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【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修五学案:第一章 2.2 等差数列的前n项和(一)

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2.2 学习目标 等差数列的前 n 项和(一) 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程, 体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系,能够由其中三个求另外两个. 知识点一 等差数列前 n 项和公式的推导 思考 高斯用 1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50 迅速求出了 等差数列前 100 项的和. 但如果是求 1+2+3+…+n, 不知道共有奇数项还是偶数项怎么办? 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前 n 项和,其方法如下: Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]; Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]. 两式相加,得 2Sn=n(a1+an), n?a1+an? 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn= . 2 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d, 代入上式可得 Sn=na1+____________. 知识点二 等差数列前 n 项和公式的特征 思考 1 等差数列{an}中,若已知 a2=7,能求出前 3 项和 S3 吗? 思考 2 我们对等差数列的通项公式变形:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),分析出通项公式 n?n-1? 与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下 Sn=na1+ d 吗? 2 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn,有下面几种常见变形: a1+an (1)Sn=n· ; 2 d d (2)Sn= n2+(a1- )n; 2 2 Sn d d Sn d (3) = n+(a1- )({ }是公差为 的等差数列). n 2 2 n 2 知识点三 等差数列前 n 项和公式的性质 思考 若{an}是公差为 d 的等差数列. 那么 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 是等差数列吗?如果是,公差是多少? 梳理 等差数列的前 n 项和常用性质.(1)Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列,公差为 m2d. (2)项的个数的“奇偶”性质. {an}为等差数列,公差为 d.设 S 奇为前 n 项中序号为奇数的项之和.S 偶为前 n 项中序号为偶 数的项之和. S偶 an+1 ①若共有 2n 项,则 S2n=n(an+an+1);S 偶-S 奇=nd; = . S奇 an S偶 n ②若共有 2n+1 项,则 S2n+1=(2n+1)an+1;S 偶-S 奇=-an+1; = . S奇 n+1 类型一 求和 命题角度 1 根据条件选择公式求和 例 1 等差数列{an}中,公差为 d,Sn 为前 n 项和. (1)a1=3,d=2,求 S10; (2)a1=105,an=994,d=7,求 Sn. 反思与感悟 等差数列前 n 项和公式有 2 个:Sn=na1+ 条件选择,当条件不具备时,缺什么求什么. 跟踪训练 1 ________. (2)等差数列{an}中,a4+a7=0,则前 10 项的和为________. 命题角度 2 实际问题求和 例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为 1 150 元,购买当天先

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