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创新设计2016_2017学年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.4平面与平面垂直的性质课时作业

时间:2017-03-05

2.3.4

平面与平面垂直的性质

【课时目标】 1.理解平面与平面垂直的性质定理.2.能应用面面垂直的性质定理证 明空间中线、面的垂直关系.3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.

1.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内________于________的直 线与另一个平面垂直. 用符号表示为:α ⊥β ,α ∩β =l,a? α ,a⊥l? ________. 2.两个重要结论: (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在 ________________________.

图形表示为: 符号表示为:α ⊥β ,A∈α ,A∈a,a⊥β ? ________. (2)已知平面 α ⊥平面 β ,a?α ,a⊥β ,那么________(a 与 α 的位置关系).

一、选择题 1.平面 α ⊥平面 β ,直线 a∥α ,则( ) A.a⊥β B.a∥β C.a 与 β 相交 D.以上都有可能 2.平面 α ∩平面 β =l,平面 γ ⊥α ,γ ⊥β ,则( ) A.l∥γ B.l? γ C.l 与 γ 斜交 D.l⊥γ 3.若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 4.设 α -l-β 是直二面角,直线 a? α ,直线 b? β ,a,b 与 l 都不垂直,那么( A.a 与 b 可能垂直,但不可能平行 B.a 与 b 可能垂直,也可能平行 C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D.a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 5.已知两个平面互相垂直,那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线,垂足必落在交线上 ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一个平面 A.4B.3C.2D.1

)

π 6.如图所示,平面 α ⊥平面 β ,A∈α ,B∈β ,AB 与两平面 α 、β 所成的角分别为 4 π 和 .过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为 A′、B′,则 AB∶A′B′等于( 6 )

-1-

A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3 二、填空题 7.若 α ⊥β ,α ∩β =l,点 P∈α ,PD/∈l,则下列命题中正确的为________.(只填 序号) ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β ; ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β ; ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β ; ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内. 8.α 、β 、γ 是两两垂直的三个平面,它们交于点 O,空间一点 P 到 α 、β 、γ 的距 离分别是 2cM、3cM、6cM,则点 P 到 O 的距离为________. 9.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必 在__________.

三、解答题 10.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC. 求证:BC⊥AB.

11.如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60°且边长 为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

能力提升 12.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠BCD=120°,平面 PCD⊥平
-2-

面 ABCD,PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

13.如图所示,在多面体 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角 形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点, 求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

1.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理,应用时应注意: (1)两平面垂直;(2)直线必须在一个平面内; (3)直线垂直于交线. 2.此定理另一应用:由一点向一个平面引垂线,确定垂足位置是求几何体高的依据.

2.3.4 知识梳理 1.垂直 交线 a⊥β 2.(1)第一个平面内 a? α 作业设计 1.D 2.D

平面与平面垂直的性质答案

(2)a∥α

-3-

[在 γ 面内取一点 O, 作 OE⊥m,OF⊥n, 由于 β ⊥γ ,γ ∩β =m, 所以 OE⊥面 β ,所以 OE⊥l, 同理 OF⊥l,OE∩OF=O, 所以 l⊥γ .] 3.A [若存在 1 条,则 α ⊥β ,与已知矛盾.] 4.C 5.B 6.A

[如图: 由已知得 AA′⊥面 β , π ∠ABA′= , 6 π BB′⊥面 α ,∠BAB′= , 4 3 2 a,BB′= a, 2 2 1 AB 2 在 Rt△BA′B′中,A′B′= a,∴ = .] 2 A′B′ 1 7.①③④ 解析 由性质定理知②错误. 8.7cm 解析 P 到 O 的距离恰好为以 2cm,3cm,6cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长. 9.直线 AB 上 解析 由 AC⊥BC1,AC⊥AB, 得 AC⊥面 ABC1,又 AC? 面 ABC, ∴面 ABC1⊥面 ABC. ∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上. 10.证明 设 AB=a,则 BA′=

在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC? 平面 PBC, ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,
-4-

∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB? 平面 PAB,∴BC⊥AB. 11.证明

(1)连接 PG,由题知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60°,∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. 所以 AD⊥平面 PBG,所以 AD⊥PB. 12.证明 设 AC∩BD=O, 连接 EO, 则 EO∥PC.∵PC=CD=a,

PD= 2a,∴PC +CD =PD , ∴PC⊥CD. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,CD 为交线, ∴PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD. 又 EO? 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 13.(1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, 2 2 2 ∴AD +BD =AB .∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD? 面 ABCD, ∴BD⊥面 PAD,又 BD? 面 BDM,∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解

2

2

2

过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形,
-5-

∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3

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