x) ? sin x 的周期 T ? ? ; (3)方程 lg x ? sin x 有且只有三个实数根;

2

(4)对于函数 f ( x) ?

x ,若

0 ? x1 ? x2,则 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? ( x2 ) )? . 2 2

其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号) 15.过点 A(11, 2) 作圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中最长的弦长为 a ,最短的弦长 为 b ,则

a ?b ?

.

16.已知函数 y=f(x)是偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立.当 x1、x2∈[0, 3],且 x1≠x2 时,都有

( f x1)-( f x2) >0,给出下列命题: x1-x2

①f(3)=0; ②直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为单调增函数; ④函数 y=f(x)在[-9,9]上有 4 个零点. 其中正确的命题是________.(填序号) 三、解答题(70 分) 17. 12 分) 已知 角 ? 是第三象限角,且 (1)化简 f (? ) ;

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan( ? ? ? ) sin(?? ? ? )

cos( ? ?
( 2)若

3? 1 )? 2 5 ,求 f (? ) 的值.
f ( x) ? x ?1 x ?1

18. (12 分) 已知函数 (1)用定义证明函数的单调性; (2)求函数的最大值和最小值。 19.(本题满分 10 分)

,x ∈ [ 3 , 5 ] ,

在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 试判断△ABC 的形状。 20. (本题 12 分)已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),x=a+(t +1)b,y=-ka+ b,m ∈R,k、t 为正实数. (1)若 a∥b,求 m 的值; (2)若 a⊥b,求 m 的值; (3)当 m=1 时,若 x⊥y,求 k 的最小值. 21. (本题 12 分)已知首项为
2

1 t

3 * 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ), 2
3

且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn=Sn-

1 * (n∈N ),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn

22. (本题 12 分)如图,一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船 的北偏东 20 的方向,30 min 后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东 65 的方向,已知 距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
? ?

65

?

S 北

B

西



20?

南 A

参考答案 1.B 2 【解析】因为不等式( a -2) x +2( a -2) x -4<0,对一切 x ∈R 恒成立,则对二次项系 数是否为零,分为两种情况来解得,求解得到 a 的取值范围是(-2,2] ,选 B 2.C
2 【解析】解析:∵ A ? 0, 2, a , B ? ?1, a? , A ? B ? ?1 ?∴?

?

?

?a 2 ? 1 ? a ?1

∴ a ? ?1 ,故选 C

3.A 【解析】解: an ?

1 1 1 1 ? 2 ? ... ? n n ? 4( ? ) ,所以 {bn } 的前 n 项和为 ? , bn ? an an ?1 n n ?1 n ?1 2

4

1 1 1 1 1 1 Sn ? 4(1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? 4(1 ? )。 2 2 3 n n ?1 n ?1
4..D 【解析】函数等价为 ( x ? 5) ? y ? 9, y ? 0 ,表示为圆心在 (5,0) 半径为 3 的上半圆,圆
2 2

上点到原点的最短距离为 2,最大距离为 8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 q 应有

8 ? 2q 2 ,即 q 2 ? 4, q ? 2 ,最小的公比应满足 2 ? 8q 2 ,所以 q 2 ?
的取值范围为 5.D 【解析】

1 1 , q ? ,所以公比 4 2

1 ? q ? 2 ,所以选 D. 2

试题分析: 由 cos(? ? ? ) ? cos ? 得,? cos ? ? cos ? ,cos ? ? 0, ? ? k? ?

?
2

, k?Z , 所以,

2 p 是真命题;又 x ? 1 ? 0 恒成立,所以, q 是真命题;因此, p ? q 是真命题,故 选 D .

考点:简单逻辑联结词,存在性命题,全称命题. 6.A 【解析】 试题分析:解:∵区间[-1,1]上任取两数 x,y 组成有序数对(x,y) ,围成区域图形的面 积为 4;事件 A 为“ x ? y ? 1 ”,围成区域图形的面积为 π ,∴P(A)=
2 2

? 故答案为 A 4

考点:几何概型 点评: 本题考查几何概型,解题的关键是确定所对图形的面积,属于基础题. 7.B 【解析】 试题分析: a3 ? a11 ? 2a 7 ? 24 ,所以 a7 ? 12 ,所以 3d ? a7 ? a4 ? 9 ,所以 d ? 3 . 考点:等差数列的性质 点评:熟练掌握等差数列的基本性质 d ?

am ? an ,是快速解决本题的关键. m?n

8.C 【解析】 试题分析:根据题意,对于(A)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何 体是棱台,可能是圆台,错误。 对于(B)在 ?ABC 中,若 sin A= 对于(C)“ e
x ?1

1 3 3 ,则 tan A= ;可能是负数,错误 2 3 3

? 1 ? x ? 1 ”是“ log3 ( x ? 2) ? 1 ? ?2 ? x ? 1 ”的必要不充分条件,成立。
c c ? ”的逆命题是真命题,当 a,b 为负数时不成立, a b

对于(D)“若 a ? b ? 0 且 c ? 0 ,则 故错误选 C.

5

考点:命题的真假 点评:主要是考查了命题的真假运用,以及充分条件的判定运用,属于中档题。 9.C
? 【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 1 是 底 角 为 30

F2 F1 ? F2 P

,

, 因 为

?PF1 F2 ? 300 , 所 以

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2 3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 所以 2 a 4 4

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

10.C 【解析】根据单调性定义, x1 ? x2 ? 0,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 我们可以得到 x2 ? x1

f ?x ? 是 (??,0) 上 的 单 调 减 函 数 , 结 合 奇 函 数 在 对 称 区 间 上 单 调 性 一 致 ,
?1? 1 1? | x | f? ?x? ? ? f ?1? ?| x |? 1 ? | x | ? 0 ,解得为 C. ? ?
11.C 【解析】 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5,? a5 ? 5. 则 S9 ? 12.C 【解析】? ( A ? B) ? {1,3,4} ,? CU ( A ? B) ? {2} ,故选 C。 13.a>c>b 【解析】 考点:对数值大小的比较;指数函数的定义、解析式、定义域和值域。 m 2 2 m 分析:由 1<m<2,知:2<2 <2 =4,-1=log1/22<log1/2m<log1/21=0,0.2 =0.04<c=0.2 < m m 0.2,由此能得到 a= 2 ,b=log1/2m,c=0. 2 这三个数从大到小的顺序。 解答: ∵1<m<2, m 2 ∴2<2 <2 =4, -1= log1/22<log1/2m<log1/21=0, 2 m 0.2 =0.04<c=0.2 <0.2, ∴a>c>b. 故答案为:a>c>b。 点评:本题考查对数值、指数值大小的比较,是基础题,解题地要认真审题,注意指数函安

9(a1 ? a9 ) ? 9a5 ? 45. 故选 C 2

6

息、对数函数性质的灵活运用。 14. (1) (2) (3) 【解析】 试题分析: ( 1 )函数 f ? x ? 是奇函数 ? f ?0? ? 0 ?a ? 1 ( 2 )函数 f ( x ) ? sin x 的周期

T ? 2? ,做出 f ( x) ? sin x 的图像可知周期 T ? ? (3)做出 f ? x ? ? lg x, g ? x ? ? sin x 的
图像, 通过图像观察可知两函数有三个交点, 所以方程 lg x ? sin x 有且只有三个实数根 ( 4)

f(
f(

x1 ? x2 )? 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? ( x2 ) , ? 2 2

x1 ? x2 两 式 平 方 后 比 较 大 小 得 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? ( x2 ) )? 2 2

考点:函数周期性奇偶性单调性 点评: (3)中判断方程的实数根的个数转化为两函数图象的交点个数,从而可以画图像观察 得结果,避免了数据的计算 15. 16 【解析】先把圆整理成标准方程,求得圆心和半径,判断 出点 A 在圆内,推断出最长的 弦 为圆的直径 求得 a,最短的是与圆心与 A 连线垂直的直线所截得的弦,利用点到直线的距离 求得 OA,进而利用勾股定理求得弦长,最后二者相减求得答案. 2 2 解:整理圆的方程得(x+1) +(y-2) =169,设圆心为 O 可知点 A 在圆内,则最长的弦为圆的直径 a=26, 最短的弦是与圆心与 A 连线垂直的直线所截得的弦 OA=
2 ? ?11 ? 1??

=12,弦长 b=2 169 ? 144 ? 10

∴a-b=26-10=16 故答案为:16 16.①②④ 【解析】令 x=-3,得 f(-3)=0,由 y=f(x)是偶函数,所以 f(3)=f(-3)=0,①正确; 因为 f(x+6)=f(x),所以 y=f(x)是周期为 6 的函数,而偶函数图象关于 y 轴对称,所以 直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,②正确;由题意知,y=f(x)在[0,3]上 为单调增函数,所以在[-3,0]上为单调减函数,故 y=f(x)在[-9,-6]上为单调减函数, ③错误;由 f(3)=f(-3)=0,知 f(-9)=f(9)=0,所以函数 y=f(x)在[-9,9]上有个 零点,④正确.

sin ? ? cos ? ? (? tan ? ) = ? cos? ??????? ?(6 分) tan ? ? sin ? 3? 1 1 ) ? , ∴ sin ? ? ? , 又∵ ? 是第三象限角 (2)∵ cos( ? ? 2 5 5
17.解:(1)

f (? ) ?



cos? ? ?

2 6 5

∴ f (? ) = ? cos? =

2 6 5

??????(12 分)

【解析】略 18.略

7

【解析】解: (1)证明:设 x1, x2∈[3,5],且 x1<x2

x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 2( x1 ? x 2 ) ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
f(x1) - f(x2) = ∵x1,x2∈[3,5] ∴x1+1>0 , x2+1>0 ∵x1<x2 ∴x1-x2<0 ∴f(x1)- f(x2) <0 即 f(x1) < f(x2) ∴f(x)在[3,5]为增函数。 (2)∵f(x)在[3,5]为增函数

1 ∴当 x=3 时函数取最小值 f(3)= 2
当 x=5 时函数取最大值 f(5)= 19.△ABC 是直角三角形。 【解析】 本试题主要是考查了解三角形的运用。 利用正弦定理和两角和差的三角函数关系式, 得到结论。 解: a cos A ? b cos B ? c cos C,sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C

sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C, 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin C cos C cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0
cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?

?
2

或B ?

?
2

所以△ABC 是直角三角形。 另种解法 :化成边也可以。 20. (1)m=-4.(2)m=1(3)2. 【解析】(1)因为 a∥b,所以 1·m-2·(-2)=0,解得 m=-4. (2)因为 a⊥b,所以 a·b=0, 所以 1·(-2 )+2m=0,解得 m=1. (3)当 m=1 时,a·b=0. 因为 x⊥y,所以 x·y=0. 则 x·y=-ka + ? -( k t 2+1 ) ? a·b+(t+ )b =0.
2 2

?1 ?t

? ?

1 t

因为 t>0,所以 k=t+ ≥2,当 t=1 时取等号, 即 k 的最小值为 2. 21. (1)(-1)
n- 1

1 t

3 7 (2) n 12 2
8

【解析】(1)解 设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以

S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2=

a5 1 = . a3 4

又{an}不是递减数列且 a1=

2 1 ,所以 q=- . 3 2

故等比数列{an}的通项公式为

an=

2 ? 1 ? n-1 n-1 3 × ? ? ? =(-1) . 3 ? 2? 2n

1 ? 1+ n ,n为奇数, ? ? 1?n ? 2 (2)由(1)得 Sn=1- ? ? ? = ? ,当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小, ? 2 ? ?1- 1 ,n为偶数 ? ? 2n
所以 1<Sn≤S1=

3 3 2 5 1 1 ,故 0<Sn- ≤S1- = - = 2 Sn S1 2 3 6 3 3 4 1 1 =S2≤Sn<1,故 0>Sn- ≥S2- = - 4 Sn S2 4 3

当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以

=-

7 . 12
*

综上,对于 n∈N ,总有-

7 5 1 ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6 5 , 6

所以数列{Tn}最大项的值为 最小项的值为-

7 . 12

22.可以继续沿正北方向航行 n mile , ?ABS ? 115 ? ,根据正弦定理, 【解析】在 △ ABS 中, AB ? 32.2? 0.5? 16.1

AS AB , ? sin ?ABS sin ? 65? ? 20? ? AS ? AB ? sin B ? AB ? sin ?ABS ? 2 ? 16.1? sin115? ? 2 , ? ? sin ? 65 ? 20 ?

S 到直线 AB 的距离是
. d ? AS ? sin 20? ? 16.1? sin115? ? 2 ? sin 20? ? 7.06 (cm) 所以这艘船可以继续沿正北方向航行.

9


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